EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

La dispersión de Rutherford^[1][2] en mecánica clásica, también llamada dispersión de Couloumb, describe la dispersión de partículas eléctricamente cargadas al acercarse a un centro de dispersión que también debe estar cargado eléctricamente (experimento de Rutherford). La trayectoria resultante de las partículas dispersas es una hipérbola. A partir de la distribución espacial de las partículas dispersas se puede concluir de qué forma está estructurado el centro de dispersión. Con ayuda de esta teoría Hans Geiger, Ernest Marsden y Ernest Rutherford llegaron a la conclusión de que la carga positiva y la mayor parte de la masa del átomo debían estar concentradas en un pequeño espacio en el centro del átomo, al contrario del modelo de J.J. Thomson, en el que la carga positiva del átomo se distribuye de manera homogénea en una esfera (modelo atómico de Thomson). Al considerar los resultados, Rutherford dijo: «Esto es tan poco probable como si se disparara con un arma a una almohada de algodón, y que la bala rebote».

Este fenómeno físico fue explicado por Ernest Rutherford en 1911.

Fórmula de Rutherford

Ángulos de dispersión en el experimento de Rutherford

Con la denominada fórmula de dispersión de Rutherford se calcula la sección eficaz diferencial, la cual da la porción de partículas que llegan a ${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{\Omega }}$.

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}={\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4E_0}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4\left(\frac{\theta }{2}\right)}}$

en donde se describe la probabilidad de que las partículas dispersas incidan en un ángulo sólido ${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{\Omega }=2\pi sin(\theta )\mathrm{d}\theta }$ después de ser desviadas en un ángulo ${\displaystyle \theta }$.

En la fórmula se utiliza las siguientes constantes:

• Permitividad del vacío: ${\displaystyle {\epsilon }_0=\mathrm{8,854}\cdot {10}^{-12}\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}\mathrm{m}}}$
• Carga de la partícula dispersa: ${\displaystyle Z_{1}e}$
• Carga del núcleo del átomo: ${\displaystyle Z_{2}e}$
• Carga eléctrica elemental: ${\displaystyle e=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}}$
• Energía inicial de la partícula dispersa: ${\displaystyle E_0}$

La distribución de Boltzmann o distribución de Maxwell-Boltzmann es una distribución de probabilidad de las velocidades de un gas asociada a la estadística de Maxwell-Boltzmann para dicho sistema. Fue formulada originalmente por los físicos J. C. Maxwell y L. Boltzmann.

Ante la pregunta de «¿Cuál es la distribución de velocidades en un gas a una temperatura dada?» aparece una respuesta presentada como la distribución de Maxwell-Boltzmann, la cual nos muestra cómo están distribuidas las velocidades de las moléculas en un gas ideal.

Técnicamente, el término distribución de Boltzman se reserva para la función de probabilidad de la energía de las partículas, mientras que el término distribución de Maxwell-Boltzmann se reserva para la distribución de probabilidad de la velocidad de las partículas (existe una relación matemática fija entre ambas).

Distribución de Maxwell-Boltzmann

Distribución de velocidades de un conjunto de 1.000.000 moléculas de oxígeno (0.032 kg/mol) a tres temperaturas diferentes: -100 °C; 20 °C y 600 °C. A mayor temperatura el máximo del histograma se desplaza a mayores velocidades.

Matemáticamente, la distribución de Maxwell-Boltzmann es la distribución de una variable aleatoria escalar ${\displaystyle X=\sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}}$ combinación de otras tres variables aleatorias ${\displaystyle X_i}$ cada una de las cuales se distribuye según una distribución normal ${\displaystyle X_i\sim N(0,a^2)}$.

Físicamente el módulo de la velocidad de una molécula ${\displaystyle v}$ es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de las velocidades coordenadas de la partícula ${\displaystyle v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$, y como cada una de ellas siguen distribuciones gaussianas entonces ${\displaystyle v}$ debe seguir una distribución de Maxwell-Boltzmann explícitamente:

${\displaystyle f(v)=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}{v}^2{e}^{\frac{-m{v}^2}{2kT}}}$

donde m es la masa de la partícula y kT viene dada por el producto de la constante de Boltzmann y la temperatura absoluta.

Parámetros estadísticos

Es habitual obtener ciertos parámetros estadísticos de esta distribución, como son:

• La velocidad más probable, v_p, que viene dado por el máximo de la función de distribución de Maxwell, también llamada en estadística, la moda. Para encontrarla solo hay que calcular:

${\displaystyle \frac{df(v)}{dv}=0}$

lo que nos lleva a:

${\displaystyle v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{m{N}_A}}}$,

donde R es la constante de los gases, N_A el número de Avogadro y m es la masa de las partículas del gas.

