EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

La hipótesis de Navier-Bernoulli (denominada también como hipótesis de Navier) es un enunciado sobre la mecánica de sólidos deformables, más exactamente es un hipótesis cinemática sobre el campo de desplazamientos de una pieza alargada o prisma mecánico. El principio afirma que

dos secciones transversales inicialmente planas y paralelas siguen siendo planas aunque no paralelas a lo largo del proceso de deformación, incluso en la región plástica.^[1]

Esto implica que secciones que eran paralelas acabarán formando un pequeño ángulo. Además se puede comprobar que existe una superficie de puntos denominados fibra neutra, en la cual las distancias medidas sobre dicha superficie antes y después de la deformación se mantienen (antes de la deformación la fibra neutra es plana, después de la deformación es curva, aunque las distancias se mantienen).

Consecuencias

Ese principio junto con algunas consideraciones adicionales permite establecer que en un prisma mecánico recto sometido a flexión simple las deformaciones pueden estimarse aproximadamente mediante la relación:

${\displaystyle {\epsilon }_y=-\frac{y}{{\rho }_c}}$

donde:

${\displaystyle y}$, la distancia de un punto de la fibra neutra al punto considerado.

${\displaystyle {\rho }_c}$, el radio de curvatura del eje baricéntrico del prisma.

Esa expresión permite derivar la fórmula de Navier para la flexión de vigas. La teoría de placas de Love-Kirchhoff usa una generalización de la hipótesis de Navier-Bernoulli al caso de placas planas.

El establecimiento de esta hipótesis permite asentar el conocimiento necesario para el estudio de los cuerpos deformables en el caso de verse sometidos a fuerzas axiles: compresión y extensión. Es, por lo tanto una de las hipótesis fundamentales en el estudio de la resistencia de materiales, permitiendo obtener el estado tensional completo en cada punto de una sección de forma exacta.^[2] Se aplica a los materiales de construcción más diversos como puede ser el acero,^[3] el hormigón. La hipótesis habiéndose formulado para piezas rectas, es aplicable igualmente a piezas curvas gracias a la aplicación de secciones diferenciales. Esta hipótesis cinemática es muy común en la representación para la flexión de vigas y arcos, junto con la hipótesis de Timoshenko.

El método de Holstein-Herring,^[1][2][3][4] también llamado método de la integral de superficie^[5][6] o método de Smirnov^[7] es un medio eficaz de obtener los desdoblamientos de energía de intercambio de estados de energía asintóticamente degenerados en sistemas moleculares, es decir, de estados moleculares cuyas energía convergen asintóticamente hacia el mismo valor. Si bien los intercambios de energía se hacen difíciles de obtener en sistemas internucleares grandes, son de una gran importancia en las teorías de enlace molecular y en el magnetismo. Este desdoblamiento es el resultado de la simetría en el intercambio de núcleos idénticos (principio de exclusión de Pauli). El método recibe este nombre en honor de los físicos estadounidenses Theodore David Holstein (1915-1985) y de W. Conyers Herring (1914-2009).

Desarrollo del método

La idea básica iniciada por el enfoque de Holstein y Herring puede ser ilustrada por el catión dihidrógeno (H₂⁺) o, más generalmente, en sistemas átomo-ion o en sistemas con enlace de un electrón, de la siguiente manera. Considénrese estados que son representados por funciones pares o impares con respecto al comportamiento bajo inversión espacial. Esto se indica con los sufijos g y u (del alemán, gerade y ungerade) según la práctica estándar para la designación de los estados electrónicos de moléculas diatómicas, mientras se usan los términos par e impar para designar los estados atómicos. La ecuación de Schrödinger electrónica se puede escribir como:

${\displaystyle \left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V\right)\psi =E\psi ,}$

donde E es la energía (electrónica) de un determinado estado cuántico (estado propio), en la que la función de estado electrónico ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf{r})}$ es función de las coordenadas espaciales del electrón y donde ${\displaystyle V}$ es la función de energía potencial coulombiana del sistema formado por el electrón y los núcleos. Para el catión dihidrógeno, esto es:

${\displaystyle V=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}\right)}$

