LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

EL TRIÁNGULO , CONTINUACIÓN I

Puntos, líneas y círculos asociados con un triángulo.

Hay miles de construcciones diferentes que encuentran un punto especial asociado con (y a menudo dentro) de un triángulo, satisfaciendo alguna propiedad única: consulte el artículo Enciclopedia de los Centros de Triángulos para obtener un catálogo de ellos. A menudo se construyen encontrando tres líneas asociadas de manera simétrica con los tres lados (o vértices) y luego demostrando que las tres líneas se encuentran en un solo punto: una herramienta importante para demostrar la existencia de estas es el teorema de Ceva , que da una criterio para determinar cuándo tres de estas líneas son concurrentes . De manera similar, las líneas asociadas con un triángulo a menudo se construyen demostrando que tres puntos construidos simétricamente son colineales : aquí el teorema de Menelaoda un criterio general útil. En esta sección solo se explican algunas de las construcciones más comunes.

El circuncentro es el centro de un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Una bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a él, es decir, forma un ángulo recto con él. Las tres bisectrices perpendiculares se encuentran en un solo punto, el circuncentro del triángulo , generalmente denotado por O ; este punto es el centro de la circunferencia circunscrita , el círculo que pasa por los tres vértices. El diámetro de este círculo, llamado circundiametro , se puede encontrar en la ley de los senos establecida anteriormente. El radio del círculo circunferencial se llama circunradio .

El teorema de Tales implica que si el circuncentro está ubicado en un lado del triángulo, entonces el ángulo opuesto es el recto. Si el circuncentro está ubicado dentro del triángulo, entonces el triángulo es agudo; Si el circuncentro se encuentra fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtuso.

La intersección de las altitudes es el ortocentro .

La altitud de un triángulo es una línea recta a través de un vértice y perpendicular a (es decir, formando un ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama la base de la altitud, y el punto donde la altitud se cruza con la base (o su extensión) se llama el pie de la altitud. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y el vértice. Los tres altitudes se intersecan en un solo punto, llamado el ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H . El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo.

La intersección de las bisectrices de ángulo es el centro del círculo .

Una bisectriz angular de un triángulo es una línea recta a través de un vértice que corta el ángulo correspondiente por la mitad. Las tres bisectrices angulares se cruzan en un solo punto, el incentro , generalmente denotado por I , el centro del círculo del triángulo . El círculo es el círculo que se encuentra dentro del triángulo y toca los tres lados. Su radio se llama inradius . Hay otros tres círculos importantes, los excircles ; se encuentran fuera del triángulo y tocan un lado y las extensiones de los otros dos. Los centros de los círculos internos y externos forman un sistema ortocéntrico .

La intersección de las medianas es el centroide .

La mediana de un triángulo es una línea recta a través de un vértice y el punto medio del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas de intersección en un solo punto, del triángulo centroide baricentro o geométrica, generalmente denotados por G . El centroide de un objeto triangular rígido (recortado de una lámina delgada de densidad uniforme) también es su centro de masa : el objeto puede equilibrarse en su centroide en un campo gravitacional uniforme. El centroide corta cada mediana en la proporción 2: 1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es el doble de la distancia entre el centroide y el punto medio del lado opuesto.

El círculo de nueve puntos muestra una simetría donde seis puntos se encuentran en el borde del triángulo.

Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres altitudes se encuentran en un solo círculo, el círculo de nueve puntos del triángulo . Los tres puntos restantes para los que se nombra son los puntos medios de la porción de altitud entre los vértices y el ortocentro . El radio del círculo de nueve puntos es la mitad que el del círculo circunferencial. Toca el incircle (en el punto de Feuerbach ) y los tres círculos .

La línea de Euler es una línea recta a través del ortocentro (azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde)

El ortocentro (punto azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde) se encuentran en una sola línea, conocida como línea de Euler (línea roja). El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad que entre el centroide y el ortocentro.

El centro del incircle no se encuentra en general en la línea de Euler.

Si se refleja una mediana en la bisectriz angular que pasa por el mismo vértice, se obtiene un simétrico . Los tres symmedians se cruzan en un solo punto, el punto symmedian del triángulo.

Calcular los lados y ángulos

Existen varios métodos estándar para calcular la longitud de un lado o la medida de un ángulo. Ciertos métodos son adecuados para calcular valores en un triángulo rectángulo; Se pueden requerir métodos más complejos en otras situaciones.

Relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos

Artículo principal: funciones trigonométricas

Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90 ° (π / 2 radianes), aquí con la etiqueta C. Los ángulos A y B pueden variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes laterales y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

En triángulos rectángulos , las relaciones trigonométricas de seno, coseno y tangente se pueden usar para encontrar ángulos desconocidos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se conocen de la siguiente manera:

• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definido como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h .
• El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que nos interesa, en este caso a .
• El lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que nos interesa y el ángulo recto, de ahí su nombre. En este caso, el lado adyacente es b .