Por ejemplo, para el nitrógeno molecular (N₂) a temperatura ambiente (300 K), esto resulta v_p = 422 m/s.

• La velocidad media o valor esperado de la distribución de velocidades es:

${\displaystyle ⟨v⟩={\int }_0^{\mathrm{\infty }}vf(v)dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi m{N}_A}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{v}_p}$

• La velocidad cuadrática media, que es el momento de segundo orden de la velocidad:

${\displaystyle \sqrt{⟨v^2⟩}={\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{v}^{2}f(v)dv\right)}^{1/2}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{m{N}_A}}=\sqrt{\frac{3}{2}}{v}_p}$

Como puede verse, estas tres velocidades están siempre relacionadas por:

La dualidad Kramers–Wannier es una simetría en física estadística. Relaciona la energía libre de un modelo de Ising bidimensional con forma de rejilla cuadrada a baja temperaturas con la de otro modelo de Ising de similar geometría a altas temperaturas. Fue descubierta por Hendrik Kramers y Gregory Wannier en 1941. Con la ayuda de esta dualidad Kramers y Wannier encontraron la ubicación exacta del punto crítico para dicho modelo.

Existen dualidades similares que establecen relaciones entre energías libres de otros modelos estadísticos. Por ejemplo, el caso del modelo de Ising de 3 dimensiones es dual con un modelo de gauge de Ising.

Idea intuitiva

El modelo bidimensional de Ising puede compararse con un enrejado que conecta un patrón similar a un tablero de ajedrez.  Con un enrejado finito, los bordes pueden ser conectados formando un toroide. Eso implica que se puede construir una transformación involutiva. Por ejemplo, Lars Onsager sugirió que la transformación estrella-triángulo puede ser utilizada para el enrejado triangular.^[1] Para un toroide discreto, el dual es el propio toroide. Además, el dual de un sistema altamente desordenado (temperatura alta) es un sistema altamente ordenado (temperatura baja). Esto se puede ver en que la transformación de Fourier de una señal con alto ancho de banda (más desviación estándar) es una función con bajo ancho de banda (menos desviación estándar). 

Cuándo se eleva la temperatura en uno de los dos modelos, baja la temperatura en el otro. Si solo hay una transición de fase, esta será en el punto en qué ambos modelos se igualan porque la temperatura es igual. Dado que el modelo bidimensional de Ising va de un estado desordenado a un estado ordenado, hay una relación inyectiva entre ambos estados o fases.

La teoría ha sido generalizada e hibridada con muchas otras ideas. Por ejemplo, el enrejado cuadrado se suele reemplazar por un círculo, un enrejado aleatorio, un toroide no homogéneo, un enrejado triangular, un laberinto, enrejados con fronteras, torsionados, modelos quirales, y muchos otros.^{[2][3][4][5][6][7][8]}

Derivación

La expresión a baja temperatura para (K*,L) es

${\displaystyle Z_N(K^{\ast },L^{\ast })=2e^{N(K^{\ast }+L^{\ast })}\sum _{P\subset {\mathrm{\Lambda }}_D}(e^{-2L^{\ast }}{)}^r(e^{-2K^{\ast }}{)}^s}$

donde se puede aplicar la transformación:

${\displaystyle \tanh K=e^{-2L\ast },\tanh L=e^{-2K\ast }}$

Dando:

${\displaystyle Z_N(K^{\ast },L^{\ast })=2(\tanh K\tanh L{)}^{-N/2}\sum _P{v}^r{w}^s}$

${\displaystyle =2(\sinh 2K\sinh 2L{)}^{-N/2}{Z}_N(K,L)}$

Esto da una relación con la expresión a alta temperatura . Las relaciones pueden ser escritas más simétricamente:

${\displaystyle \sinh 2K^{\ast }\sinh 2L=1}$

${\displaystyle \sinh 2L^{\ast }\sinh 2K=1}$

Planteando la energía libre específica en el límite termodinámico

${\displaystyle f(K,L)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_N(K,L)=-kT\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\log Z_N(K,L)}$

El dualidad de Kramers–Wannier da:

${\displaystyle f(K^{\ast },L^{\ast })=f(K,L)+\frac{1}{2}kT\log (\sinh 2K\sinh 2L)}$

En el caso isótropo donde K = L, si hay un punto crítico en K = Kc entonces hay otro punto crítico en K = K*c. Es decir, en el caso de que haya un punto crítico único, este debe estar ubicado en K = K* = K*c, implicando sinh 2Kc = 1, (kTc = 2.2692J).

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