EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Planos con diferentes índices de Miller en cristales cúbicos

Ejemplos de direcciones

Los índices de Miller, en cristalografía , son un juego de tres números que permiten identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos.Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l).

Los índices de Miller son números enteros, negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número.

El índice de Miller fue presentado por primera vez por el mineralogista británico William Hallowes Miller en 1839. Existen además otras notaciones^[1] para los casos especiales de cristales con planos simétricos.

Obtención de los índices de Miller

Los índices de Miller de un plano cristalográfico están definidos como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes (x, y, z) de nuestro sistema de ejes coordenados. Para obtener los índices de Miller de un plano primero determinamos la intersección de este con los ejes. Una vez obtenidos los números, se hallan sus inversos y los multiplicamos por el mínimo común múltiplo (A). Un plano queda así representado por la forma (h, k, l):

h = A/m; k = A/n; l = A/p

Se deduce que si un plano es paralelo a uno de los ejes, lo corta en el infinito, y su índice será cero. Si lo cortara en la parte negativa, el índice será negativo, lo cual se indicará con un guion sobre dicho índice. Si el plano pasa por el origen se desplazará a una posición equivalente en la celda.

En el caso de que se tengan planos de redes equivalentes, relacionadas por la simetría del sistema cristalino, se le llamara Familia de Planos y se encerraran entre llaves {h, k, l}.

Para determinar los índices de una dirección cristalográfica cualquiera, se traza por el origen una paralela a esta. Sobre ella se toma el nudo (A) arbitrario de coordenadas (x, y, z), tal que sea múltiplo de las aristas (a, b, c) del cubo:

x = r·a; y = s·b; z = t·c

Una vez obtenidas (r, s, t) se dividen por su máximo común divisor (D), con lo que resultan los números:

u = r/D; v = s/D; w = t/D

La recta queda así definida por sus índices entre corchetes [u, v, w].

Es importante la relación que existe solo en el sistema cúbico, en los que los índices de Miller de una dirección perpendicular a un plano son los mismos.

Para la Familia de Direcciones aquí se usa como notación < u v w >

Casos especiales

El procedimiento de clasificación de los cristales se completa con los siguientes casos especiales para los cuales se debe tener en cuenta:^[2]

• Si el plano a indexar es paralelo a un eje coordenado, el punto de intersección se debe asumir en el infinito, que luego en los cálculos se interpretará cómo 0 (ver imágenes).

• Si el plano a indexar tiene una intersección en el lado negativo de los ejes, un signo menos se pone sobre el correspondiente número de índice. Así el plano que interseca los ejes en los puntos (1 6 -2) tiene un índice de Miller (1 1/6 1/2).

• Cuando por la simetría del cristal, es imposible distinguir entre planos equivalentes (cómo el cristal de diamante, por ejemplo). El grupo de planos equivalentes se nota entre corchetes (ej. {1 0 0}).

• No se pueden establecer índices de Miller para planos que pasan por el origen de coordenadas. El origen de coordenadas deberá ser trasladado a un punto del cristal fuera del plano a indexar. Este procedimiento es aceptable por la naturaleza equivalente de los planos paralelos.

El índice de Wobbe, (WI) por sus siglas en inglés, o número de Wobbe, es un parámetro utilizado para comparar la intercambiabilidad de combustibles gaseosos en un quemador, por ejemplo para diferentes mezclas de gas natural, gas licuado de petróleo o gas de gasógeno. Con frecuencia se define en las especificaciones de suministro y transporte de los combustibles gaseosos.

El concepto implica que dos gases con el mismo número de Wobbe, a la misma presión de suministro y con el mismo orificio de quemador, liberan la misma potencia calorífica, aunque tengan composiciones y poderes caloríficos distintos.

Fórmula

El índice de Wobbe puede ser expresado matemáticamente como:

${\displaystyle Ws=\frac{PCS}{\sqrt{GE}}}$

Donde:

• Ws es el Índice de Wobbe superior.
• PCS es el poder calorífico superior.
• GE, es la densidad relativa del gas.

Las unidades del índice de Woobe son las mismas que las del poder calorífico, ya que la densidad relativa es adimensional.

Se puede notar que si existe un índice de Wobbe superior también hay un índice de Wobbe inferior que se expresa matemáticamente como:

${\displaystyle Wi=\frac{PCI}{\sqrt{GE}}}$

Donde:

• Wi, es el Índice de Wobbe inferior.
• PCI, es el poder calorífico inferior.
• GE, es la densidad relativa del gas.

Pero el más usado en la industria es el índice de Wobbe superior.

Limitaciones

El índice de Wobbe correlaciona el poder calorífico del combustible y el comportamiento de la llama al intercambiar dos gases combustibles. Particularmente para gases con composición similar, el índice de Wobbe es un buen indicativo del desempeño de los dos gases. Aunque el índice de Wobbe es una manera fácil y efectiva de medir la intercambiabilidad, la industria reconoce históricamente que este índice por sí solo no es suficiente, ya que no predice adecuadamente todos los fenómenos de combustión. Otros factores deben de identificarse para determinar la intercambiabilidad de un gas combustible, además del índice de Wobbe son: ^[1]

• la misma estabilidad de llama, con ausencia de desprendimiento de la llama y ausencia de retrollama;
• idéntica calidad de combustión, (relación de volúmenes de CO y CO2 inferior al límite máximo admitido);
• el mismo rendimiento de combustión;
• el mismo poder comburívoro y la misma temperatura de rocío en los humos;
• el mismo factor de aireación.

