miércoles, 13 de noviembre de 2019

LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS


Triángulo equilátero
Polígono regular 3 anotado.svg
Un triángulo regular
TipoPolígono regular
Bordes y vértices3
Símbolo de Schläfli{3}
Diagrama CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grupo de simetríaDiedro (D 3 ), orden 2 × 3
Ángulo interno ( grados )60 °
Polígono dualYo
PropiedadesConvexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal
Triángulo
Triangle illustration.svg
Un triángulo
Bordes y vértices3
Símbolo de Schläfli{3} (para equilátero)
Zonavarios métodos;
vea abajo
Ángulo interno ( grados )60 ° (para equilátero)
triángulo, tri, tres, ángulo
Triángulo = Tri (tres) + Ángulo
Un triángulo es un polígono con tres aristas y tres vértices . Es una de las formas básicas en geometría . Un triángulo con vértices A , B y C se denota.
En la geometría euclidiana, cualquiera de los tres puntos, cuando no es colineal , determina un triángulo único y, simultáneamente, un plano único (es decir, un espacio euclidiano bidimensional ). En otras palabras, solo hay un plano que contiene ese triángulo, y cada triángulo está contenido en algún plano. Si toda la geometría es solo el plano euclidiano , solo hay un plano y todos los triángulos están contenidos en él; sin embargo, en espacios euclidianos de dimensiones superiores, esto ya no es cierto. Este artículo trata sobre triángulos en geometría euclidiana, y en particular, el plano euclidiano, excepto donde se indique lo contrario.




































Tipos de triangulo

Diagrama de Euler de los tipos de triángulos, utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos 2 lados iguales (es decir, los triángulos equiláteros son isósceles).

Por longitudes de lados

Los triángulos se pueden clasificar según la longitud de sus lados:
  • Un triángulo equilátero tiene todos los lados de la misma longitud. Un triángulo equilátero también es un polígono regular con todos los ángulos que miden 60 °. [1]
  • Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud. [nota 1] [2] Un triángulo isósceles también tiene dos ángulos de la misma medida, a saber, los ángulos opuestos a los dos lados de la misma longitud; Este hecho es el contenido del teorema del triángulo isósceles , que Euclides conocía Algunos matemáticos definen un triángulo isósceles para tener exactamente dos lados iguales, mientras que otros definen un triángulo isósceles como uno con al menos dos lados iguales. [2] La última definición haría que todos los triángulos equiláteros sean triángulos isósceles. El triángulo rectángulo 45–45–90, que aparece en el mosaico cuadrado tetrakis , es isósceles.
  • Un triángulo escaleno tiene todos sus lados de diferentes longitudes. [3] Equivalentemente, tiene todos los ángulos de diferente medida.
Triángulo equiláteroTriángulo isóscelesTriángulo escaleno
EquiláteroIsóscelesEscaleno
Las marcas de sombreado , también llamadas marcas de graduación, se usan en diagramas de triángulos y otras figuras geométricas para identificar lados de igual longitud. Un lado puede marcarse con un patrón de "ticks", segmentos de línea cortos en forma de marcas de conteodos lados tienen la misma longitud si ambos están marcados con el mismo patrón. En un triángulo, el patrón generalmente no tiene más de 3 ticks. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 lados, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 lados y un triángulo escaleno tiene patrones diferentes en todos los lados ya que ninguno de los lados es igual. Del mismo modo, los patrones de 1, 2 o 3 arcos concéntricos dentro de los ángulos se utilizan para indicar ángulos iguales. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 ángulos, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 ángulos, y un triángulo escaleno tiene patrones diferentes en todos los ángulos ya que ningún ángulo es igual.

