EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Retrato de Sir William Rowan Hamilton.

El Hamiltoniano H tiene dos significados distintos, aunque relacionados. En mecánica clásica, es una función que describe el estado de un sistema mecánico en términos de variables posición y momento, y es la base para la reformulación de la mecánica clásica conocida como mecánica hamiltoniana. En mecánica cuántica, el operador Hamiltoniano es el correspondiente al observable "energía".

Descripción cuántica de un sistema

En el formalismo de la mecánica cuántica, el estado físico del sistema puede ser caracterizado por un vector en un espacio de Hilbert complejo, separable y de dimensión infinita (lo cual permite expresar cualquier estado físico por una secuencia contable de vectores, ponderados por sus amplitudes de probabilidades respectivas). Las magnitudes físicas observables son descritas, entonces, por operadores autoadjuntos que actúan sobre este vector (o sobre estos vectores). Los resultados posibles de una medida sobre un estado y las probabilidades con las que aparecen pueden calcularse a partir del vector que representa el estado y los vectores propios del operador autoadjunto que representa la magnitud.

Hamiltoniano cuántico

El hamiltoniano cuántico H es el observable que representa la energía total del sistema (formalmente se define como un operador autoadjunto definido sobre un dominio denso en el espacio de Hilbert del sistema). Los posibles valores de la energía de un sistema físico vienen dados por los valores propios del operador hamiltoniano:

(1)${\displaystyle \hat{H}|\psi ⟩=E_{\psi }|\psi ⟩}$

donde ${\displaystyle \hat{H}}$ es el operador hamiltoniano, ${\displaystyle |\psi ⟩}$ es un estado propio de ${\displaystyle \hat{H}}$ y ${\displaystyle E_{\psi }}$ es la energía de ese estado.

Propiedades

Por las propiedades de los operadores autoadjuntos:

1. Los vectores propios de ${\displaystyle \hat{H}}$, que satisfacen (1), forman una base ortogonal para el espacio de Hilbert.
2. El espectro de niveles de energía permitidos para el sistema viene dado por el conjunto de valores propios de ${\displaystyle \hat{H}}$, {${\displaystyle E_{\psi }}$} que verifican la ecuación que hay sobre estas líneas.
3. La energía del sistema siempre toma valores reales, razón por la cual la mecánica cuántica impone que para que ${\displaystyle \hat{H}}$ describa al sistema debe ser un operador hermítico.
4. Dependiendo del sistema físico, el espectro de energías puede ser discreto o continuo. Se da el caso de que algunos sistemas presentan un espectro continuo en un intervalo de energías, y discreto en otro. Un ejemplo es el pozo finito de energía potencial, que admite estados ligados con energías discretas y negativas, y estados libres con energías continuas y positivas, eso sucede por ejemplo en el átomo hidrogenoide.
5. Dependiendo del sistema físico, el operador hamiltoniano puede no estar definido sobre todo el espacio. Si no existe límite para el valor máximo de la energía de un sistema entonces el operador hamiltoniano será un operador no-acotado y en general no estará definido en todo el espacio de Hilbert de todo el sistema sino sólo en un dominio denso de él.

Evolución temporal

La evolución temporal de los estados cuánticos puede obtenerse a partir del Hamiltoniano a través de la ecuación de Schrödinger. Si ${\displaystyle |\mathrm{\Psi }(t)⟩}$ es el estado del sistema a tiempo t, tenemos:

${\displaystyle \hat{H}|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\mathrm{i}\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}|\mathrm{\Psi }(t)⟩}$.

donde ${\displaystyle \hslash }$ es la constante reducida de Planck. Dado el estado a un tiempo inicial (t = 0), podemos la para obtener el estado en cualquier tiempo subsiguiente. Si H además de operador autoadjunto no depende explícitamente del tiempo podemos encontrar una familia de operadores unitarios definidos sobre el espacio de Hilbert que da una solución formal de la anterior ecuación:

${\displaystyle |\mathrm{\Psi }(t)⟩=U(t)|\mathrm{\Psi }(0)⟩U(t):=\text{exp}\left(-\mathrm{i}\hat{H}t/\hslash \right)}$

Donde la exponencial del operador Hamiltoniano se calcula usualmente mediante serie de potencias. Se puede demostrar que es un operador unitario, y es la forma común de operador de evolución temporal o propagador.

