LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

EL TRIÁNGULO , CONTINUACIÓN III

Biseccionando el área

Hay infinitas líneas que dividen el área de un triángulo . ^[25] Tres de ellos son las medianas, que son las únicas bisectrices de área que atraviesan el centroide. Otras tres bisectrices de área son paralelas a los lados del triángulo.

Cualquier línea a través de un triángulo que divide el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo. Puede haber uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado.

Fórmulas adicionales para triángulos euclidianos generales

Ver también: Lista de desigualdades de triángulos

Las fórmulas en esta sección son verdaderas para todos los triángulos euclidianos.

Medianas, bisectrices de ángulo, bisectrices laterales perpendiculares y altitudes

Artículos principales: mediana (geometría) , bisectriz angular , bisección § bisectrices perpendiculares y altitud (geometría)

Las medianas y los lados están relacionados por ^{[26] : p.70}

$${\ displaystyle {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) = m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}}

y

$${\ displaystyle m_ {a} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac { 1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) - {\ frac {3} {4}} a ^ {2}}}},

y equivalente para m _b y m _c .

Para el ángulo A del lado opuesto a , la longitud de la bisectriz del ángulo interno viene dada por ^[27]

$${\ displaystyle w_ {A} = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}} = {\ sqrt {bc \ left [1 - {\ frac {a ^ {2} } {(b + c) ^ {2}}} \ right]}} = {\ frac {2bc} {b + c}} \ cos {\ frac {A} {2}},}

para semiperímetro s , donde la longitud de la bisectriz se mide desde el vértice hasta donde se encuentra con el lado opuesto.

Las bisectrices perpendiculares interiores están dadas por

$${\ displaystyle p_ {a} = {\ frac {2aT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}

$${\ displaystyle p_ {b} = {\ frac {2bT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}

$${\ displaystyle p_ {c} = {\ frac {2cT} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},}

donde están los lados $${\ displaystyle a \ geq b \ geq c} y el área es $${\ displaystyle T.}^{[28] : Thm 2}

La altitud desde, por ejemplo, el lado de longitud a es

$${\ displaystyle h_ {a} = {\ frac {2T} {a}}.}

Circunradio e inradio

Artículos principales: Circumradius e Inradius.

Las siguientes fórmulas involucran el circumradius R y el inradius r :

$${\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}} {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c ) (a + bc)}}};}

$${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(-a + b + c) (a-b + c) (a + bc)} {4 (a + b + c)}}};}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {C}}}}

donde h _a etc. son las altitudes a los lados con subíndice; ^{[26] : p.79}

$${\ displaystyle {\ frac {r} {R}} = {\ frac {4T ^ {2}} {sabc}} = \ cos \ alpha + \ cos \ beta + \ cos \ gamma -1;}^[7]

y

$${\ displaystyle 2Rr = {\ frac {abc} {a + b + c}}}.

El producto de dos lados de un triángulo es igual a la altitud del tercer lado multiplicado por el diámetro D del círculo circunferencial: ^{[26] : p.64}

$${\ displaystyle ab = h_ {c} D, \ quad \ quad bc = h_ {a} D, \ quad ca = h_ {b} D.}

Triángulos adyacentes

Suponga que dos triángulos adyacentes pero no superpuestos comparten el mismo lado de la longitud f y comparten el mismo círculo circunferencial, de modo que el lado de la longitud f es una cuerda del círculo circunferencial y los triángulos tienen longitudes laterales ( a , b , f ) y ( c , d , f ), con los dos triángulos juntos formando un cuadrilátero cíclico con longitudes laterales en secuencia ( a , b , c , d ). Entonces ^[29] : 84

$${\ displaystyle f ^ {2} = {\ frac {(ac + bd) (ad + bc)} {(ab + cd)}}. \,}

Centroide

Artículo principal: Centroide

Sea G el centroide de un triángulo con vértices A , B y C , y sea P cualquier punto interior. Entonces las distancias entre los puntos están relacionadas por ^[29] : 174

$${\ displaystyle (PA) ^ {2} + (PB) ^ {2} + (PC) ^ {2} = (GA) ^ {2} + (GB) ^ {2} + (GC) ^ {2} +3 (PG) ^ {2}. \,}

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo es igual a tres veces la suma de las distancias al cuadrado del centroide desde los vértices:

$${\ displaystyle AB ^ {2} + BC ^ {2} + CA ^ {2} = 3 (GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2}).}^[30]

Sean q _a , q _b y q _c las distancias desde el centroide a los lados de las longitudes a , b y c . Entonces ^[29] : 173

$${\ displaystyle {\ frac {q_ {a}} {q_ {b}}} = {\ frac {b} {a}}, \ quad \ quad {\ frac {q_ {b}} {q_ {c}} } = {\ frac {c} {b}}, \ quad \ quad {\ frac {q_ {a}} {q_ {c}}} = {\ frac {c} {a}} \,}

y

$${\ displaystyle q_ {a} \ cdot a = q_ {b} \ cdot b = q_ {c} \ cdot c = {\ frac {2} {3}} T \,}

para la zona T .

