LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

punto de isoscelificadores congruentes es un punto especial asociado con un triángulo plano . Es un centro triangular y aparece en la lista como X (173) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . Este punto fue introducido al estudio de la geometría del triángulo por Peter Yff en 1989. 

Definición [ editar ]

P ₁ Q ₁ = P ₂ Q ₂ = P ₃ Q ₃

Un isoscelizador de un ángulo A en un triángulo ABC es una línea que pasa por los puntos P ₁ y Q ₁ , donde P _{1 se} encuentra en AB y Q ₁ en CA , de modo que el triángulo AP ₁ Q ₁ es un triángulo isósceles. Un isoscelizador del ángulo A es una línea perpendicular a la bisectriz del ángulo A.

Deje que ABC sea ​​cualquier triángulo. Sean P ₁ Q ₁ , P ₂ Q ₂ , P ₃ Q ₃ los isoscelificadores de los ángulos A , B , C , respectivamente, de modo que todos tengan la misma longitud. Entonces, para una configuración única, los tres isoscelificadores P ₁ Q ₁ , P ₂ Q ₂ , P ₃ Q ₃ son concurrentes. El punto de concurrencia es el punto de isoscelificadores congruentes del triángulo ABC. ^[1]

Propiedades [ editar ]

Construcción para punto de isoscelificadores congruentes. A'B'C ' es el triángulo intouch del triángulo ABC y A' 'B' 'C' ' es el triángulo intouch del triángulo A'B'C' .

• Las coordenadas trilineales del punto de isoscelificadores congruentes del triángulo ABC son ^[1]

(cos ( B / 2) + cos ( C / 2) - cos ( A / 2 '): cos ( C / 2) + cos ( A / 2) - cos ( B / 2'): cos ( A / 2 ) + cos ( B / 2) - cos ( C / 2 '))

= (tan ( A / 2) + sec ( A / 2): tan ( B / 2) + sec ( B / 2): tan ( C / 2) + sec ( C / 2))

• El triángulo intouch del triángulo intouch del triángulo ABC es una perspectiva del triángulo ABC , y el punto de isoscelificadores congruentes es el perspector . Este hecho puede usarse para localizar mediante construcciones geométricas el punto de isoscelificadores congruentes de cualquier triángulo ABC dado .

"Incircle" vuelve a dirigir aquí. Para incircles de polígonos no triangulares, vea Cuadrilátero tangencial y Polígono tangencial .

Un triángulo con incircle, incentro (I), círculos, excedentes (J _A , J _B , J _C ), bisectrices de ángulo interno y bisectrices de ángulo externo. El triángulo verde es el triángulo excentral.                              

En geometría , el círculo o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita es un centro de triángulo llamado triángulo del incentro . ^[1]

Un excircle o círculo escribed ^[2] del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de las otras dos . Cada triángulo tiene tres círculos distintos, cada tangente a uno de los lados del triángulo. ^[3]

El centro del incírculo, llamado incentro , se puede encontrar como la intersección de los tres ángulos internos . ^[3] [4] El centro de un círculo es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice A , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de esta excircle se llama la excéntrica en relación con el vértice A , o la excéntrica de A . ^[3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro del círculo junto con los tres centros del círculo forman unorthocentric sistema . ^{[5] : pág. 182}

Todos los polígonos regulares tienen incírculos tangentes a todos los lados, pero no todos los polígonos tienen; los que lo hacen son polígonos tangenciales . Ver también Líneas tangentes a círculos .

Incirculo e incentro [ editar ]

Ver también: incentro

Un triángulo, Δ ABC , con incircle, incentro ( I ), triángulo de contacto (Δ T _a T _b T _c ) y punto de Gergonne (Ge)                    

Suponer $${\ displaystyle \ triangle ABC}tiene una circunferencia inscrita con el radio r y centro de I . Sea a la longitud de BC , b la longitud de AC y c la longitud de AB . También deja$${\ displaystyle T_ {a}, T_ {b}, {\ text {and}} T_ {c}}ser los puntos de contacto donde el incircle toca BC , AC y AB .

Incentro [ editar ]

El incentro es el punto donde las bisectrices de ángulo interno de$${\ displaystyle \ angle ABC, \ angle BCA, {\ text {and}} \ angle BAC} reunirse.

