LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

EL TRIÁNGULO , CONTINUACIÓN II

Usando trigonometría

Aplicando trigonometría para encontrar la altitud h .

La altura de un triángulo se puede encontrar mediante la aplicación de trigonometría .

Conociendo SAS : Usando las etiquetas en la imagen de la derecha, la altitud es h = un pecado$${\ displaystyle \ gamma}. Sustituyendo esto en la fórmula$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} bh} derivado arriba, el área del triángulo se puede expresar como:

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma = {\ frac {1} {2}} bc \ sin \ alpha = {\ frac {1} {2}} ca \ sin \ beta}

(donde α es el ángulo interior en A , β es el ángulo interior en B ,$${\ displaystyle \ gamma}es el ángulo interior en C y c es la línea AB ).

Además, dado que sin α = sin ( π - α) = sin (β +$${\ displaystyle \ gamma}), y de manera similar para los otros dos ángulos:

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin (\ alpha + \ beta) = {\ frac {1} {2}} bc \ sin (\ beta + \ gamma) = {\ frac {1} {2}} ca \ sin (\ gamma + \ alpha).}

Conociendo AAS :

$${\ displaystyle T = {\ frac {b ^ {2} (\ sin \ alpha) (\ sin (\ alpha + \ beta))} {2 \ sin \ beta}},}

y análogamente si el lado conocido es a o c .

Conociendo ASA : ^[12]

$${\ displaystyle T = {\ frac {a ^ {2}} {2 (\ cot \ beta + \ cot \ gamma)}} = {\ frac {a ^ {2} (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)} {2 \ sin (\ beta + \ gamma)}},}

y análogamente si el lado conocido es b o c .

Usando la fórmula de Heron

La forma del triángulo está determinada por la longitud de los lados. Por lo tanto, el área también puede derivarse de las longitudes de los lados. Por la fórmula de Heron :

$${\ displaystyle T = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}

dónde $${\ displaystyle s = {\ tfrac {a + b + c} {2}}}es el semiperímetro , o la mitad del perímetro del triángulo.

Otras tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Heron son

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + bc) (a-b + c) (- a + b + c) (a + b + c)}}.}

Usando vectores

El área de un paralelogramo incrustado en un espacio euclidiano tridimensional se puede calcular usando vectores . Deje vectores AB y AC punto, respectivamente, de A a B y desde A a C . El área del paralelogramo ABDC es entonces

$${\ displaystyle | \ mathbf {AB} \ times \ mathbf {AC} |,}

cuál es la magnitud del producto cruzado de los vectores AB y AC . El área del triángulo ABC es la mitad de esto,

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} | \ mathbf {AB} \ times \ mathbf {AC} |.}

El área del triángulo ABC también se puede expresar en términos de productos de puntos de la siguiente manera:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {(\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AB}) (\ mathbf {AC} \ cdot \ mathbf {AC}) - (\ mathbf { AB} \ cdot \ mathbf {AC}) ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| \ mathbf {AB} | ^ {2} | \ mathbf {AC} | ^ {2} - (\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC}) ^ {2}}}. \,}

En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AB como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x ₁ , y ₁ ) y AC como ( x ₂ , y ₂ ), esto puede reescribirse como:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, | x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} |. \,}

Usando coordenadas

Si el vértice A se encuentra en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = ( x _B , y _B ) y C = ( x _C , y _C ) , entonces el área puede ser calcula como ¹ / ₂ veces el valor absoluto de la determinante

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {B} & y_ {C} \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} | x_ {B} y_ {C} -x_ {C} y_ {B} |.}

Para tres vértices generales, la ecuación es:

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {A} & y_ {B} & y_ { C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} {\ big |} x_ {A} y_ {B} -x_ {A} y_ {C} + x_ { B} y_ {C} -x_ {B} y_ {A} + x_ {C} y_ {A} -x_ {C} y_ {B} {\ big |},}

que se puede escribir como

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ big |} (x_ {A} -x_ {C}) (y_ {B} -y_ {A}) - (x_ {A} -x_ {B}) (y_ {C} -y_ {A}) {\ big |}.}

Si los puntos se etiquetan secuencialmente en sentido antihorario, las expresiones determinantes anteriores son positivas y se pueden omitir los signos de valor absoluto. ^[13] La fórmula anterior se conoce como la fórmula del cordón del zapato o la fórmula del topógrafo.