Circuncentro, incentro y ortocentro

Artículos principales: Circuncentro , Incentro y Ortocentro.

El teorema de Carnot establece que la suma de las distancias desde el circuncentro a los tres lados es igual a la suma del circunradio y el inradio. ^{[26] : p.83} Aquí la longitud de un segmento se considera negativa si y solo si el segmento se encuentra completamente fuera del triángulo. Este método es especialmente útil para deducir las propiedades de formas más abstractas de triángulos, como las inducidas por álgebras de Lie , que de lo contrario tienen las mismas propiedades que los triángulos habituales.

El teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro viene dada por ^{[26] : p.85}

$${\ displaystyle \ displaystyle d ^ {2} = R (R-2r)}

o equivalente

$${\ displaystyle {\ frac {1} {Rd}} + {\ frac {1} {R + d}} = {\ frac {1} {r}},}

donde R es el circunradio yr es el inradio. Por lo tanto, para todos los triángulos R ≥ 2 r , con igualdad para triángulos equiláteros.

Si denotamos que el ortocentro divide una altitud en segmentos de longitudes u y v , otra altitud en longitudes de segmento w y x , y la tercera altitud en longitudes de segmento y y z , entonces uv = wx = yz . ^{[26] : p.94}

La distancia desde un lado al circuncentro es igual a la mitad de la distancia desde el vértice opuesto al ortocentro. ^{[26] : p.99}

La suma de los cuadrados de las distancias desde los vértices al ortocentro H más la suma de los cuadrados de los lados es igual a doce veces el cuadrado del circunradio: ^{[26] : p.102}

$${\ displaystyle AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 12R ^ {2}.}

Anglos

Además de la ley de los senos , la ley de los cosenos , la ley de las tangentes y las condiciones de existencia trigonométricas dadas anteriormente, para cualquier triángulo

$${\ displaystyle a = b \ cos C + c \ cos B, \ quad b = c \ cos A + a \ cos C, \ quad c = a \ cos B + b \ cos A.}

Teorema trisectorial de Morley

Artículo principal: teorema trisectorial de Morley

El triángulo de Morley, resultante de la trisección de cada ángulo interior. Este es un ejemplo de una regla de subdivisión finita .

El teorema del trisector de Morley establece que en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los trisectores angulares adyacentes forman un triángulo equilátero, llamado triángulo de Morley.

Figuras inscritas en un triángulo

Cónicas

Como se discutió anteriormente, cada triángulo tiene un círculo inscrito único (círculo) que es interior al triángulo y tangente a los tres lados.

Cada triángulo tiene un inelipse Steiner único que es interior al triángulo y tangente en los puntos medios de los lados. El teorema de Marden muestra cómo encontrar los focos de esta elipse . ^[31] Esta elipse tiene el área más grande de cualquier elipse tangente a los tres lados del triángulo.

El inelipse Mandart de un triángulo es la elipse inscrita dentro de la tangente triangular a sus lados en los puntos de contacto de sus círculos.

Para cualquier elipse inscrita en un triángulo ABC , que el foco sea P y Q . Entonces ^[32]

$${\ displaystyle {\ frac {{\ overline {PA}} \ cdot {\ overline {QA}}} {{\ overline {CA}} \ cdot {\ overline {AB}}}} + {\ frac {{\ overline {PB}} \ cdot {\ overline {QB}}} {{\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {BC}}}} + {\ frac {{\ overline {PC}} \ cdot {\ overline {QC}}} {{\ overline {BC}} \ cdot {\ overline {CA}}}} = 1.}

Polígono convexo

Cada polígono convexo con zona T puede ser inscrito en un triángulo de área como máximo igual a 2 t . La igualdad es válida (exclusivamente) para un paralelogramo . ^[33]

Hexágono

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico con vértices dados por las seis intersecciones de los lados de un triángulo con las tres líneas que son paralelas a los lados y que pasan a través de su punto simétrico . Ya sea en su forma simple o en su forma de auto intersección , el hexágono de Lemoine es interior al triángulo con dos vértices a cada lado del triángulo.