Carácter autoadjunto

Un requerimiento matemáticamente importante para un hamiltoniano es que este sea un operador autoadjunto, sin embargo, normalmente demostrar que un determinado operador es autoadjunto es un problema matemático no trivial. Por esa razón durante mucho tiempo se desconocía si el hamiltoniano atómico por ejemplo era realmente un operador autoadjunto, aunque la evidencia sugería que efectivamente los átomos de muchos electrones eran equiparables al átomo hidrogenoide hasta mediados de siglo XX no se dispuso de una prueba matemática rigurosa. En los años 1960 y 1970 se hizo gran cantidad de trabajo en ese sentido.^[1][2]

El hamiltoniano para una partícula libre dado por:

${\displaystyle {\hat{H}}_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2}$

Definido sobre ${\displaystyle {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^3)}$, pero el hamiltoniano relevante en un buen número de problemas incluye un potencial siendo de la forma:

${\displaystyle \hat{H}={\hat{H}}_0+V(\mathbf{x})}$

Si el potencial es una función continua y acotada entonces el hamiltoniano anterior es autoadjunto, acotado y por tanto definido sobre todo ${\displaystyle {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^3)}$ y en este caso se dice que el potencial es una perturbación acotada de ${\displaystyle {\hat{H}}_0}$. Sin embargo, muchos problemas físicos importantes como los sistemas atómicos tienen potenciales no acotados inferiormente. Aunque Kato (1966) logró demostrar el siguiente resultado:

Si el potencial ${\displaystyle V(\mathbf{x})}$ puede escribirse como la suma de dos funciones reales, una de las cuales es continua y acotada y la otra es una función de ${\displaystyle {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^3)}$, entonces el operador definido por:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}D(\hat{H})=\{\psi \in {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^3):{\mathrm{\nabla }}^2\psi \in {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^3)\}\\ \hat{H}\psi =-\frac{\hslash }{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi +V(\mathbf{x})\psi \end{array}}$

es autoadjunto y acotado inferiormente.

El teorema anterior se aplica en particular al átomo hidrogenoide, para el cual ${\displaystyle V(\mathbf{x})=-\kappa Z{e}^2/\Vert \mathbf{x}\Vert }$ Pero además Kato logró extender el resultado anterior a un átomo con n-electrones en interacción con ${\displaystyle Z\ge n}$ para el cual:

El primer término representa la interacción de cada electrón con el núcleo atómico, y el segundo contabiliza la repulsión electroestática entre los diferentes pares de electrones. En este caso las funciones de onda ${\displaystyle \psi \in {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^{3n})}$

Ejemplos

Oscilador armónico

Artículo principal: Oscilador armónico cuántico.

En el problema del oscilador armónico monodimensional, una partícula de masa ${\displaystyle {\displaystyle m}}$ está sometida a un potencial cuadrático ${\displaystyle {\displaystyle V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2}}$. En mecánica clásica ${\displaystyle {\displaystyle k=m{\omega }^2}}$ se denomina constante de fuerza o constante elástica, y depende de la masa ${\displaystyle m}$ de la partícula y de la frecuencia angular ${\displaystyle {\displaystyle \omega }}$.

El Hamiltoniano cuántico de la partícula es:

${\displaystyle \hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2}$

donde ${\displaystyle \hat{x}}$ es el operador posición y ${\displaystyle \hat{p}}$ es el operador momento lineal ${\displaystyle \left(\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}\right)}$. El primer término representa la energía cinética de la partícula, mientras que el segundo representa su energía potencial.

Átomo de hidrógeno

La versión más simple del modelo atómico de Schrödinger emplea un hamiltoniano basado en el hamiltoniano de una partícula en un campo de Coulomb:

${\displaystyle \hat{H}=\frac{1}{2m}{\mathbf{\nabla }}^2+\frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}}$

Ese modelo predijo por primera vez los niveles energéticos con una gran precisión. Sin embargo, para dar cuenta de la estructura fina es necesario añadir correcciones relativistas y de espín, resultando un hamiltoniano más complicado dado por:

${\displaystyle \hat{H}=\frac{1}{2\mu }(\hat{\mathbf{p}}-e\mathbf{A}{)}^2+V(\mathbf{r})-\frac{e\hslash }{2\mu }\mathit{\sigma }\cdot \mathbf{B}-\frac{p^4}{8{\mu }^3{c}^2}+\frac{{\hslash }^2}{4{\mu }^2{c}^2}\mathit{\sigma }\cdot (\mathbf{\nabla }V\times \mathbf{p})}$

Donde:

${\displaystyle V(\mathbf{r}),\mathbf{A}(\mathbf{r})}$, son el potencial escalar eléctrico y el potencial vectorial magnético; si el campo magnético fuera nulo, este último vector sería cero.