Si ubicamos los vértices en el plano complejo y los denotamos en secuencia en sentido antihorario como a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , y c = x _C + y _C i , y denotamos sus conjugados complejos como$${\ displaystyle {\ bar {a}}}, $${\ displaystyle {\ bar {b}}}y $${\ displaystyle {\ bar {c}}}, entonces la fórmula

{\ displaystyle T = {\ frac {i} {4}} {\ begin {vmatrix} a & {\ bar {a}} & 1 \\ b & {\ bar {b}} & 1 \\ c & {\ bar {c} } & 1 \ end {vmatrix}}}

es equivalente a la fórmula del cordón del zapato.

En tres dimensiones, el área de un triángulo general A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) y C = ( x _C , y _C , z _C ) es el Suma de Pitágoras de las áreas de las proyecciones respectivas en los tres planos principales (es decir, x = 0, y = 0 y z = 0):

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{\ begin {vmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {A} & y_ {B} e y_ {C } \\ 1 y 1 y 1 \ end {vmatrix}} ^ {2} + {\ begin {vmatrix} y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} \\ z_ {A} & z_ {B} y z_ {C} \\ 1 y 1 y 1 \ end {vmatrix}} ^ {2} + {\ begin {vmatrix} z_ {A} y z_ {B} y z_ {C} \\ x_ {A} y x_ {B} y x_ {C} \\ 1 y 1 y 1 \ end {vmatrix }} ^ {2}}}.}

Usando integrales de línea

El área dentro de cualquier curva cerrada, como un triángulo, viene dada por la integral de línea alrededor de la curva de la distancia algebraica o con signo de un punto en la curva desde una línea recta L arbitraria . Se considera que los puntos a la derecha de L orientados están a una distancia negativa de L , mientras que el peso de la integral se considera el componente de la longitud del arco paralelo a L en lugar de la longitud del arco en sí.

Este método es muy adecuado para el cálculo del área de un polígono arbitrario . Tomando que L es el eje x , la integral de línea entre vértices consecutivos ( x _i , y _i ) y ( x _i +1 , y _i +1 ) viene dada por la base por la altura media, es decir ( x _i +1 - x _i ) ( y _i + y _i +1 ) / 2. El signo del área es un indicador general de la dirección del recorrido, con un área negativa que indica el recorrido en sentido antihorario. El área de un triángulo se cae como el caso de un polígono con tres lados.

Si bien el método integral de línea tiene en común con otros métodos basados ​​en coordenadas, la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los otros, no hace una elección arbitraria del vértice del triángulo como origen o del lado como base. Además, la elección del sistema de coordenadas definido por L se compromete a solo dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (por ejemplo, x _i +1 - x _i en lo anterior) de donde el método no requiere elegir un eje normal a L .

Cuando se trabaja en coordenadas polares, no es necesario convertir a coordenadas cartesianas para usar la integración de líneas, ya que la integral de línea entre vértices consecutivos ( r _i , θ _i ) y ( r _i +1 , θ _i +1 ) de un polígono directamente por r _i r _i +1 sin (θ _i +1 - θ _i ) / 2. Esto es válido para todos los valores de θ, con alguna disminución en la precisión numérica cuando | θ | es muchos órdenes de magnitud mayores que π. Con esta formulación, el área negativa indica un recorrido en sentido horario, que debe tenerse en cuenta al mezclar coordenadas polares y cartesianas. Así como la elección del eje y ( x = 0 ) es irrelevante para la integración de líneas en coordenadas cartesianas, tampoco lo es la elección del rumbo cero ( θ = 0 ) aquí.