La distancia desde el vértice A al incentro I es:

$${\ displaystyle d (A, I) = c {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}} = b {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)} {\ cos \ left ({\ frac {B} {2}} \ right)} }}

Coordenadas trilineales [ editar ]

Las coordenadas trilineales para un punto en el triángulo es la razón de todas las distancias a los lados del triángulo. Como el Incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, las coordenadas trilineales para el incentro son ^[6]

$${\ displaystyle \ 1: 1: 1.}

Coordenadas barcéntricas [ editar ]

Las coordenadas barcéntricas para un punto en un triángulo dan pesos de tal manera que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas barcéntricas para el incentro están dadas por

$${\ displaystyle \ a: b: c}

dónde $${\ displaystyle a}, $${\ displaystyle b}y $${\ displaystyle c}son las longitudes de los lados del triángulo, o de manera equivalente (usando la ley de los senos ) por

$${\ displaystyle \ sin (A): \ sin (B): \ sin (C)}

dónde $${\ displaystyle A}, $${\ displaystyle B}y $${\ displaystyle C} son los ángulos en los tres vértices.

Coordenadas cartesianas [ editar ]

Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices utilizando las longitudes laterales del triángulo en relación con el perímetro. Es decir, utilizando las coordenadas barcéntricas dadas anteriormente, normalizadas para sumar a la unidad, como pesos. (Los pesos son positivos, por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indicó anteriormente). Si los tres vértices se encuentran en$${\ displaystyle (x_ {a}, y_ {a})}, $${\ displaystyle (x_ {b}, y_ {b})}y $${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}, y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes $${\ displaystyle a}, $${\ displaystyle b}y $${\ displaystyle c}, entonces el incentro está en

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax_ {a} + bx_ {b} + cx_ {c}} {a + b + c}}, {\ frac {ay_ {a} + by_ {b} + cy_ { c}} {a + b + c}} \ right) = {\ frac {a \ left (x_ {a}, y_ {a} \ right) + b \ left (x_ {b}, y_ {b} \ derecha) + c \ izquierda (x_ {c}, y_ {c} \ derecha)} {a + b + c}}.}

Radio [ editar ]

El radio r del incirculo en un triángulo con lados de longitud a , b , c viene dado por

$${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}} {s}}}, dónde $${\ displaystyle s = (a + b + c) / 2}. ^[7]

Ver la fórmula de Heron .

Distancias a los vértices [ editar ]

Denotando el incentro del triángulo ABC como I , las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación ^[8]

$${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1.}

Además, ^[9]

$${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2},}

donde R y r son el circunradio e inradio del triángulo respectivamente.

Otras propiedades [ editar ]

La colección de centros triangulares puede tener la estructura de un grupo bajo la multiplicación coordinada de coordenadas trilineales; En este grupo, el incentro forma el elemento de identidad . ^[6]

Incircle y sus propiedades de radio [ editar ]

Distancias entre el vértice y los puntos de contacto más cercanos [ editar ]

Las distancias desde un vértice hasta los dos puntos de contacto más cercanos son iguales:

$${\ displaystyle d \ left (A, T_ {B} \ right) = d \ left (A, T_ {C} \ right) = {\ frac {1} {2}} (b + ca)}

Otras propiedades [ editar ]

Suponga que los puntos de tangencia del círculo dividen los lados en longitudes de x e y , y y z , y z y x . Entonces el círculo tiene el radio ^[10]

$${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {xyz} {x + y + z}}}}

y el área del triángulo es

$${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {xyz (x + y + z)}}.}

Si las altitudes de lados de longitudes a , b , y c son h _una , h _b y h _c entonces la inradio r es un tercio de la media armónica de estas altitudes; es decir,

$${\ displaystyle r = {\ frac {1} {{\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c }}}}}.}^[11]

El producto del radio incircle r y la circunferencia circunscrita radio R de un triángulo con lados a , b , y c es ^{[5] : p. 189, n.º 298 (d)}

$${\ displaystyle rR = {\ frac {abc} {2 (a + b + c)}}.}

Algunas relaciones entre los lados, el radio del círculo y el radio del círculo son: ^[12]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ab + bc + ca & = s ^ {2} + (4R + r) r, \\ a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & = 2s ^ {2} -2 (4R + r) r. \ End {alineado}}}

Cualquier línea a través de un triángulo que divide el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su círculo). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado. ^[13]

Denotando el centro del círculo del triángulo ABC como I , tenemos ^[14]

$${\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} {AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1}

y ^{[15] : p.121, # 84}

$${\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2}.}

La distancia desde cualquier vértice a la tangencia del incirculo en cualquier lado adyacente es la mitad de la suma de los lados adyacentes del vértice menos la mitad del lado opuesto. ^[16] Así, por ejemplo, para el vértice B y las tangencias adyacentes T _A y T _C ,

$${\ displaystyle BT_ {A} = BT_ {C} = {\ frac {BC + AB-AC} {2}}.}

El radio del círculo no es mayor que una novena parte de la suma de las altitudes. ^{[17] : pág. 289}

