LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

notación triangular de Conway , llamada así por John Horton Conway , permite que las funciones trigonométricas de un triángulo se manejen algebraicamente. Dado un triángulo de referencia cuyos lados son un , b y c y cuya internas correspondientes ángulos son A , B , y C a continuación, la notación triángulo Conway es simplemente representados como sigue:

$${\ displaystyle S = bc \ sin A = ac \ sin B = ab \ sin C \,}

donde S = 2 × área del triángulo de referencia y

$${\ displaystyle S _ {\ varphi} = S \ cot \ varphi. \,}

en particular

$${\ displaystyle S_ {A} = S \ cot A = bc \ cos A = {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2}} \,}

$${\ displaystyle S_ {B} = S \ cot B = ac \ cos B = {\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2}} \,}

$${\ displaystyle S_ {C} = S \ cot C = ab \ cos C = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2}} \,}

$${\ displaystyle S _ {\ omega} = S \ cot \ omega = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2}} \,}      dónde $${\ displaystyle \ omega \,}es el ángulo de Brocard . Se usa la ley de cosenos :$${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos A}.

$${\ displaystyle S _ {\ frac {\ pi} {3}} = S \ cot {\ frac {\ pi} {3}} = S {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} \,}

$${\ displaystyle S_ {2 \ varphi} = {\ frac {S _ {\ varphi} ^ {2} -S ^ {2}} {2S _ {\ varphi}}} \ quad \ quad S _ {\ frac {\ varphi} {2}} = S _ {\ varphi} + {\ sqrt {S _ {\ varphi} ^ {2} + S ^ {2}}} \,}    para valores de   $${\ displaystyle \ varphi}  dónde   {\ displaystyle 0 <\ varphi <\ pi \,}

$${\ displaystyle S _ {\ vartheta + \ varphi} = {\ frac {S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} -S ^ {2}} {S _ {\ vartheta} + S _ {\ varphi}}} \ quad \ quad S _ {\ vartheta - \ varphi} = {\ frac {S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} + S ^ {2}} {S _ {\ varphi} -S _ {\ vartheta}}} \ ,.}

Además, la convención utiliza una notación abreviada para $${\ displaystyle S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} = S _ {\ vartheta \ varphi} \,} y $${\ displaystyle S _ {\ vartheta} S _ {\ varphi} S _ {\ psi} = S _ {\ vartheta \ varphi \ psi} \ ,.}

Por lo tanto:

$${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {S} {bc}} = {\ frac {S} {\ sqrt {S_ {A} ^ {2} + S ^ {2}}}} \ quad \ quad \ cos A = {\ frac {S_ {A}} {bc}} = {\ frac {S_ {A}} {\ sqrt {S_ {A} ^ {2} + S ^ {2}}}} \ quad \ quad \ tan A = {\ frac {S} {S_ {A}}} \,}

$${\ displaystyle a ^ {2} = S_ {B} + S_ {C} \ quad \ quad b ^ {2} = S_ {A} + S_ {C} \ quad \ quad c ^ {2} = S_ {A } + S_ {B} \ ,.}

Algunas identidades importantes:

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} S_ {A} = S_ {A} + S_ {B} + S_ {C} = S _ {\ omega} \,}

$${\ displaystyle S ^ {2} = b ^ {2} c ^ {2} -S_ {A} ^ {2} = a ^ {2} c ^ {2} -S_ {B} ^ {2} = a ^ {2} b ^ {2} -S_ {C} ^ {2} \,}

$${\ displaystyle S_ {BC} = S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} -a ^ {2} S_ {A} \ quad \ quad S_ {AC} = S_ {A} S_ {C} = S ^ {2} -b ^ {2} S_ {B} \ quad \ quad S_ {AB} = S_ {A} S_ {B} = S ^ {2} -c ^ {2} S_ {C} \, }

$${\ displaystyle S_ {ABC} = S_ {A} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} (S _ {\ omega} -4R ^ {2}) \ quad \ quad S _ {\ omega} = s ^ {2} -r ^ {2} -4rR \,}

donde R es el circunradio y abc  = 2 SR y donde r es el incentro ,   $${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}} \,}   y   $${\ displaystyle a + b + c = {\ frac {S} {r}} \ ,.}

Algunas conversiones trigonométricas útiles:

$${\ displaystyle \ sin A \ sin B \ sin C = {\ frac {S} {4R ^ {2}}} \ quad \ quad \ cos A \ cos B \ cos C = {\ frac {S _ {\ omega} -4R ^ {2}} {4R ^ {2}}}}