Para cualquier estado gerade (o par), la ecuación de onda de Schrödinger electrónica se puede escribir en unidades atómicas (${\displaystyle \hslash =m=e=4\pi {\epsilon }_0=1}$) como:

${\displaystyle \left(-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{\text{x}})\right){\psi }_{+}=E_{+}{\psi }_{+}}$

Para cualquier estado ungerade (o impar) del, la ecuación de onda correspondiente se puede escribir como:

${\displaystyle \left(-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{\text{x}})\right){\psi }_{-}=E_{-}{\psi }_{-}}$

Por simplicidad, se asume que las funciones son reales (aunque el resultado pueda generalizarse para el caso complejo). Luego, multiplicamos la ecuación de onda gerade por ${\displaystyle {\psi }_{-}}$ por la izquierda, y la ecuación de onda ungerade por la izquierda por ${\displaystyle {\psi }_{+}}$, y se resta para obtener:

${\displaystyle {\psi }_{+}{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }_{-}-{\psi }_{-}{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }_{+}=-2\mathrm{\Delta }E{\psi }_{-}{\psi }_{+}.}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\Delta }E=E_{-}-E_{+}}$ es el desdoblamiento de la energía de intercambio. A continuación, sin pérdida de generalidad, se pueden definir funciones ortogonales de una sola partícula, ${\displaystyle {\varphi }_A^{}}$ y ${\displaystyle {\varphi }_B^{}}$, situadas en cada núcleo, y escribir:

${\displaystyle {\psi }_{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}({\varphi }_A^{}+{\varphi }_B^{}),{\psi }_{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}({\varphi }_A^{}-{\varphi }_B^{}).}$

Este enfoque es similar al método CLOA (combinación lineal de orbitales atómicos) frecuentemente utilizado en química cuántica, aunque aquí se subraya que las funciones ${\displaystyle {\varphi }_A^{}}$ y ${\displaystyle {\varphi }_B^{}}$ están en general polarizadas, es decir, no son puramente funciones propias de momento angular con respecto a un centro nuclear, (véase más adelante). Téngase en cuenta, sin embargo, que en el límite cuando ${\displaystyle R\to \mathrm{\infty }}$, estas funciones localizadas ${\displaystyle {\varphi }_{A,B}^{}}$ colapsan o convergen en las bien conocidas funciones psi (hidrogénicas) atómicas ${\displaystyle {\varphi }_{A,B}^0}$. Se denota ${\displaystyle M}$ como el plano de simetría medio situado exactamente entre los dos núcleos (para más detalles, véase el diagrama para ion hidrógeno molecular), donde ${\displaystyle \mathbf{z}}$ representa el vector unitario normal a dicho plano (que es paralelo a la dirección del eje cartesiano ${\displaystyle z}$), de manera que el espacio completo ${\displaystyle {\mathbf{R}}^3}$ se divide en las mitades izquierda (${\displaystyle L}$) y derecha (${\displaystyle R}$). Por razones de simetría:

${\displaystyle {{\psi }_{-}|}_M=\mathbf{z}\cdot {\mathrm{\nabla }{\psi }_{+}|}_M=0.}$

Esto implica que:

${\displaystyle {{\varphi }_A^{}|}_M={{\varphi }_B^{}|}_M,\mathbf{z}\cdot {\mathrm{\nabla }{\varphi }_A^{}|}_M=-\mathbf{z}\cdot {\mathrm{\nabla }{\varphi }_B^{}|}_M.}$

Además, estas funciones localizadas están normalizadas, lo que conduce a:

${\displaystyle {\int }_L{\varphi }_A^{2}dV={\int }_R{\varphi }_B^{2}dV}$

y reciprocamente. La integración de este resultado en todo el espacio a la izquierda del plano medio da:

${\displaystyle 2{\int }_L{\psi }_{+}{\psi }_{-}dV={\int }_L({\varphi }_A^2-{\varphi }_B^2)dV=1-2{\int }_R{\varphi }_A^{2}dV}$

y

${\displaystyle {\int }_L({\psi }_{+}{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }_{-}-{\psi }_{-}{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }_{+})dV={\int }_L({\varphi }_B^{}{\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_A^{}-{\varphi }_A^{}{\mathrm{\nabla }}^2{\varphi }_B^{})dV}$