La distancia al cuadrado desde el incentro I al circuncentro O viene dada por ^{[18] : p.232}

$${\ displaystyle OI ^ {2} = R (R-2r),}

y la distancia desde el incentro al centro N del círculo de nueve puntos es ^{[18] : p.232}

{\ displaystyle IN = {\ frac {1} {2}} (R-2r) <{\ frac {1} {2}} R.}

El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados). ^{[18] : p.233, Lema 1}

Relación con el área del triángulo [ editar ]

Un triángulo, Δ ABC , con incircle, incentro ( I ), triángulo de contacto (Δ T _a T _b T _c ) y punto de Gergonne (Ge)                    

El radio del círculo está relacionado con el área del triángulo. ^[19] La relación del área del incircle con el área del triángulo es menor o igual que $${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}, con igualdad solo para triángulos equiláteros . ^[20]

Suponer $${\ displaystyle \ triangle ABC} tiene una circunferencia inscrita con el radio r y centro de I . Sea a la longitud de BC , b la longitud de AC y c la longitud de AB . Ahora, el incirculo es tangente a AB en algún punto C ' , y así $${\ displaystyle \ angle AT_ {c} I} es correcto. Por lo tanto, el radio, T _c I , es una altitud de $${\ displaystyle \ triangle IAB}. Por lo tanto, $${\ displaystyle \ triangle IAB} tiene longitud de base c y altura r , y también tiene área $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} cr}. Similar, $${\ displaystyle \ triangle IAC} tiene área $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} br} y $${\ displaystyle \ triangle IBC} tiene área $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ar}. Como estos tres triángulos se descomponen $${\ displaystyle \ triangle ABC}, vemos que el área $${\ displaystyle \ Delta {\ text {of}} \ triangle ABC} es:

$${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) r = sr,}     y     $${\ displaystyle r = {\ frac {\ Delta} {s}},}

dónde $${\ displaystyle \ Delta} es el área de $${\ displaystyle \ triangle ABC} y $${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)} Es su semiperímetro.

Para una fórmula alternativa, considere $${\ displaystyle \ triangle IT_ {c} A}. Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a r y el otro lado igual a$${\ displaystyle r \ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right)}. Lo mismo es cierto para$${\ displaystyle \ triangle IB'A}. El triángulo grande se compone de 6 de estos triángulos y el área total es:

$${\ displaystyle \ Delta = r ^ {2} \ left (\ cot \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {B} {2}} \ right ) + \ cot \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) \ right)}

Triángulo y punto de Gergonne [ editar ]

Un triángulo, Δ ABC , con incircle, incentro ( I ), triángulo de contacto (Δ T _a T _b T _c ) y punto de Gergonne (Ge)                    

El triángulo de Gergonne (de ABC ) se define por los 3 puntos de contacto del círculo en los 3 lados. El punto de contacto opuesto a A se denota T _A , etc.

Este Gergonne triángulo T _A T _B T _C también se conoce como el triángulo de contacto o triángulo intouch de ABC . Su área es

$${\ displaystyle K_ {T} = K {\ frac {2r ^ {2} s} {abc}}}

dónde $${\ displaystyle K}, $${\ displaystyle r}, $${\ displaystyle s}son el área, el radio del incircle y el semiperímetro del triángulo original, y$${\ displaystyle a}, $${\ displaystyle b}, $${\ displaystyle c}son las longitudes laterales del triángulo original. Esta es la misma área que la del triángulo extouch . ^[21]

Las tres líneas AT _A , BT _B y CT _{C se} cruzan en un solo punto llamado punto Gergonne , denotado como Ge - X (7) . El punto de Gergonne se encuentra en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro, y podría ser cualquier punto en él. ^[22]

El punto de Gergonne de un triángulo es el punto simétrico del triángulo de Gergonne. Para un conjunto completo de propiedades del punto Gergonne ver. ^[23]

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo intouch están dadas por

• $${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}
• $${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}
• $${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {C} = \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0}

Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne están dadas por

$${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)},

o, de manera equivalente, por la Ley de senos ,

$${\ displaystyle {\ frac {bc} {b + ca}}: {\ frac {ca} {c + ab}}: {\ frac {ab} {a + bc}}}.