Por ángulos internos

Los triángulos también se pueden clasificar de acuerdo con sus ángulos internos , medidos aquí en grados .
  • Un triángulo rectángulo (o triángulo rectángulo , anteriormente llamado triángulo rectángulo ) tiene uno de sus ángulos interiores que mide 90 ° (un ángulo recto ). El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa , el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados se llaman patas o catheti [4] (singular: cathetus ) del triángulo. Los triángulos rectángulos obedecen el teorema de Pitágoras : la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa: 2 + 2 = 2, Donde un y b son las longitudes de las piernas y c es la longitud de la hipotenusa. Los triángulos rectángulos especiales son triángulos rectángulos con propiedades adicionales que facilitan los cálculos que los involucran. Uno de los dos más famosos es el triángulo rectángulo 3–4–5, donde 2 + 4 2 = 5 2 . En esta situación, 3, 4 y 5 son un triple pitagórico . El otro es un triángulo isósceles que tiene 2 ángulos que miden 45 grados cada uno.
  • Los triángulos que no tienen un ángulo de 90 ° se llaman triángulos oblicuos .
  • Un triángulo con todos los ángulos interiores que miden menos de 90 ° es un triángulo agudo o un triángulo de ángulo agudo . Si c es la longitud del lado más largo, entonces 2 + 2 > 2 , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
  • Un triángulo con un ángulo interior que mide más de 90 ° es un triángulo obtuso o un triángulo obtuso . Si c es la longitud del lado más largo, entonces 2 + 2 < 2 , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
  • Un triángulo con un ángulo interior de 180 ° (y vértices colineales ) se degenera .
  • Un triángulo degenerado recto tiene vértices colineales, dos de los cuales son coincidentes.
Un triángulo que tiene dos ángulos con la misma medida también tiene dos lados con la misma longitud y, por lo tanto, es un triángulo isósceles. De ello se deduce que en un triángulo donde todos los ángulos tienen la misma medida, los tres lados tienen la misma longitud y, por lo tanto, dicho triángulo es equilátero.
Triángulo rectánguloTriángulo obtusoTriángulo agudo
DerechoObtusoAgudo
 
 Oblicuo

Hechos básicos

Un triángulo, que muestra el ángulo exterior d.
Se supone que los triángulos son figuras planas bidimensionales , a menos que el contexto indique lo contrario (ver Triángulos no planos , a continuación). En tratamientos rigurosos, un triángulo se llama 2- simplex (ver también Polytope ). Euclides presentó datos elementales sobre triángulos en los libros 1–4 de sus Elementos , alrededor del año 300 antes de Cristo.
Las medidas de los ángulos interiores del triángulo siempre suman 180 grados (el mismo color para señalar que son iguales).
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo en el espacio euclidiano es siempre 180 grados. [5] Este hecho es equivalente al postulado paralelo de Euclides Esto permite la determinación de la medida del tercer ángulo de cualquier triángulo dada la medida de dos ángulos. Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que es un par lineal (y por lo tanto suplementario ) a un ángulo interior. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a él; este es el teorema del ángulo exteriorLa suma de las medidas de los tres ángulos exteriores (uno para cada vértice) de cualquier triángulo es 360 grados. [nota 2]