Energías (E) de los dos estados discretos de menor energía del ion hidrógeno molecular ${\displaystyle H_2^{+}}$, en función de la distancia internuclear (r) en unidades atómicas

A partir de una variación del teorema de divergencia aplicado al resultado anterior, se obtiene finalmente:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }E=-2\frac{{\int }_M{\varphi }_A^{}\mathrm{\nabla }{\varphi }_A^{}\bullet d\mathbf{S}}{1-2{\int }_R{\varphi }_A^{2}dV}}$

donde ${\displaystyle d\mathbf{S}}$ es un elemento diferencial de la superficie del plano medio. Esta es la fórmula de Holstein-Herring. A partir de esto último, Herring fue el primero en demostrar^[3] que el término principal para el desarrollo asintótico de la diferencia de energía entre los dos estados de menor energía de los iones de hidrógeno molecular, es decir, entre el primer estado excitado ${\displaystyle 2p{\sigma }_{\mu }}$ y el estado fundamental ${\displaystyle 1s{\sigma }_g}$ (ver el gráfico de las curvas de energía), era:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }E=E_{-}-E_{+}=\frac{4}{e}R{e}^{-R}}$

Los cálculos previos basados en el método CLOA habían dado erróneamente un primer coeficiente de ${\displaystyle 4/3}$ en lugar de ${\displaystyle 4/e}$. Si bien es cierto que para el catión hidrógeno molecular, los valores propios de las energías pueden expresarse matemáticamente en términos de una generalización de la función W de Lambert, estas fórmulas asintóticas son más útiles en el largo alcance y el método de Holstein-Herring tiene un rango mucho más amplio de aplicaciones que esta molécula particular.

Aplicaciones

La fórmula de Holstein-Herring tenía aplicaciones limitadas hasta los años 1990, cuando Tang, Toennies, y Yiu^[8] demostraron que ${\displaystyle {\varphi }_A^{}}$ puede ser una función de onda polarizada, es decir, una función de onda atómica localizada en un núcleo en particular, pero perturbada por el otro núcleo, y por consiguiente, sin aparente simetría gerade o ungerade, y sin embargo la anterior fórmula de Holstein-Herring puede ser utilizada para generar las correctas expansiones asintóticas en serie que permiten obtener las energías de intercambio. De esta manera, se ha logrado reformular de modo efectivo un sistema de dos centros en un sistema de un solo centro. Posteriormente, se ha aplicado con éxito a sistemas de un electrón activo. Más tarde, T. C. Scott et al., explicaron y aclararon sus resultados resolviendo cuestiones sutiles pero importantes acerca de la verdadera convergencia de la función de onda polarizada.^[9][10][11]

La conclusión de estos resultados significa que es posible resolver los desdoblamientos asintóticos de energía de intercambio para cualquier orden. El método de Holstein-Herring ha sido extendido a casos de dos electrones activos, como por ejemplo, la molécula de hidrógeno, para encontrar los dos estados discretos de menor energía de la molécula ${\displaystyle H_2}$,^[12] and also for general atom-atom systems.^[13] y de modo generalizado para los sistemas moleculares átomo-átomo.^[14]

Interpretación física

La fórmula de Holstein-Herring puede ser interpretada físicamente como un sistema donde un electrón viaja entre los dos núcleos experimentando "efecto túnel cuántico", creando así una corriente cuyo flujo a través del plano medio nos permite aislar la energía de intercambio. La energía es por lo tanto compartida, es decir, intercambiada, entre los dos centros nucleares. En relación con el efecto túnel, una interpretación complementaria de Sidney Coleman se expone en su obra "Aspectos de la simetría" ("Aspects of Symmetry", 1985) en la que un "instantón" viaja cerca y sobre los caminos clásicos dentro de las integrales de camino. Téngase en cuenta que la integral de volumen que hay en el denominador de la fórmula de Holstein-Herring es sub-dominante en ${\displaystyle R}$. En consecuencia, este denominador es casi igual a la unidad para distancias internucleares suficientemente grandes ${\displaystyle R}$ y sólo es necesario tener en cuenta la integral de superficie del numerador.

El índice de complejidad Nelson permite medir la capacidad de conversión de una refinería de petróleo con relación a la capacidad de destilación primaria.