${\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{\nabla }\times \mathbf{A}(\mathbf{r})}$, el campo magnético.

${\displaystyle \mu ,\sigma }$, la masa reducida y el espín del electrón.

${\displaystyle \hslash ,c}$, la constante de Planck racionalizada y la velocidad de la luz.

En concreto, es necesario tener en cuenta en los cálculos:

• La interacción del espín electrónico con el campo magnético del núcleo atómico. (tercer término)
• Los efectos relativistas debido a la variación de la masa aparente con la velocidad. (cuarto término)
• El término de Darwin, que no tiene un análogo clásico. (quinto término)
• La interacción espín-órbita. (sexto término).

El hamiltoniano es una función escalar a partir de la cual pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico clásico que se emplea en el enfoque hamiltoniano de la mecánica clásica.

Bajo ciertas condiciones relacionadas con las características del sistema (sistema conservativo) y las coordenadas empleadas, el hamiltoniano puede identificarse con la energía mecánica del sistema, aunque esto no sucede para todos los sistemas.

Usualmente el hamiltoniano es una función de las variables de posición y sus momentos conjugados, o más generalmente puede definirse como una función escalar definida sobre el espacio fásico del sistema.

Hamiltoniano clásico

Hamiltoniano y energía

Fijado un conjunto de coordenadas canónicas sobre el espacio de fases de un sistema hamiltoniano (con un número finito de grados de libertad), el hamiltoniano o función hamiltoniana puede representarse por una función de las coordenadas generalizadas y los correspondientes momentos conjugados:

${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p},t)\in {\mathbb{R}}^{2n+1}\mapsto H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\in \mathbb{R}}$

Si el sistema es autónomo, es decir, si no existe dependencia explícita del tiempo t en el lagrangiano y el conjunto de coordenadas escogidas son naturales, entonces puede probarse que el hamiltoniano es una integral de movimiento y además coincide en valor con la energía mecánica total del sistema.

• Para mostrar que el hamiltoniano es una constante del movimiento para un sistema autónomo, lo escribimos en términos del lagrangiano y calculamos su derivada total respecto al tiempo:

${\displaystyle H=\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}-L\Rightarrow \frac{dH}{dt}=\dot{\mathbf{p}}\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{p}\ddot{\mathbf{q}}-\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\dot{\mathbf{q}}}\ddot{\mathbf{q}}-\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}}-\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }t}}$

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Euler-Lagrange y relación entre velocidades y la definición de momentos conjugados, se tiene finalmente que la derivada total del hamiltoniano coincide con la derivada parcial de lagrangiano, por lo que, si este no depende explícitamente del tiempo, el hamiltoniano es constante, ya que:^[1]

${\displaystyle \frac{dH}{dt}=\dot{\mathbf{p}}\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{p}\ddot{\mathbf{q}}-(\mathbf{p})\ddot{\mathbf{q}}-(\dot{\mathbf{p}})\dot{\mathbf{q}}-\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }t}=0+0-\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }t}}$

• Para ver si el sistema es natural, es decir, si el hamiltoniano coincide con la energía, se calcula la energía cinética expresada en las coordenadas generalizadas a partir de su expresión newtoniana:^[2]

${\displaystyle E_c=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{\dot{\mathbf{r}}}_i^2(q_j,t)=\left(\sum _j\frac{1}{2}{A}_{jk}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_k\right)+\left(\sum _j{B}_j{\dot{q}}_j\right)+C=T_2+T_1+T_0}$

Donde:

${\displaystyle T_2}$ son los términos cuadráticos en las velocidades.

${\displaystyle T_1}$ son los términos lineales en las velocidades.

