LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

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Un triangulo dorado. La proporción a / b es la proporción áurea φ. El ángulo del vértice es$${\ displaystyle \ theta = 36 ^ {\ circ}}. Los ángulos base son de 72 ° cada uno.

Golden Gnomon.

Un triángulo dorado , también conocido como el triángulo sublime , ^[1] es un triángulo isósceles en el que el lado duplicado está en la proporción dorada con respecto al lado base:

$${\ displaystyle {a \ over b} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2} \ aprox 1.618 ~ 034}

Los triángulos dorados se encuentran en las redes de varias estelaciones de dodecaedros e icosaedros .

Además, es la forma de los triángulos que se encuentran en los puntos de los pentagramas regulares . El ángulo del vértice es igual a:

$${\ displaystyle \ theta = 2 \ sin ^ {- 1} {b \ over 2a} = 2 \ sin ^ {- 1} {1 \ over 2 \ varphi} = 2 \ sin ^ {- 1} {1 \ over {1 + {\ sqrt {5}}}} = {\ pi \ over 5} = 36 ^ {\ circ}.}

Dado que los ángulos de un triángulo suman 180 °, los ángulos base son, por lo tanto, 72 ° cada uno. ^[1] El triángulo dorado también se puede encontrar en un decágono regular , un polígono equiangular y equilátero de diez lados, conectando dos vértices adyacentes al centro. Esto se debe a que: 180 (10-2) / 10 = 144 ° es el ángulo interior, y biseccionándolo a través del vértice hacia el centro: 144/2 = 72 °. ^[1]

El triángulo dorado también se identifica de manera única como el único triángulo que tiene sus tres ángulos en proporciones 2: 2: 1.

Espiral logarítmica [ editar ]

Triángulos dorados inscritos en una espiral logarítmica

El triángulo dorado se usa para formar una espiral logarítmica . Al bisecar los ángulos de la base, se crea un nuevo punto que a su vez forma otro triángulo dorado. ^[3] El proceso de bisección se puede continuar infinitamente, creando un número infinito de triángulos dorados. Se puede dibujar una espiral logarítmica a través de los vértices. Esta espiral también se conoce como espiral equiangular, un término acuñado por René Descartes . "Si se dibuja una línea recta desde el polo a cualquier punto de la curva, corta la curva exactamente en el mismo ángulo", por lo tanto, equiangular . ^[4]

Golden gnomon [ editar ]

Triángulo dorado bisecado en triángulos Robinson: un triángulo dorado y un gnomon dorado.

Regular pentagrama . Cada esquina es un triángulo dorado. La figura también contiene cinco gnomones dorados "grandes", hechos uniendo al pentágono central "pequeño" dos esquinas que no son adyacentes entre sí. Dibujar los cinco lados del pentágono "grande" alrededor del pentagrama forma cinco gnomos dorados "pequeños".

Estrechamente relacionado con el triángulo dorado está el gnomon dorado , que es el triángulo isósceles obtuso en el cual la relación de las longitudes iguales de los lados más cortos a la longitud del lado base es el recíproco 1 / φ de la relación dorada φ.

Las distancias AX y CX son iguales a φ, como se ve en la figura. "El triángulo dorado tiene una relación de longitud base a longitud lateral igual a la sección dorada φ, mientras que el gnomon dorado tiene una relación de longitud lateral a longitud base igual a la sección dorada φ". ^[5]

Los ángulos base CAX y ACX son ambos iguales a:

$${\ displaystyle \ theta = \ cos ^ {- 1} {({\ varphi ^ {2} \ over 2}) \ over \ varphi} = \ cos ^ {- 1} {\ varphi \ over 2} = {\ pi \ over 5} = 36 ^ {\ circ}.}

Como los ángulos del triángulo AXC suman 180 °, el ángulo del ápice AXC es: $${\ displaystyle 180- (2 \ times 36) = 108 ^ {\ circ}.}

El gnomon dorado también se identifica de manera única como un triángulo que tiene sus tres ángulos en proporción 1: 1: 3. El ángulo agudo es 36 °, que es el mismo que el vértice del triángulo dorado.

Un triángulo dorado puede dividirse en un triángulo dorado y un gnomon dorado. Un gnomon dorado puede dividirse en un triángulo dorado y dos gnomons dorados. Un gnomon dorado y un triángulo dorado con sus lados iguales que coinciden en longitud, también se conocen como los triángulos obtusos y agudos de Robinson. ^[2]

Estos triángulos isósceles se pueden usar para producir inclinaciones de Penrose . Las baldosas de Penrose están hechas de cometas y dardos. Una cometa está hecha de dos triángulos dorados, y un dardo está hecho de dos gnomos.

transpirador Gossard ^[1] (también llamado transpirador Zeeman-Gossard ^[2] ) es un punto especial asociado con un triángulo plano . Es un centro triangular y está designado como X (402) en la Enciclopedia de Centros Triángulo de Clark Kimberling . El punto fue nombrado perspector Gossard por John Conway en 1998 en honor de Harry Clinton Gossardquien descubrió su existencia en 1916. Más tarde se supo que el punto había aparecido en un artículo de Christopher Zeeman publicado entre 1899 y 1902. Desde 2003 en adelante, la Enciclopedia de los Centros Triángulo se ha referido a este punto como el perspector Zeeman-Gossard .

Definición [ editar ]

H , H _A , H _B , H _C , H _g son ortocentros , y G , G _A , G _B , G _C , G _g son centroides de los triángulos ABC , AEF , BFD , CDE , A _g B _g C _g respectivamente.