Fue desarrollado por Wilbur L. Nelson en una serie de artículos en la revista Oil & Gas Journal en 1960-1961 (Mar. 14, p. 189; Sept. 26, p. 216; y junio 19, p. 109). En 1976, desarrolló el concepto en otra serie de artículos, nuevamente en la revista Oil & Gas Journal (Sept. 13, p. 81; Sept. 20, p. 202; and Sept. 27, p. 83).

El índice de complejidad Nelson asigna un factor de complejidad a cada parte (planta) de la refinería de acuerdo a su complejidad y el costo comparándolo con la destilación de crudo (topping) a quien se le asigna un factor igual a 1. La complejidad de cada parte es luego calculada multiplicando su factor por su relación de carga como porcentaje de la capacidad de destilación de crudo. Sumando los valores de complejidad asignados (los calculados incluyendo la destilación) se determina la complejidad de la refinería según el índice de complejidad Nelson.

Este índice no solo indica la inversión necesaria o el costo de una refinería sino también el valor agregado potencial. Por lo tanto, cuanto más grande sea su índice, mayor será el valor de la refinería y mayor el valor de sus productos.

En la segunda edición del libro Petroleum Refinery Process Economics (2000), el autor Robert Maples indica que las refinerías estadounidenses tienen un índice de complejidad promedio de 9.5, comparado con las europeas de 6.5. La refinería Jamnagar, perteneciente a Reliance Industries Limited, de capitales indios, es una de las refinerías de mayor complejidad en el mundo con un índice de complejidad Nelson de 14.^[1]

La nueva refinería comenzó su producción el 25 de diciembre de 2008. La refinería de BP Texas, recientemente adquirida por Marathon Petroleum así como su refinería Galveston Bay tiene un índice de complejidad Nelson de 15.3 en 2013.

Las refinerías en los Estados Unidos poseen una capacidad de refinación de 16,5 millones de barriles por día. El índice de complejidad Nelson promedio es de 9,6, reflejando la gran cantidad de unidades de alta conversión. El mismo índice para Asia, Rusia y Latinoamérica es inferior a 5, reflejando baja capacidad de conversión, y elevada producción de fuel oil.^[2]

El "Department of Defense Fuel Spending, Supply, Acquisition, and Policy" de Estados Unidos muestra en su "CRS Report for Congress” el índice de complejidad Nelson para las 31 principales refinerías del país.^[3]

La revista Oil & Gas Journal calcula anualmente la complejidad de las refinerías con el índice de complejidad Nelson.

Cálculo del índice de complejidad

Supongamos que para construir una destilación de crudo se tenga un costo de 1.000 U$S/BSD. Esto quiere decir que una planta de 50.000 BSD costaría 50 millones (1.000 U$S/BSD X 50.000 BSD). Si otra planta cuesta 3.000 U$S/BSD para construirla, tendría un factor de complejidad de 3. Cada unidad tiene un factor de complejidad relacionado con el costo de construcción de la unidad de destilación.

A continuación se pueden ver los valores del índice de complejidad Nelson:

Destilación (Topping): 1.0 Vacío: 2.0 Coke: 6.0 Coke Fluido: 6.0 Coke retardado: 6.0 Cracking Térmico: 3.0

Cracking Catalítico: 6.0 Reforming Catalítico: 5.0 Hidrocracking: 6.0 Hidrogenación Catalítica: 3.0 Alquilación / Polimerización: 10.0 Isomerización: 15.0

Planta de lubricantes: 60.0 Planta de asfalto: 1.5 Planta de hidrógeno (miles de pies cúbicos diarios): 1.0 MTBE / TAME: 10.0 Visbreaking: 2.5

Para obtener otros valores se puede ver la tabla “Complexity factors for petroleum refinery operations” y la tabla “Complexity factors in lube manufacture” en el sitio de University Microfilms International.^[4] El índice de complejidad Nelson de una refinería es la sumatoria de las capacidades de cada planta (barriles por día) multiplicada por el índice de la tabla anterior para esa planta y dividida por la capacidad del Topping (barriles por día).