Fórmulas que se asemejan a la fórmula de Heron

Tres fórmulas tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de diferentes variables. Primero, denotando las medianas de los lados a , b y c respectivamente como m _a , m _b y m _c y su semi-suma ( m _a + m _b + m _c ) / 2 como σ, tenemos ^[14]

$${\ displaystyle T = {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {\ sigma (\ sigma -m_ {a}) (\ sigma -m_ {b}) (\ sigma -m_ {c})}} .}

A continuación, denotando las altitudes de los lados a , b y c respectivamente como h _a , h _b y h _c , y denotando la semi-suma de los reciprocos de las altitudes como$${\ displaystyle H = (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1} + h_ {c} ^ {- 1}) / 2}tenemos ^[15]

$${\ displaystyle T ^ {- 1} = 4 {\ sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {-1})}}.}

Y denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)] / 2 , tenemos ^[16]

$${\ displaystyle T = D ^ {2} {\ sqrt {S (S- \ sin \ alpha) (S- \ sin \ beta) (S- \ sin \ gamma)}}}

donde D es el diámetro del círculo circunferencial:$${\ displaystyle D = {\ tfrac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ tfrac {b} {\ sin \ beta}} = {\ tfrac {c} {\ sin \ gamma}}.}

Usando el teorema de Pick

Consulte el teorema de Pick para obtener una técnica para encontrar el área de cualquier polígono de celosía arbitrario (uno dibujado en una cuadrícula con puntos de celosía adyacentes vertical y horizontalmente a distancias iguales y con vértices en puntos de celosía).

El teorema establece:

$${\ displaystyle T = I + {\ frac {1} {2}} B-1}

dónde $${\ displaystyle I}es el número de puntos de red internos y B es el número de puntos de red que se encuentran en el borde del polígono.

Otras fórmulas de área

Existen muchas otras fórmulas de área, como

$${\ displaystyle T = r \ cdot s,}

donde r es el radio y s es el semiperímetro (de hecho, esta fórmula es válida para todos los polígonos tangenciales ) y ^{[17] : Lema 2}

$${\ displaystyle T = r_ {a} (sa) = r_ {b} (sb) = r_ {c} (sc)}

dónde $${\ displaystyle r_ {a}, \, r_ {b}, \, r_ {c}}son los radios de los circunferencias tangentes a los lados a, b, c respectivamente.

También tenemos

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} D ^ {2} (\ sin \ alpha) (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)}

y ^[18]

$${\ displaystyle T = {\ frac {abc} {2D}} = {\ frac {abc} {4R}}}

para el circundiametro D ; y ^[19]

$${\ displaystyle T = {\ frac {\ tan \ alpha} {4}} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2})}

para ángulo α ≠ 90 °.

El área también se puede expresar como ^[20]

$${\ displaystyle T = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}

En 1885, Baker ^[21] dio una colección de más de cien fórmulas de área distintas para el triángulo. Éstos incluyen:

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} [abch_ {a} h_ {b} h_ {c}] ^ {1/3},}

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {abh_ {a} h_ {b}}},}

$${\ displaystyle T = {\ frac {a + b} {2 (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1})}},}

$${\ displaystyle T = {\ frac {Rh_ {b} h_ {c}} {a}}}

para circunradio (radio del círculo circunferencial) R , y

$${\ displaystyle T = {\ frac {h_ {a} h_ {b}} {2 \ sin \ gamma}}.}

Límite superior en el área

El área T de cualquier triángulo con perímetro p satisface

$${\ displaystyle T \ leq {\ tfrac {p ^ {2}} {12 {\ sqrt {3}}}},}

con igualdad sostenida si y solo si el triángulo es equilátero. ^{[22] [23] : 657}

Otros límites superiores en el área T están dados por ^{[24] : p.290}

$${\ displaystyle 4 {\ sqrt {3}} T \ leq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}

y

$${\ displaystyle 4 {\ sqrt {3}} T \ leq {\ frac {9abc} {a + b + c}},}

ambos nuevamente sosteniendo si y solo si el triángulo es equilátero.