Triángulo Gossard [ editar ]

Deje que ABC sea ​​cualquier triángulo. Deje que la línea de Euler del triángulo ABC se encuentre con las líneas laterales BC , CA y AB del triángulo ABC en D , E y F, respectivamente. Sea A _g B _g C _g el triángulo formado por las líneas de Euler de los triángulos AEF , BFD y CDE , siendo el vértice A _g la intersección de las líneas de Euler de los triángulos BFD y CDE, y de manera similar para los otros dos vértices. El triángulo A _g B _g C _g se llama el triángulo Gossard del triángulo ABC . ^[3]

Perspector Gossard [ editar ]

Deje que ABC sea ​​cualquier triángulo y deje que A _g B _g C _g sea ​​su triángulo Gossard. Entonces las líneas AA _g , BB _g y CC _g son concurrentes. El punto de concurrencia se llama el perspector Gossard del triángulo ABC .

Propiedades [ editar ]

• Sea A _g B _g C _g el triángulo Gossard del triángulo ABC . Las líneas B _g C _g , C _g A _g y A _g B _g son respectivamente paralelas a las líneas BC , CA y AB . ^[4]
• Cualquier triángulo y su triángulo Gossard son congruentes.
• Cualquier triángulo y su triángulo Gossard tienen la misma línea de Euler.
• El triángulo Gossard del triángulo ABC es el reflejo del triángulo ABC en el perspector Gossard.

Coordenadas trilineales [ editar ]

Las coordenadas trilineales del perspector Gossard del triángulo ABC son

( f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ))

dónde

f ( a , b , c ) = p ( a , b , c ) y ( a , b , c ) / a

dónde

p ( a , b , c ) = 2 a ⁴ - a ² b ² - a ² c ² - ( b ² - c ² ) ²

y

y ( a , b , c ) = a ⁸ - a ⁶ ( b ² + c ² ) + a ⁴ (2 b ² - c ² ) (2 c ² - b ² ) + ( b ² - c ² ) ² [ 3 a ² ( b ² + c ² ) - b ⁴ - c ⁴- 3 b ² c ² ]

En la figura, DEF es la línea de Euler del triángulo ABC . La línea XYZ se mueve paralela a la línea DEF . El triángulo A'B'C '  sigue siendo congruente con el triángulo ABC, sea ​​cual sea la posición de la línea XYZ . El triángulo azul 'invertido' es el triángulo Gossard del triángulo ABC .

Generalizaciones [ editar ]

La construcción que produce el triángulo Gossard de un triángulo ABC puede generalizarse para producir triángulos A'B'C '  que son congruentes con el triángulo ABC y cuyas líneas laterales son paralelas a las líneas laterales del triángulo ABC .

Generalización 1 [ editar ]

Este resultado se debe a Christopher Zeeman. ^[4]

Sea l cualquier línea paralela a la línea de Euler del triángulo ABC . Deje que l intersecte las líneas laterales BC , CA , AB del triángulo ABC en X , Y , Z respectivamente. Sea A'B'C '  el triángulo formado por las líneas de Euler de los triángulos AYZ , BZX y CXY . Entonces el triángulo A'B'C '  es congruente con el triángulo ABC y sus líneas laterales son paralelas a las líneas laterales del triángulo ABC . ^[4]

Generalización 2 [ editar ]

La generalización de Paul Yiu del triángulo Gossard.

Esta generalización se debe a Paul Yiu. ^[1] [5]

Deje que P sea cualquier punto en el plano del triángulo ABC diferente de su centroide G .

Deje que la línea PG se encuentre con las líneas laterales BC , CA y AB en X , Y y Z respectivamente.

Deje que los centroides de los triángulos AYZ , BZX y CXY sean G _a , G _b y G _c respectivamente.

Sea P _a un punto tal que YP _a sea ​​paralelo a CP y ZP _a sea ​​paralelo a BP .

Sea P _b un punto tal que ZP _b sea ​​paralelo a AP y XP _b sea ​​paralelo a CP .

Sea P _c un punto tal que XP _c sea ​​paralelo a BP e YP _c sea ​​paralelo a AP .

Sea A'B'C '  el triángulo formado por las líneas G _a P _a , G _b P _b y G _c P _c .

Entonces el triángulo A'B'C '  es congruente con el triángulo ABC y sus lados son paralelos a los lados del triángulo ABC .

Cuando P coincide con el ortocentro H del triángulo ABC, entonces la línea PG coincide con la línea de Euler del triángulo ABC . El triángulo A'B'C '  coincide con el triángulo Gossard A _g B _g C _g del triángulo ABC .

Generalización 3 [ editar ]

Deja que ABC sea ​​un triángulo. Deje que H y O sean dos puntos, y deje que la línea HO se encuentre con BC, CA, AB en A ₀ , B ₀ , C ₀ respectivamente. Sean A _H y A _O dos puntos tales que C ₀ A _H paralelos a BH , B ₀ A _H paralelos a CH y C ₀ A _O paralelos a BO , B ₀ A _Oparalelo a CO . Defina B _H , B _O , C _H , C _O cíclicamente. Entonces el triángulo formado por las líneas A _H A _O , B _H B _O , C _H C _O y el triángulo ABC son homotéticos y congruentes, y el centro homotetico se encuentra en la línea OH . ^[6] Si OH es cualquier línea a través del centroide del triángulo ABC , este problema es la generalización de Yiu del teorema del perspector Gossard.