Excircles y excenters [ editar ]

Un triángulo con incircle, incentro (I), círculos, excedentes (J _A , J _B , J _C ), bisectrices de ángulo interno y bisectrices de ángulo externo. El triángulo verde es el triángulo excentral.                              

Un excircle o círculo escribed ^[24] del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de las otras dos . Cada triángulo tiene tres círculos distintos, cada tangente a uno de los lados del triángulo. ^[3]

El centro de un círculo es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice A , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de esta excircle se llama la excéntrica en relación con el vértice A , o la excéntrica de A . ^[3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro del círculo junto con los tres centros del círculo forman un sistema ortocéntrico . ^{[5] : pág. 182}

Coordenadas trilineales de excenters [ editar ]

Mientras que el incentro del triángulo ABC tiene coordenadas trilineales $${\ displaystyle 1: 1: 1,} sus excedentes (los centros de sus círculos) tienen trilineales $${\ displaystyle -1: 1: 1}, $${\ displaystyle 1: -1: 1} y $${\ displaystyle 1: 1: -1.}

Exradii [ editar ]

Los radios de los excirculos se llaman exradii .

El exradio del excirculo opuesto a A (tocando BC, centrado en $${\ displaystyle J_ {A}}) es

$${\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {rs} {sa}} = {\ sqrt {\ frac {s (sb) (sc)} {sa}}},} dónde $${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c).}^[25] [26]

Ver la fórmula de Heron .

Derivación de la fórmula exradii [ editar ]

espectáculo

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Otras propiedades [ editar ]

De las fórmulas anteriores se puede ver que los círculos son siempre más grandes que el círculo y que el círculo más grande es la tangente al lado más largo y el círculo más pequeño es tangente al lado más corto. Además, la combinación de estas fórmulas produce: ^[28]

$${\ displaystyle \ Delta = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}

Otras propiedades de circunferencia [ editar ]

El casco circular de los círculos es internamente tangente a cada uno de los círculos y, por lo tanto, es un círculo de Apolonio . ^[29] El radio de este círculo de Apolonio es$${\ displaystyle {\ tfrac {r ^ {2} + s ^ {2}} {4r}}}donde r es el radio del círculo y s es el semiperímetro del triángulo. ^[30]

Las siguientes relaciones mantienen entre los inradio r , la circunferencia circunscrita R , el semiperímetro s , y los radios excircle r _un , r _b , r _c : ^[12]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} & = 4R + r, \\ r_ {a} r_ {b} + r_ {b} r_ {c} + r_ {c} r_ {a} & = s ^ {2}, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} & = \ left (4R + r \ right) ^ {2} -2s ^ {2}, \ end {alineado}}}

El círculo a través de los centros de los tres excircles tiene un radio de 2 R . ^[12]

Si H es el ortocentro del triángulo ABC , entonces ^[12]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r & = AH + BH + CH + 2R, \\ r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} & = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}. \ End {alineado }}}

Triángulo Nagel y punto Nagel [ editar ]

Artículo principal: triángulo Extouch

El triángulo de exaouch (△ T _A T _B T _C ) y el punto Nagel (N) de un triángulo (△ ABC). Los círculos de color naranja son los excircles del triángulo.               

El triángulo Nagel o triángulo EXPLÍCITA de ABC se designan con los vértices T _A , T _B y T _C que son los tres puntos donde las excircles tocan el triángulo de referencia ABC y donde T _A es opuesto de A , etc. Este triángulo T _A T _B T _C también se conoce como el triángulo extouch de ABC . La circunferencia circunscrita del triángulo de exaltación T _A T _B T_C se llama el círculo Mandart .

Las tres líneas AT _A , BT _B y CT _C se llaman divisores del triángulo; cada uno bisecta el perímetro del triángulo,

$${\ displaystyle AB + BT_ {A} = AC + CT_ {A} = {\ frac {1} {2}} \ left (AB + BC + AC \ right)}

Los divisores se cruzan en un solo punto, el punto Nagel del triángulo Na - X (8) .

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo extouch están dadas por

• $${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {A} = 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}
• $${\ displaystyle {\ text {vertex}} \, T_ {B} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): 0: \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)}
• $${\ displaystyle {\ text {vértice}} \, T_ {C} = \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({ \ frac {B} {2}} \ right): 0}

Las coordenadas trilineales para el punto de Nagel están dadas por

$${\ displaystyle \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {A} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {B} {2}} \ right): \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {C} {2}} \ right)},

o, de manera equivalente, por la Ley de senos ,

$${\ displaystyle {\ frac {b + ca} {a}}: {\ frac {c + ab} {b}}: {\ frac {a + bc} {c}}}.