Cuadrícula

Cada triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior de modo que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo, dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtuso tiene solo un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo. Dentro de un triángulo dado, un lado común más largo se asocia con un cuadrado inscrito más pequeño. Si un cuadrado inscrito tiene un lado de longitud q _a y el triángulo tiene un lado de longitud a, parte de cuyo lado coincide con un lado del cuadrado, entonces q _a , a , la altitud h _a desde el lado a , y el área T del triángulo se relacionan de acuerdo con ^[34] [35]

$${\ displaystyle q_ {a} = {\ frac {2Ta} {a ^ {2} + 2T}} = {\ frac {ah_ {a}} {a + h_ {a}}}.}

La relación más grande posible del área del cuadrado inscrito al área del triángulo es 1/2, que ocurre cuando a ² = 2 T , q = a / 2 , y la altitud del triángulo desde la base de la longitud a es igual a a . La relación más pequeña posible del lado de un cuadrado inscrito al lado de otro en el mismo triángulo no obtuso es$${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}} / 3 = 0.94 ....}^[35] Ambos casos extremos ocurren para el triángulo rectángulo isósceles.

triangulos

Desde un punto interior en un triángulo de referencia, los puntos más cercanos en los tres lados sirven como los vértices del triángulo del pedal de ese punto. Si el punto interior es el circuncentro del triángulo de referencia, los vértices del triángulo del pedal son los puntos medios de los lados del triángulo de referencia, por lo que el triángulo del pedal se llama triángulo del punto medio o triángulo medial. El triángulo del punto medio subdivide el triángulo de referencia en cuatro triángulos congruentes que son similares al triángulo de referencia.

El triángulo de Gergonne o el triángulo intouch de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los tres puntos de tangencia de los lados del triángulo de referencia con su círculo. El triángulo de contacto de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los puntos de tangencia de los círculos del triángulo de referencia con sus lados (no extendidos).

Figuras circunscritas sobre un triángulo.

El triángulo tangencial de un triángulo de referencia (que no sea un triángulo rectángulo) es el triángulo cuyos lados están en las líneas tangentes al círculo circunferencial del triángulo de referencia en sus vértices.

Como se mencionó anteriormente, cada triángulo tiene un círculo circunferencial único, un círculo que pasa por los tres vértices, cuyo centro es la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo.

Además, cada triángulo tiene un circuito de Steiner único , que pasa a través de los vértices del triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo. De todas las elipses que atraviesan los vértices del triángulo, tiene el área más pequeña.

La hipérbola de Kiepert es la cónica única que atraviesa los tres vértices del triángulo, su centroide y su circuncentro.

De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo dado, existe un triángulo con área máxima cuyos vértices son todos vértices del polígono dado. ^[36]

Especificando la ubicación de un punto en un triángulo

Una forma de identificar ubicaciones de puntos dentro (o fuera) de un triángulo es colocar el triángulo en una ubicación y orientación arbitrarias en el plano cartesiano , y usar coordenadas cartesianas. Si bien es conveniente para muchos propósitos, este enfoque tiene la desventaja de que todos los valores de coordenadas de los puntos dependen de la ubicación arbitraria en el plano.

Dos sistemas evitan esa característica, de modo que las coordenadas de un punto no se ven afectadas moviendo el triángulo, girándolo o reflejándolo como en un espejo, cualquiera de los cuales da un triángulo congruente, o incluso volviendo a escalarlo para obtener un triángulo similar :

• Las coordenadas trilineales especifican las distancias relativas de un punto desde los lados, de modo que las coordenadas$${\ displaystyle x: y: z} indicar que la relación de la distancia del punto desde el primer lado a su distancia desde el segundo lado es $${\ displaystyle x: y} etc.
• Coordenadas baricéntricas de la forma.$${\ displaystyle \ alpha: \ beta: \ gamma} especifique la ubicación del punto por los pesos relativos que tendrían que colocarse en los tres vértices para equilibrar el triángulo sin peso en el punto dado.

Triángulos no planos

Un triángulo no plano es un triángulo que no está contenido en un plano (plano). Algunos ejemplos de triángulos no planos en geometrías no euclidianas son triángulos esféricos en geometría esférica y triángulos hiperbólicos en geometría hiperbólica .

Mientras que las medidas de los ángulos internos en triángulos planos siempre suman 180 °, un triángulo hiperbólico tiene medidas de ángulos que suman menos de 180 °, y un triángulo esférico tiene medidas de ángulos que suman más de 180 °. Se puede obtener un triángulo hiperbólico dibujando sobre una superficie curvada negativamente, como una superficie de silla de montar , y se puede obtener un triángulo esférico dibujando sobre una superficie curvada positivamente como una esfera . Por lo tanto, si se dibuja un triángulo gigante en la superficie de la Tierra, se encontrará que la suma de las medidas de sus ángulos es mayor que 180 °; de hecho será entre 180 ° y 540 °. ^[37] En particular, es posible dibujar un triángulo en una esfera de tal manera que la medida de cada uno de sus ángulos internos sea igual a 90 °, sumando un total de 270 °.