${\displaystyle T_0}$ son los términos no dependientes de la velocidad.

${\displaystyle A_{jk}=\sum _i{m}_i\frac{\mathrm{\partial }{\mathbf{r}}_i}{\mathrm{\partial }{q}_j}\frac{\mathrm{\partial }{\mathbf{r}}_i}{\mathrm{\partial }{q}_k}{B}_j=\sum _i{m}_i\frac{\mathrm{\partial }{\mathbf{r}}_i}{\mathrm{\partial }{q}_j}\frac{\mathrm{\partial }{\mathbf{r}}_i}{\mathrm{\partial }t}C=\frac{1}{2}\sum _i{m}_i{\left(\frac{\mathrm{\partial }{\mathbf{r}}_i}{\mathrm{\partial }t}\right)}^2}$

La energía mecánica total (energía cinética (E_c)+ energía potencial (E_p)) y el hamiltoniano no coincidirán a menos que T₀ = 0, y en ese caso general:

${\displaystyle H=\dot{\mathbf{q}}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\dot{\mathbf{q}}}-L=(2T_2+T_1)-(T_2+T_1+T_0-E_p)=T_2-T_0+E_p\ne E_c+E_p}$

Sin embargo, el sistema será natural si T₁ = T₀ = 0(B_j = 0, C = 0) y si la energía mecánica total y el hamiltoniano coinciden.

Integral de Jacobi-Painlevé

Péndulo esférico con rotación uniforme forzada.

En un sistema autónomo, en el que el lagrangiano no depende del tiempo, el hamiltoniano sigue siendo una integral del movimiento y por tanto se mantiene constante. En la sección anterior vimos que este valor constante es igual a:

${\displaystyle I_{JP}=H=T_2-T_0+E_p}$

Este valor, para sistemas autónomos es lo que se conoce como integral de Jacobi o integral de Jacobi-Painlevé. Conviene notar, sin embargo, que si el sistema no es natural este valor constante del hamiltoniano en general no coincidirá con el valor total de la energía mecánica y por tanto la energía mecánica no tiene por qué ser una constante del movimiento, ya que esta viene dada por:

${\displaystyle E_m=E_c+E_p=T_2+T_1+T_0+E_p}$

Un péndulo esférico es un caso de sistema no-natural y simultáneamente autónomo. El lagrangiano de un péndulo forzado, como el de la figura, formado por una partícula de masa m sujeta a un hilo inextensible forzado a girar con velocidad angular ω mientras oscila respecto a un eje perpendicular a la dirección:

${\displaystyle L=\frac{1}{2}m{R}^2({\dot{\alpha }}^2+{\omega }^2{\sin }^2\alpha )-mgR(1-\cos \alpha )}$

Obviamente este lagrangiano es independiente del tiempo, por lo que el sistema es autónomo; sin embargo, la relación entre la coordenada generalizada α y las coordenadas cartesinas de la partícula son relaciones dependientes del tiempo:

Puesto que esas relaciones dependen explícitamente del tiempo, el sistema de coordenadas generalizadas no es natural. El hamiltoniano, por no depender el lagragiano del tiempo, es obviamente una magnitud conservada o constante del movimiento:

${\displaystyle H=\frac{1}{2}m{R}^2({\dot{\alpha }}^2-{\omega }^2{\sin }^2\alpha )+mgR(1-\cos \alpha )}$

Sin embargo, la energía mecánica del sistema, suma de la energía cinética y la energía potencial, es en este caso:

${\displaystyle E_m=E_c+E_p=\frac{1}{2}m{R}^2({\dot{\alpha }}^2+{\omega }^2{\sin }^2\alpha )+mgR(1-\cos \alpha )}$

La explicación de por qué no se conserva es simple. El sistema, aunque autónomo, no está aislado, pues necesita un "motor" que mantenga constante la velocidad angular ω. Por ello hay un flujo de energía desde el exterior, y la energía mecánica oscila entre un máximo y un mínimo. El valor instantáneo de la energía y su valor medio temporal son:

${\displaystyle E_m(t)=H+m{R}^2{\omega }^2{\sin }^2\alpha (t),{\overline{E}}_m=H+\frac{m{R}^2{\omega }^2}{2}}$