Imagen tomada por el telescopio espacial Hubble.

La inestabilidad de Jeans causa el colapso de nubes de gas interestelares y la subsecuente formación de una estrella. La misma ocurre cuando la presión interna en la nube no es lo suficientemente alta como para evitar que se produzca un colapso gravitatorio de una región que contiene materia. Para que exista estabilidad, la nube debe estar en equilibrio hidrostático,

${\displaystyle \frac{dp}{dr}=-\frac{G\rho M_{con}}{r^2}}$

donde:

${\displaystyle p}$ es la presión,

${\displaystyle r}$ es el radio,

${\displaystyle G}$ es la Constante de gravitación universal,

${\displaystyle \rho }$ es la densidad y

${\displaystyle M_{con}}$ es la masa contenida,

El equilibrio es estable si las perturbaciones menores son amortiguadas e inestable si son amplificadas. En general, la nube es inestable si o bien es muy masiva a una dada temperatura o muy fría para una dada masa para que la gravedad pueda compensar la presión del gas.

Masa de Jeans

La masa de Jeans debe su nombre al físico británico sir James Jeans, quien analizó el proceso de colapso gravitatorio dentro de una nube gaseosa. Jeans fue capaz de demostrar, que bajo condiciones apropiadas, una nube cósmica o una parte de la misma, podría volverse inestable. El proceso comienza cuando no posee suficiente presión gaseosa para contraarrestar la fuerza de gravedad. Sin embargo, la nube sería estable para una masa suficientemente pequeña, fijados la temperatura y el radio, pero una vez rebasa cierta masa crítica, empezaría un proceso de contracción hasta que alguna otra fuerza impidiera el colapso. Jeans derivó una fórmula para calcular la masa crítica como función de su densidad y temperatura. Cuanto mayor sea la masa de la nube, menor sea su tamaño y menor la temperatura de la misma, más inestable será ante un colapso gravitatorio.

El valor aproximado de la masa de Jeans se puede obtener mediante una simple deducción física. Se comienza con una región esférica gaseosa de radio ${\displaystyle R}$, masa ${\displaystyle M}$, y velocidad del sonido en el gas ${\displaystyle c_s}$. Si nos imaginamos que se comprime dicha región un tanto. Las ondas de sonido tendrán un tiempo de tránsito:

${\displaystyle t_{sound}=\frac{R}{c_s}}$

en cruzar la región, e intentarán compensar la fuerza ejercida y restablecer al sistema en una presión de equilibrio. Al mismo tiempo, la gravedad intentará comprimir al sistema todavía más, lo cual tendrá lugar durante el tiempo de caída libre:

${\displaystyle t_{ff}=\frac{1}{\sqrt{G\rho }}}$

donde ${\displaystyle G}$ es la constante gravitatoria universal, y ${\displaystyle \rho }$ es la densidad de gas en la región. Cuando el tiempo de transporte del sonido es menor que el tiempo de caída libre, las fuerzas de presión prevalecen y restablecen el equilibrio. Si en cambio el tiempo de caída libre es menor que el tiempo de tránsito del sonido, entonces la gravedad prevalece, y la región sufre colapso gravitatorio. La condición para un colapso gravitatorio es por lo tanto:

Mediante algunas manipulaciones algebraicas, se puede demostrar que la masa de Jeans ${\displaystyle M_J}$ es aproximadamente:

${\displaystyle M_J=\frac{c_s^3}{G^{3/2}{\rho }^{1/2}}}$

El criterio de estabilidad puede ser expresado también en forma equivalente en función de una longitud en vez de una masa. Dicha longitud es conocida como la longitud de Jeans. Todas las dimensiones menores que la longitud de Jeans son estables ante el colapso gravitatorio, mientras que dimensiones mayores son inestables. Se puede utilizar el mismo razonamiento previo para demostrar que la longitud de Jeans ${\displaystyle R_J}$ es aproximadamente:

${\displaystyle R_J=\frac{c_s}{\sqrt{G\rho }}}$

Condición necesaria para su ocurrencia

La inestabilidad de Jeans tiene lugar una vez que la masa contenida es mayor que el valor de la masa de Jeans o la zona crece hasta tener una dimensión mayor que la longitud de Jeans. Si la inestabilidad gravitatoria está gobernada por ondas del tipo:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_0{e}^{\mathrm{\Gamma }t+i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}}$, con ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$:

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }={\left[4\pi G{\rho }_0\left(1-\frac{{\lambda }_J^2}{{\lambda }^2}\right)\right]}^{1/2}}$

que representa un crecimiento exponencialmente inestable. ${\displaystyle {\lambda }_J}$ es la longitud de Jeans y ${\displaystyle {\rho }_0}$ es la densidad de masa.

La escala de tiempo para que ocurra es:

${\displaystyle \tau ={\mathrm{\Gamma }}^{-1}=(4\pi G{\rho }_0{)}^{-1/2}.}$

La inestabilidad de Jeans es muy importante para los procesos de formación estelar en nubes moleculares.