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} \ sin A = {\ frac {S} {2Rr}} = {\ frac {s} {R}} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic }} \ cos A = {\ frac {r + R} {R}} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic}} \ tan A = {\ frac {S} {S _ {\ omega} -4R ^ {2}}} = \ tan A \ tan B \ tan C \ ,.}

Algunas fórmulas útiles:

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {2} S_ {A} = a ^ {2} S_ {A} + b ^ {2} S_ {B} + c ^ {2} S_ { C} = 2S ^ {2} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {4} = 2 (S _ {\ omega} ^ {2} -S ^ {2}) \,}

$${\ displaystyle \ sum _ {\ text {cyclic}} S_ {A} ^ {2} = S _ {\ omega} ^ {2} -2S ^ {2} \ quad \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic} } S_ {BC} = \ sum _ {\ text {cyclic}} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} \ quad \ quad \ sum _ {\ text {cyclic}} b ^ {2} c ^ {2} = S _ {\ omega} ^ {2} + S ^ {2} \ ,.}

Algunos ejemplos que usan la notación triangular de Conway:

Sea D la distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas trilineales son p _a  : p _b  : p _c y q _a  : q _b  : q _c . Sea K _p = ap _a + bp _b + cp _c y sea K _q = aq _a + bq _b + cq _c . Entonces D viene dado por la fórmula:

$${\ displaystyle D ^ {2} = \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {2} S_ {A} \ left ({\ frac {p_ {a}} {K_ {p}}} - {\ frac {q_ {a}} {K_ {q}}} \ right) ^ {2} \ ,.}

Con esta fórmula es posible determinar OH, la distancia entre el circuncentro y el ortocentro de la siguiente manera:

Para el circuncentro p _a  =  aS _A y para el ortocentro q _a  =  S _B S _C / a

$${\ displaystyle K_ {p} = \ sum _ {\ text {cyclic}} a ^ {2} S_ {A} = 2S ^ {2} \ quad \ quad K_ {q} = \ sum _ {\ text {cyclic }} S_ {B} S_ {C} = S ^ {2} \ ,.}

Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}&{}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {aS_{A}}{2S^{2}}}-{\frac {S_{B}S_{C}}{aS^{2}}}\right)^{2}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{4}S_{A}^{3}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}+{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}(S^{2}-S_{B}S_{C})-2(S_{\omega }-4R^{2})+(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}c^{2}-S^{2})-{\frac {1}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {3a^{2}b^{2}c^{2}}{4S^{2}}}-{\frac {1}{4}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}-{\frac {3}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}=3R^{2}-{\frac {1}{2}}S_{\omega }-{\frac {3}{2}}S_{\omega }+6R^{2}\\&{}=9R^{2}-2S_{\omega }.\end{aligned}}}$

Esto da:

$${\ displaystyle OH = {\ sqrt {9R ^ {2} -2S _ {\ omega} \,}}.}

  (Redirigido desde CPCTC )

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Un ejemplo de congruencia. Los dos triángulos de la izquierda son congruentes, mientras que el tercero es similar a ellos. El último triángulo no es similar ni congruente con ninguno de los otros. La congruencia permite la alteración de algunas propiedades, como la ubicación y la orientación, pero deja otras sin cambios, como la distancia y los ángulos . Las propiedades sin cambios se llaman invariantes .

En geometría , dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. ^[1]

Más formalmente, dos conjuntos de puntos se denominan congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro por una isometría , es decir, una combinación de movimientos rígidos , es decir, una traslación , una rotación y una reflexión . Esto significa que cualquiera de los objetos puede ser reposicionado y reflejado (pero no redimensionado) para que coincida con precisión con el otro objeto. Entonces, dos figuras planas distintas en un pedazo de papel son congruentes si podemos recortarlas y luego combinarlas por completo. Se permite dar vuelta el papel.

Este diagrama ilustra el principio geométrico de la congruencia del triángulo ángulo-ángulo-lado: dado el triángulo ABC y el triángulo A'B'C ', el triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C' si y solo si el ángulo CAB es congruente con C'A'B 'y ?? ángulo ABC es congruente con A'B'C' y BC es congruente con B'C '

En geometría elemental, la palabra congruente se usa a menudo de la siguiente manera. ^[2] La palabra igual a menudo se usa en lugar de congruente para estos objetos.

