LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

 desigualdad de Hadwiger-Finsler es el resultado de la geometría de los triángulos en el plano euclidiano . Se establece que si un triángulo en el plano tiene longitudes de los lados un , b y c y el área T , entonces

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} +4 {\ sqrt {3}} T \ quad {\ mbox {(HF)}}.}

Desigualdades relacionadas [ editar ]

• La desigualdad de Weitzenböck es un sencillo corolario de la desigualdad Hadwiger-Finsler: si un triángulo en el plano tiene longitudes de los lados un , b y c y el área T , entonces

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq 4 {\ sqrt {3}} T \ quad {\ mbox {(W)}}.}

La desigualdad de Weitzenböck también se puede probar utilizando la fórmula de Heron , por qué ruta se puede ver que la igualdad se cumple en (W) si y solo si el triángulo es un triángulo equilátero , es decir a  =  b  =  c .

• Una versión para cuadrilátero : Sea ABCD un cuadrilátero convexo con las longitudes a , b , c , dy el área T y luego: ^[1]

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ geq 4T + {\ frac {{\ sqrt {3}} - 1} {\ sqrt {3}} } \ sum {(ab) ^ {2}}}con igualdad solo para un cuadrado .

Dónde $${\ displaystyle \ sum {(ab) ^ {2}} = (ab) ^ {2} + (ac) ^ {2} + (ad) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (bd) ^ {2} + (cd) ^ {2}}

Historia [ editar ]

La desigualdad de Hadwiger-Finsler lleva el nombre de Paul Finsler y Hugo Hadwiger  ( 1937 ), quienes también publicaron en el mismo documento el teorema de Finsler-Hadwiger en un cuadrado derivado de otros dos cuadrados que comparten un vértice.

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Solución al problema del triángulo de Heilbronn para seis puntos en el cuadrado de la unidad. Estos puntos forman triángulos de cuatro formas diferentes, con un área mínima de 1/8, lo más grande posible para seis puntos en el cuadrado. Esta solución es una transformación afín de un hexágono regular, pero un mayor número de puntos tiene soluciones que incluyen puntos interiores del cuadrado.

En geometría discreta y teoría de la discrepancia , el problema del triángulo de Heilbronn es un problema de colocar puntos dentro de una región en el plano, para evitar triángulos de área pequeña . Lleva el nombre de Hans Heilbronn , quien conjeturó antes de 1950 que esta área triangular más pequeña es necesariamente inversamente proporcional al cuadrado del número de puntos. La conjetura de Heilbronn se demostró falsa, pero la tasa de crecimiento asintótico del área mínima del triángulo sigue siendo desconocida.

Definición [ editar ]

El problema puede definirse en términos de cualquier conjunto compacto D en el plano con área distinta de cero, como el cuadrado de la unidad o el disco de la unidad . Si S es un conjunto de n puntos de D , entonces cada tres puntos de S determinan un triángulo (posiblemente uno degenerado, con área cero). Deje que Δ ( S ) denote el mínimo de las áreas de estos triángulos, y deje que Δ ( n ) (para un número entero n  ≥ 3) denote el supremum de los valores de Δ ( S ).

La pregunta planteada por Heilbronn era dar una expresión, o hacer coincidir los límites superior e inferior asintóticos , para Δ ( n ). Es decir, el objetivo es encontrar una función f , descrita por una expresión de forma cerrada , y las constantes c ₁ y c ₂ , de modo que para todo n ,

$${\ displaystyle c_ {1} f (n) \ leq \ Delta (n) \ leq c_ {2} f (n)}.

En términos de notación O grande , la desigualdad izquierda puede escribirse como Δ ( n ) = Ω ( f ( n )), la desigualdad derecha puede escribirse como Δ ( n ) =  O ( f ( n )), y ambos juntos pueden escribirse como Δ ( n ) = Θ ( f ( n )). La forma y el área de D pueden afectar los valores exactos de Δ ( n ), pero solo por un factor constante, por lo que no son importantes para su tasa de crecimiento asintótico.

Conjetura de Heilbronn y construcciones de límite inferior [ editar ]

Heilbronn conjeturó que

$${\ displaystyle \ Delta (n) = O \ left ({\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right).}

Como Paul Erdős mostró, no menor cota es posible: cuando n es un número primo , el conjunto de n puntos ( i ,  i ²  mod  n ) en un n  ×  n rejilla número entero tener no hay tres puntos colineales , y por lo tanto por la fórmula de Pick cada de los triángulos que forman tiene un área de al menos 1/2. Cuando este conjunto de puntos de cuadrícula se escala a una unidad cuadrada, forman un conjunto de puntos cuyo área de triángulo más pequeña es al menos proporcional a 1 / n ² , que coincide con el límite superior conjeturado de Heilbronn. ^[1] Si nno es primo, entonces una construcción similar usando el siguiente número primo mayor que n logra el mismo límite inferior asintótico.

Komlós, Pintz y Szemerédi (1982) eventualmente refutaron la conjetura de Heilbronn, al encontrar conjuntos de puntos cuya área triangular más pequeña crece asintóticamente como

$${\ displaystyle \ Delta (n) = \ Omega \ left ({\ frac {\ log n} {n ^ {2}}} \ right).}^[2]

Límites superiores [ editar ]

Trivialmente, ya sea triangulando el casco convexo del conjunto de puntos dado S o eligiendo triples consecutivos de puntos en el orden ordenado de sus coordenadas x , es posible mostrar que cada conjunto de puntos contiene un pequeño triángulo, cuya área es como máximo inversamente proporcional a  n . Roth (1951) fue el primero en demostrar un límite superior no trivial en Δ ( n ), de la forma ^[1]

$${\ displaystyle \ Delta (n) = O \ left ({\ frac {1} {n {\ sqrt {\ log \ log n}}}} \ right).}

El mejor límite conocido hasta la fecha es de la forma

$${\ displaystyle \ Delta (n) \ leq {\ frac {\ exp {\ left (c {\ sqrt {\ log n}} \ right)}} {n ^ {8/7}}},}

para alguna constante c , probada por Komlós, Pintz y Szemerédi (1981) . ^[3]

Formas y números específicos [ editar ]

Goldberg (1972) ha investigado las disposiciones óptimas de n puntos en un cuadrado, para n hasta 16. ^[4] Las construcciones de Goldberg para hasta seis puntos se encuentran en el límite del cuadrado, y se colocan para formar una transformación afín del vértices de un polígono regular . Para valores mayores de n , Comellas y Yebra (2002) mejoraron los límites de Goldberg, y para estos valores las soluciones incluyen puntos interiores al cuadrado. ^[5] Estas construcciones han demostrado ser óptimas para hasta siete puntos. ^[6]

Variaciones [ editar ]

Ha habido muchas variaciones de este problema, incluido el caso de un conjunto de puntos uniformemente aleatorio, para el cual un argumento basado en la complejidad de Kolmogorov muestra que el valor esperado del área mínima es inversamente proporcional al cubo del número de puntos. ^[7] También se han estudiado variaciones que involucran el volumen de simplificaciones de dimensiones superiores .