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es la relación de la longitud del lado opuesto a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

$${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {hypotenuse}}} = {\ frac {a} {h}} \ ,.}

Esta relación no depende del triángulo rectángulo particular elegido, siempre que contenga el ángulo A , ya que todos esos triángulos son similares .

El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

$${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {\ text {lado adyacente}} {\ text {hypotenuse}}} = {\ frac {b} {h}} \ ,.}

La tangente de un ángulo es la relación de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

$${\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {lado adyacente}}} = {\ frac {a} {b}} = {\ frac {\ sin A} {\ cos UNA}}\,.}

El acrónimo " SOH-CAH-TOA " es un mnemónico útil para estas proporciones.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas se pueden usar para calcular los ángulos internos para un triángulo rectángulo con la longitud de cualquiera de los dos lados.

Arcsin se puede usar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.

$${\ displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {hypotenuse}}} \ right)}

Arccos se puede usar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

$${\ displaystyle \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {\ text {adyacente}} {\ text {hypotenuse}}} \ right)}

Arctan se puede usar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente.

$${\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {lado adyacente}}} \ right)}

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sen ⁻¹ , cos ⁻¹ , etc., a menudo se usa en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde trigonométrica Las funciones suelen elevarse a potencias, ya que esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo .

Reglas seno, coseno y tangente

Artículos principales: Ley de senos , Ley de cosenos y Ley de tangentes.

Un triángulo con lados de longitud a, byc y ángulos de α, β y γ respectivamente.

La ley de los senos , o regla senoidal, ^[8] establece que la relación de la longitud de un lado al seno de su ángulo opuesto correspondiente es constante, es decir

$${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}.}

Esta relación es igual al diámetro del círculo circunscrito del triángulo dado. Otra interpretación de este teorema es que cada triángulo con ángulos α, β y γ es similar a un triángulo con longitudes laterales iguales a sin α, sin β y sin γ. Este triángulo puede construirse construyendo primero un círculo de diámetro 1 e inscribiendo en él dos de los ángulos del triángulo. La longitud de los lados de ese triángulo será sin α, sin β y sin γ. El lado cuya longitud es sen α es opuesto al ángulo cuya medida es α, etc.

La ley de los cosenos , o regla del coseno, conecta la longitud de un lado desconocido de un triángulo con la longitud de los otros lados y el ángulo opuesto al lado desconocido. ^[8] Según la ley:

Para un triángulo con longitud de lados a , b , c y ángulos de α, β, γ respectivamente, dadas dos longitudes conocidas de un triángulo a y b , y el ángulo entre los dos lados conocidos γ (o el ángulo opuesto al desconocido lado c ), para calcular el tercer lado c , se puede usar la siguiente fórmula:

$${\ displaystyle c ^ {2} \ = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos (\ gamma)}

$${\ displaystyle b ^ {2} \ = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac \ cos (\ beta)}

$${\ displaystyle a ^ {2} \ = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos (\ alpha)}

Si se conocen las longitudes de los tres lados de cualquier triángulo, se pueden calcular los tres ángulos:

$${\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} \ right)}

$${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left ({\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}} \ right)}

$${\ displaystyle \ gamma = \ arccos \ left ({\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}} \ right)}

La ley de las tangentes , o regla de la tangente, se puede utilizar para encontrar un lado o un ángulo cuando se conocen dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. Establece que: ^[9]

$${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan [{\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)]} {\ tan [{\ frac { 1} {2}} (\ alpha + \ beta)]}}.}

Solución de triángulos

Artículo principal: Solución de triángulos.

La "solución de triángulos" es el principal problema trigonométrico : encontrar las características faltantes de un triángulo (tres ángulos, las longitudes de los tres lados, etc.) cuando se dan al menos tres de estas características. El triángulo puede ubicarse en un plano o en una esfera . Este problema a menudo ocurre en varias aplicaciones trigonométricas, como geodesia , astronomía , construcción , navegación , etc.

Calcular el área de un triángulo

El área de un triángulo puede demostrarse, por ejemplo, mediante la congruencia de triángulos , como la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma longitud y altura de base.

Una derivación gráfica de la fórmula. $${\ displaystyle T = {\ frac {h} {2}} b} eso evita el procedimiento habitual de duplicar el área del triángulo y luego dividirlo por la mitad.

Ver también: Congruencia (geometría) § Congruencia de triángulos

Calcular el área T de un triángulo es un problema elemental que se encuentra a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y más simple es:

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} bh,}

donde b es la longitud de la base del triángulo yh es la altura o altitud del triángulo. El término "base" denota cualquier lado, y "altura" denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto a la base en la línea que contiene la base. En 499 CE Aryabhata , utilizó este método ilustrado en el Aryabhatiya (sección 2.6). ^[10]

Aunque simple, esta fórmula solo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente, lo cual no siempre es el caso. Por ejemplo, el topógrafo de un campo triangular podría encontrar relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero relativamente difícil construir una 'altura'. Se pueden usar varios métodos en la práctica, dependiendo de lo que se sepa sobre el triángulo. La siguiente es una selección de fórmulas de uso frecuente para el área de un triángulo.