• Dos segmentos de línea son congruentes si tienen la misma longitud.
• Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
• Dos círculos son congruentes si tienen el mismo diámetro.

En este sentido, dos figuras planas son congruentes, lo que implica que sus características correspondientes son "congruentes" o "iguales", incluidos no solo sus lados y ángulos correspondientes, sino también sus diagonales, perímetros y áreas correspondientes.

El concepto relacionado de similitud se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente tienen el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran que la congruencia es una forma de similitud, aunque una minoría requiere que los objetos tengan diferentes tamaños para calificar como similares).

Determinación de congruencia de polígonos

Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no es congruente con ellos. Los tres tienen el mismo perímetro y área . (El orden de los lados del cuadrilátero azul es "mixto", lo que da como resultado que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener un número igual de lados (y, por lo tanto, un número igual —el mismo número— de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y solo si tienen secuencias numéricamente idénticas (incluso si son en sentido horario para un polígono y en sentido antihorario para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo -... para n lados y n ángulos.

La congruencia de los polígonos se puede establecer gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, empareja y rotula los vértices correspondientes de las dos figuras.
• Segundo, dibuje un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traslade la primera figura por este vector para que coincidan estos dos vértices.
• Tercero, gire la figura traducida sobre el vértice coincidente hasta que coincida un par de lados correspondientes.
• Cuarto, refleje la figura girada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento el paso no se puede completar, los polígonos no son congruentes.

Congruencia de triángulos

Ver también: solución de triángulos

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son iguales en longitud y sus ángulos correspondientes son iguales en medida.

Si el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF, la relación se puede escribir matemáticamente como:

$${\ displaystyle \ triangle \ mathrm {ABC} \ cong \ triangle \ mathrm {DEF}.}

En muchos casos, es suficiente establecer la igualdad de tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.

La forma de un triángulo se determina hasta la congruencia especificando dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), dos ángulos y el lado entre ellos (ASA) o dos ángulos y un lado adyacente correspondiente (AAS). Sin embargo, especificar dos lados y un ángulo adyacente (SSA) puede generar dos triángulos posibles distintos.

Determinando congruencia

La evidencia suficiente de congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano se puede mostrar a través de las siguientes comparaciones:

• SAS (Side-Angle-Side): si dos pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud y los ángulos incluidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son congruentes.
• SSS (Side-Side-Side): si tres pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes.
• ASA (Angle-Side-Angle): si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en medida, y los lados incluidos son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.

El postulado de ASA fue contribuido por Tales de Mileto (griego). En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios - SAS, SSS y ASA - se establecen como teoremas . En el sistema del Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares , SAS se toma como uno (# 15) de 22 postulados.

• AAS (Angle-Angle-Side): si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en medida, y un par de lados no incluidos correspondientes tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes. AAS es equivalente a una condición ASA, por el hecho de que si se dan dos ángulos, también lo es el tercer ángulo, ya que su suma debería ser 180 °. ASA y AAS a veces se combinan en una sola condición, AAcorrS : dos ángulos y un lado correspondiente. ^[3]
• RHS (Right-angle-Hypotenuse-Side), también conocido como HL (Hypotenuse-Leg): si dos triángulos en ángulo recto tienen sus hipotenusas de igual longitud y un par de lados más cortos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes .

Ángulo lateral-lateral

La condición SSA (Side-Side-Angle) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocido como ASS, o Angle-Side-Side) no prueba por sí solo la congruencia. Para mostrar congruencia, se requiere información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles:

Si dos triángulos satisfacen la condición de SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual que la longitud del lado adyacente (SSA, o ángulo lateral lateral corto-largo), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto es a veces más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es un ángulo recto, también conocido como el postulado Hipotenusa-Pierna (HL) o la condición de ángulo recto-Hipotenusa-Lado (RHS), el tercer lado se puede calcular utilizando el Teorema de Pitágoras permitiendo así que se postule el SSS aplicado.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicado por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicado por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces no se puede mostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero la información adicional que los distingue puede conducir a una prueba de congruencia.

Ángulo-ángulo-ángulo

En la geometría euclidiana, AAA (Angle-Angle-Angle) (o simplemente AA, ya que en la geometría euclidiana los ángulos de un triángulo suman 180 °) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por lo tanto, solo demuestra similitud y no congruencia en el espacio euclidiano.

Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura dada de la superficie. ^[4]

CPCTC

Este acrónimo significa que las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes y una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes. ^[5] [6]

Con más detalle, es una forma sucinta de decir que si los triángulos ABC y DEF son congruentes, es decir,

$${\ displaystyle \ triangle ABC \ cong \ triangle DEF,}

con pares de ángulos correspondientes en los vértices A y D ; B y E ; y C y F , y con los pares correspondientes de lados AB y DE ; BC y EF ; y CA y FD , entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

$${\ displaystyle {\ overline {AB}} \ cong {\ overline {DE}}}

$${\ displaystyle {\ overline {BC}} \ cong {\ overline {EF}}}

$${\ displaystyle {\ overline {AC}} \ cong {\ overline {DF}}}

$${\ displaystyle \ angle BAC \ cong \ angle EDF}

$${\ displaystyle \ angle ABC \ cong \ angle DEF}

$${\ displaystyle \ angle BCA \ cong \ angle EFD.}

El enunciado se usa a menudo como justificación en pruebas de geometría elemental cuando se necesita una conclusión de la congruencia de partes de dos triángulos después de que se ha establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes según los criterios SSS y se necesita una declaración de que los ángulos correspondientes son congruentes en una prueba, entonces CPCTC puede usarse como justificación de esta declaración.

Un teorema relacionado es CPCFC , en el que los "triángulos" se reemplazan por "figuras" para que el teorema se aplique a cualquier par de polígonos o poliedros que sean congruentes.

Definición de congruencia en geometría analítica

En un sistema euclidiano , la congruencia es fundamental; Es la contrapartida de la igualdad para los números. En geometría analítica , la congruencia se puede definir intuitivamente de este modo: dos asignaciones de figuras en un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquiera de los dos puntos en el primer mapeo, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre la correspondiente puntos en el segundo mapeo.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclidiano R ⁿ se denominan congruentes si existe una isometría f  : R ⁿ → R ⁿ (un elemento del grupo euclidiano E ( n )) con f ( A ) = B . La congruencia es una relación de equivalencia .

Secciones cónicas congruentes

Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que los caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, cuya igualdad es suficiente para establecer similitudes, y el segundo parámetro establece el tamaño. Dado que dos círculos , parábolas o hipérbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (específicamente 0 en el caso de los círculos, 1 en el caso de las parábolas y$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}} en el caso de las hipérbolas rectangulares), dos círculos, parábolas o hipérbolas rectangulares necesitan tener solo otro valor de parámetro común, estableciendo su tamaño, para que sean congruentes.

Poliedros congruentes

Para dos poliedros con el mismo número E de aristas, el mismo número de caras y el mismo número de lados en las caras correspondientes, existe un conjunto de mediciones de E como máximo que pueden establecer si los poliedros son congruentes o no. ^[7] [8] Para los cubos , que tienen 12 aristas, solo son necesarias 9 medidas.

Triángulos congruentes en una esfera

Artículos principales: resolución de triángulos § resolución de triángulos esféricos y trigonometría esférica § solución de triángulos

Al igual que con los triángulos planos, en una esfera, dos triángulos que comparten la misma secuencia de ángulo-ángulo-ángulo (ASA) son necesariamente congruentes (es decir, tienen tres lados idénticos y tres ángulos idénticos). ^[9] Esto se puede ver de la siguiente manera: se puede situar uno de los vértices con un ángulo dado en el polo sur y recorrer el lado con la longitud dada hasta el meridiano principal. Conocer ambos ángulos en cualquier extremo del segmento de longitud fija asegura que los otros dos lados emanen con una trayectoria determinada de manera única, y así se encontrarán en un punto determinado de manera única; así ASA es válido.

Los teoremas de congruencia lado-ángulo-lado (SAS) y lado-lado-lado (SSS) también se mantienen en una esfera; Además, si dos triángulos esféricos tienen una secuencia idéntica de ángulo-ángulo-ángulo (AAA), son congruentes (a diferencia de los triángulos planos). ^[9]

El teorema de congruencia plano-triángulo ángulo-ángulo-lado (AAS) no es válido para triángulos esféricos. ^[10] Como en la geometría plana, el ángulo lateral-lateral (SSA) no implica congruencia.

Notación

Un símbolo comúnmente utilizado para la congruencia es un símbolo igual con una tilde sobre él, ≅ , correspondiente al carácter Unicode 'aproximadamente igual a' (U + 2245). En el Reino Unido, a veces se usa el signo igual de tres barras ≡ (U + 2261).