Es el conjugado isotómico del punto de Gergonne.

Construcciones relacionadas [ editar ]

Círculo de nueve puntos y punto de Feuerbach [ editar ]

Artículo principal: círculo de nueve puntos

El círculo de nueve puntos es tangente al círculo y a los círculos.

En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa a través de nueve puntos cíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son:

• El punto medio de cada lado del triángulo.
• El pie de cada altitud.
• El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se encuentran las tres altitudes; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes). ^[31] [32]

En 1822 Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es externamente tangente a tres de ese triángulo excircles e internamente tangente a la circunferencia inscrita ; Este resultado se conoce como el teorema de Feuerbach . Él demostró que:

... el círculo que pasa a través de los pies de las altitudes de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo ... ( Feuerbach 1822 )

El centro del triángulo en el que se tocan el círculo y el círculo de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .

Triángulos Incentrales y Excentrales [ editar ]

Los puntos de intersección de las bisectrices angulares interiores de ABC con los segmentos BC, CA, AB son los vértices del triángulo incentivador . Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo de incentivo están dadas por

• $${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vértice opuesto}} \, A \ right) = 0: 1: 1}
• $${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vértice opuesto}} \, B \ right) = 1: 0: 1}
• $${\ displaystyle \ \ left ({\ text {vértice opuesto}} \, C \ right) = 1: 1: 0}

El triángulo excentral de un triángulo de referencia tiene vértices en los centros de los círculos del triángulo de referencia. Sus lados están en las bisectrices del ángulo externo del triángulo de referencia (vea la figura en la parte superior de la página ). Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo excentral están dadas por

• $${\ displaystyle ({\ text {vértice opuesto}} \, A) = - 1: 1: 1}
• $${\ displaystyle ({\ text {vértice opuesto}} \, B) = 1: -1: 1}
• $${\ displaystyle ({\ text {vértice opuesto}} \, C) = 1: 1: -1}

Ecuaciones para cuatro círculos [ editar ]

Sea x  : y  : z un punto variable en coordenadas trilineales , y sea u = cos ² (A / 2) , v = cos ² (B / 2) , w = cos ² (C / 2) . Los cuatro círculos descritos anteriormente se dan de manera equivalente por cualquiera de las dos ecuaciones dadas: ^{[33] : p. 210-215}

• Circulo:

  {\ displaystyle {\ begin {alineado} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz-2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alineado}}}

• A- excircle:

  {\ displaystyle {\ begin {alineado} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} -2vwyz + 2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {-x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alineado}}}

• B- excircle:

  {\ displaystyle {\ begin {alineado} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz-2wuzx + 2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {-y}} \ cos \ left ({\ frac {B} { 2}} \ right) \ pm {\ sqrt {z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alineado}}}

• C- excircle:

  {\ displaystyle {\ begin {alineado} u ^ {2} x ^ {2} + v ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} z ^ {2} + 2vwyz + 2wuzx-2uvxy & = 0 \ \\ pm {\ sqrt {x}} \ cos \ left ({\ frac {A} {2}} \ right) \ pm {\ sqrt {y}} \ cos \ left ({\ frac {B} {2 }} \ right) \ pm {\ sqrt {-z}} \ cos \ left ({\ frac {C} {2}} \ right) & = 0 \ end {alineado}}}

Teorema de Euler [ editar ]

El teorema de Euler establece que en un triángulo:

$${\ displaystyle (Rr) ^ {2} = d ^ {2} + r ^ {2},}

donde R y r son la circunferencia circunscrita y inradio respectivamente, y d es la distancia entre el circuncentro y el incentro.

Para los círculos, la ecuación es similar:

$${\ displaystyle \ left (R + r _ {\ text {ex}} \ right) ^ {2} = d _ {\ text {ex}} ^ {2} + r _ {\ text {ex}} ^ {2}, }

donde r _ex es el radio de uno de los círculos, y d _ex es la distancia entre el circuncentro y el centro de este círculo. ^{[34] [35] [36]}

Generalización a otros polígonos [ editar ]

Algunos (pero no todos) los cuadriláteros tienen un círculo. Estos se llaman cuadriláteros tangenciales . Entre sus muchas propiedades, quizás la más importante es que sus dos pares de lados opuestos tienen sumas iguales. Esto se llama el teorema de Pitot .

En términos más generales, un polígono con cualquier número de lados que tiene un círculo inscrito, uno que es tangente a cada lado, se llama polígono tangencial .