Cada nueva planta que se agrega para aumentar la conversión en una destilería contribuye al aumento de la complejidad de la refinería en proporción a los índices asignados a ese proceso y su capacidad (de alimentación o de producción). Consideremos el caso de una refinería con capacidad de destilación de crudo de 50.000 BSD y una capacidad de la planta de vacío de 30.000 BSD. La relación de capacidades es 0.6. El factor de complejidad Nelson para el vacío es 2. La contribución de la unidad de vacío a la complejidad de la refinería general sería igual a 1,2 (0.6 x 2).^[5]

En su guía de las mejores técnicas del sector de refino del petróleo, la dirección general de calidad y evaluación ambiental española indica el índice de complejidad Nelson para todas las refinerías europeas, siendo el valor medio 6.1.^[6]

Daniel Johnston indica en Oil & Gas Journal que los índices de complejidad no han cambiado fuertemente con el paso de los años. Construir un cracking catalítico cuesta 5 a 7 veces más (basado de barriles cúbicos diarios), de la misma manera que la construcción de una unidad de destilación atmosférica. Por lo tanto, los índices generalizados siguen proporcionando una estimación rápida y cercana a la realidad.^[7]

CALCULO Básico DE CE

Unidades	Cantidad	bb/día	Nelson	Factor mejorado	CE
Topping	2	190000	1.0	1.4	266000
Vacío	2	80000	1.0	1.3	104000
Reforming	1	9000	3.4	1.0	30600
Cracking cat.	2	50000	7.2	1.3	468000
Coque	2	40000	6.4	1.2	307200 -

CE calculado: 1175800

Estudios comparativos de performance (Benchmarking)

Artículo principal: Benchmarking

Una refinería con un índice de complejidad Nelson de 5 se considera que tiene una complejidad cinco veces mayor que una refinería que solo tenga una destilación atmosférica (topping) para la misma carga de petróleo. Con la globalización, la abundante información y el desarrollo informático el cálculo de la complejidad fue mejorado tomando en cuenta las distintas variedades de operación en el mercado y dando un diagnóstico más acorde a la realidad.

En las últimas décadas la práctica de realizar estudios comparativos de performance (benchmarking) se ha incorporado a la mayoría de las empresas petroleras. Es la única manera de conocer si sus parámetros de trabajo (eficiencia, costos, energía, etc) se corresponden con la excelencia. Empresas consultoras especializadas en recolectar y distribuir la abundante información entre las distintas empresas, asegurando la confidencialidad de los datos, se han agregado al sistema para dar confiabilidad a los estudios.

Los estudios actuales utilizan un índice de complejidad Nelson mejorado llamado capacidad equivalente de destilación (EDC, equivalent distillation capacity). En la imagen se puede ver un ejemplo de su cálculo. Empresas con igual capacidad equivalente deberían tener similar eficiencia, costo, energía, cantidad de personal, etc.

Véase también: Capacidad equivalente

Consumo de energía de una refinería

Relación entre consumo de energía de una refinería (medido en BTU o unidades térmicas británicas) y su índice de complejidad

Uno de los resultados del uso de los índices de complejidad es el hecho de que muchos aspectos de la operación de una refinería están relacionados con la complejidad. En particular, es posible correlacionar el consumo de energía con la complejidad de la destilería. La ventaja más importante de los estudios comparativos es que indican cuáles son los consumos de energía de una refinería para una misma complejidad e inducir a las compañías a que traten de mejorar su posición relativa en el estudio de benchmarking. Esta mejora se logra mediante la implantación de programas adecuados de ahorro de energía y la introducción de tecnologías más eficientes.^[8]

En los estudios comparativos de performance actuales se establece un nivel de consumo de energía estándar para cada unidad de proceso de la refinería. Esta es una meta razonable. El factor guía es la razón entre el consumo real de energía y el valor estándar. Para relacionar el factor guía con los valores que realmente se miden en la destilería debe seguirse el siguiente gráfico que representa el consumo estándar de una refinería.

Los estudios demuestran que las refinerías con mejores índices de energía monitorean continuamente sus hornos, usan eficientemente su vapor y su condensado, envían sus productos a procesos secundarios, evitando enfriamientos innecesarios y convenciendo al personal de planta sobre las bondades del ahorro de energía.