Ejemplos

• Una partícula o cuerpo rígido de masa m en un campo de fuerzas conservativo viene dado por:

${\displaystyle H(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2+\varphi (\mathbf{r})}$

Casos particular del anterior son:

• Un cuerpo en un campo gravitario: ${\displaystyle \varphi (\mathbf{r})=-GM/\Vert \mathbf{r}\Vert }$
• Una partícula con movimiento armónico simple ${\displaystyle \varphi (\mathbf{r})=k{\mathbf{r}}^2/2}$

• Un péndulo simple: [convención: la energía potencial se ha tomado 0 cuando el ángulo es 0]

${\displaystyle H(\theta ,\dot{\theta })=\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\theta }}^2+mgL(1-\cos \theta )}$

• Un péndulo esférico:

${\displaystyle H(\theta ,\varphi ,\dot{\theta },\dot{\varphi })=\frac{1}{2}m{L}^2({\dot{\theta }}^2+{\dot{\varphi }}^2{\sin }^2\theta )-mgL\cos \theta }$

Nótese que para que la hamiltoniana esté correctamente expresada en el formalismo hamiltoniano, ésta ha de ser una función de la forma:

${\displaystyle H=H(\mathbf{r},\mathbf{p})}$

y no de las velocidades generalizadas del sistema, ${\displaystyle \dot{\mathbf{r}}}$. Para expresar correctamente la hamiltoniana, es necesario usar las ecuaciones de los momentos conjugados:

${\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\dot{\mathbf{r}}}}$

y sustituir en la función hamiltoniana, siendo ${\displaystyle L=L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)}$ el lagrangiano del sistema.

Hamiltoniano cuántico

Artículo principal: Hamiltoniano (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica se usa un concepto de hamiltoniano diferente matemáticamente del usado en mecánica clásica. Si bien en mecánica clásica el hamiltoniano es una función definida sobre el espacio de fases del sistema (variedad simpléctica de dimensión finita), en mecánica cuántica el hamiltoniano es un operador lineal que actúa sobre elementos de un espacio vectorial, generalmente de dimensión infinita.

La conexión entre ambos conceptos es difícil de entender. Para empezar, necesitamos definir una medida invariante sobre el espacio de fases que usualmente se toma como una potencia de la forma simpléctica que define la estructura simpléctica de dicho espacio:

${\displaystyle \mathrm{\forall }C\text{medible}\subset \mathcal{M}:\mu (C):={\int }_C{\eta }_{\mathrm{\Gamma }}={\int }_C\underset{i=1}{\overset{n}{\bigwedge }}\omega ={\int }_C\omega \wedge \cdots \wedge \omega }$

Donde ${\displaystyle {\eta }_{\mathrm{\Gamma }}}$ es la medida invariante que aparece en el teorema de Liouville. Además, la solución de las ecuaciones de Hamilton dan lugar a un flujo sobre el espacio fásico, que puede representarse por un grupo uniparamétrico {T^t}. Finalmente, puede verse que este flujo induce sobre las funciones de cuadrado integrable definidas un grupo unitario de operadores de evolución {U^t}:

(*)${\displaystyle ⟨U^{t}f,U^{t}g⟩={\int }_{\mathcal{M}}f(T^{t}x)g(T^{t}x)d^n\omega =⟨f,g⟩}$

Esta última idea se corresponde bastante bien con la idea de la función de ondas de un sistema cuántico, y se puede representar en muchos casos como una función de cuadrado integrable sobre el espacio de posiciones de la partícula. La ecuación de la solución de Schrödinger puede representarse también por un grupo unitario de operadores construible a partir del hamiltoniano cuántico:

(**)${\displaystyle |{\mathrm{\Psi }}_t⟩={\hat{U}}^t|{\mathrm{\Psi }}_0⟩=e^{i\hat{H}t/\hslash }|{\mathrm{\Psi }}_0⟩\Rightarrow ⟨{\mathrm{\Phi }}_t|{\mathrm{\Psi }}_t⟩=⟨{\hat{U}}^t{\mathrm{\Phi }}_0|{\hat{U}}^t{\mathrm{\Phi }}_0⟩=⟨{\mathrm{\Phi }}_0|{\mathrm{\Psi }}_0⟩}$

Los paralelos formales entre (*) y (**) son evidentes.