Similitud y congruencia

Se dice que dos triángulos son similares si cada ángulo de un triángulo tiene la misma medida que el ángulo correspondiente en el otro triángulo. Los lados correspondientes de triángulos similares tienen longitudes que están en la misma proporción, y esta propiedad también es suficiente para establecer similitud.
Algunos teoremas básicos sobre triángulos similares son:
  • Si y solo si un par de ángulos internos de dos triángulos tienen la misma medida entre sí, y otro par también tiene la misma medida entre sí, los triángulos son similares.
  • Si y solo si un par de lados correspondientes de dos triángulos están en la misma proporción que otro par de lados correspondientes, y sus ángulos incluidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son similares. (El ángulo incluido para cualquiera de los dos lados de un polígono es el ángulo interno entre esos dos lados).
  • Si y solo si tres pares de lados correspondientes de dos triángulos están todos en la misma proporción, entonces los triángulos son similares. [nota 3]
Dos triángulos que son congruentes tienen exactamente el mismo tamaño y forma: [nota 4] todos los pares de ángulos interiores correspondientes son iguales en medida, y todos los pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. (Esto es un total de seis igualdades, pero tres a menudo son suficientes para demostrar congruencia).
Algunas condiciones individualmente necesarias y suficientes para que un par de triángulos sean congruentes son:
  • Postulado SAS: dos lados en un triángulo tienen la misma longitud que dos lados en el otro triángulo, y los ángulos incluidos tienen la misma medida.
  • ASA: Dos ángulos interiores y el lado incluido en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (El lado incluido para un par de ángulos es el lado que les es común).
  • SSS: cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que un lado correspondiente del otro triángulo.
  • AAS: Dos ángulos y un lado correspondiente (no incluido) en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (Esto a veces se conoce como AAcorrS y luego incluye ASA arriba).
Algunas condiciones suficientes individualmente son:
  • Teorema de hipotenusa-pierna (HL): la hipotenusa y una pierna en un triángulo rectángulo tienen la misma longitud que las de otro triángulo rectángulo. Esto también se llama RHS (ángulo recto, hipotenusa, lateral).
  • Teorema del ángulo de hipotenusa: la hipotenusa y un ángulo agudo en un triángulo rectángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los del otro triángulo rectángulo. Este es solo un caso particular del teorema de AAS.
Una condición importante es:
  • Condición de lado-lado-ángulo (o ángulo-lado-lado): si dos lados y un ángulo correspondiente no incluido de un triángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los de otro triángulo, entonces esto no es suficiente para demostrar congruencia; pero si el ángulo dado es opuesto al lado más largo de los dos lados, entonces los triángulos son congruentes. El teorema de hipotenusa-pierna es un caso particular de este criterio. La condición de ángulo lateral-lateral no garantiza por sí misma que los triángulos sean congruentes porque un triángulo podría tener un ángulo obtuso y el otro un ángulo agudo.
Usando triángulos rectángulos y el concepto de similitud, se pueden definir las funciones trigonométricas seno y coseno. Estas son funciones de un ángulo que se investigan en trigonometría .

Triángulos rectángulos

El teorema de Pitágoras
Un teorema central es el teorema de Pitágoras , que establece en cualquier triángulo rectángulo , el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si la hipotenusa tiene longitud c , y las patas tienen longitudes a y b , entonces el teorema establece que
Lo contrario es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación anterior, entonces el triángulo tiene un ángulo recto del lado opuesto c .
Algunos otros hechos sobre triángulos rectángulos:
  • Si las patas de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud, entonces los ángulos opuestos a esas patas tienen la misma medida. Como estos ángulos son complementarios, se deduce que cada uno mide 45 grados. Según el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es la longitud de una pierna multiplicada por √ 2 .
  • En un triángulo rectángulo con ángulos agudos que miden 30 y 60 grados, la hipotenusa es dos veces la longitud del lado más corto, y el lado más largo es igual a la longitud del lado más corto veces √ 3 :
Para todos los triángulos, los ángulos y los lados están relacionados por la ley del coseno y la ley de los senos (también llamada regla del coseno y regla del seno ).

Existencia de un triangulo

Condición en los lados

La desigualdad del triángulo establece que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo debe ser mayor o igual que la longitud del tercer lado. Esa suma puede ser igual a la longitud del tercer lado solo en el caso de un triángulo degenerado, uno con vértices colineales. No es posible que esa suma sea menor que la longitud del tercer lado. Un triángulo con tres longitudes de lado positivas dadas existe si y solo si esas longitudes de lado satisfacen la desigualdad del triángulo.

Condiciones en los ángulos

Tres ángulos dados forman un triángulo no degenerado (y de hecho una infinidad de ellos) si y solo si ambas condiciones cumplen: (a) cada uno de los ángulos es positivo, y (b) los ángulos suman 180 °. Si se permiten triángulos degenerados, se permiten ángulos de 0 °.

Condiciones trigonométricas

Tres ángulos positivos α , β y γ , cada uno de ellos inferior a 180 °, son los ángulos de un triángulo si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
[6]
[6]
[7]
la última igualdad se aplica solo si ninguno de los ángulos es de 90 ° (por lo que el valor de la función tangente siempre es finito).

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