Específicamente, en una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo es

180 ° × (1 + 4 f ),

donde f es la fracción del área de la esfera que está encerrada por el triángulo. Por ejemplo, supongamos que dibujamos un triángulo en la superficie de la Tierra con vértices en el Polo Norte, en un punto en el ecuador a 0 ° de longitud y un punto en el ecuador a 90 ° de longitud oeste. La línea del círculo grande entre los dos últimos puntos es el ecuador, y la línea del círculo grande entre cualquiera de esos puntos y el Polo Norte es una línea de longitud; entonces hay ángulos rectos en los dos puntos del ecuador. Además, el ángulo en el Polo Norte también es de 90 ° porque los otros dos vértices difieren en 90 ° de longitud. Entonces la suma de los ángulos en este triángulo es 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 °. El triángulo encierra 1/4 del hemisferio norte (90 ° / 360 ° visto desde el Polo Norte) y, por lo tanto, 1/8 de la superficie de la Tierra, por lo tanto, en la fórmula f = 1/8 ; así, la fórmula da correctamente la suma de los ángulos del triángulo como 270 °.

De la fórmula de suma de ángulos anterior también podemos ver que la superficie de la Tierra es localmente plana: si dibujamos un triángulo arbitrariamente pequeño cerca de un punto en la superficie de la Tierra, la fracción f de la superficie de la Tierra que está encerrada por el triángulo estar arbitrariamente cerca de cero. En este caso, la fórmula de suma de ángulos se simplifica a 180 °, lo que sabemos es lo que la geometría euclidiana nos dice para los triángulos en una superficie plana.

Triángulos en construcción

Artículo principal: Braguero

El edificio Flatiron en Nueva York tiene la forma de un prisma triangular

Los rectángulos han sido la forma geométrica más popular y común para los edificios, ya que la forma es fácil de apilar y organizar; Como estándar, es fácil diseñar muebles y accesorios para que encajen dentro de edificios de forma rectangular. Pero los triángulos, aunque son más difíciles de usar conceptualmente, proporcionan una gran fuerza. A medida que la tecnología informática ayuda a los arquitectos a diseñar nuevos edificios creativos, las formas triangulares son cada vez más frecuentes como partes de edificios y como la forma principal de algunos tipos de rascacielos, así como materiales de construcción. En Tokio, en 1989, los arquitectos se habían preguntado si era posible construir una torre de 500 pisos para proporcionar espacio de oficina asequible para esta ciudad densamente poblada, pero con el peligro de terremotos por los edificios., los arquitectos consideraron que una forma triangular sería necesaria si se construyera dicho edificio. ^[38]

En la ciudad de Nueva York , mientras Broadway cruza las principales avenidas, los bloques resultantes se cortan como triángulos y se han construido edificios con estas formas; Uno de estos edificios es el Flatiron Building de forma triangular, que la gente de bienes raíces admite que tiene un "laberinto de espacios incómodos que no acomodan fácilmente los muebles de oficina modernos", pero que no ha impedido que la estructura se convierta en un ícono emblemático. ^{[39] Los} diseñadores han hecho casas en Noruega usando temas triangulares. ^{[40] Las} formas triangulares han aparecido en las iglesias ^[41] , así como en los edificios públicos, incluidas las universidades ^[42] , así como los soportes para diseños innovadores de viviendas. ^[43]

Los triángulos son resistentes; Mientras que un rectángulo puede colapsar en un paralelogramo desde la presión a uno de sus puntos, los triángulos tienen una resistencia natural que soporta estructuras contra presiones laterales. Un triángulo no cambiará de forma a menos que sus lados estén doblados, extendidos o rotos o si sus juntas se rompen; en esencia, cada uno de los tres lados soporta los otros dos. Un rectángulo, en cambio, depende más de la resistencia de sus articulaciones en un sentido estructural. Algunos diseñadores innovadores han propuesto hacer ladrillos no con rectángulos, sino con formas triangulares que se pueden combinar en tres dimensiones. ^[44]Es probable que los triángulos se usen cada vez más en nuevas formas a medida que la arquitectura aumenta en complejidad. Es importante recordar que los triángulos son fuertes en términos de rigidez, pero mientras están empaquetados en una disposición de teselado , los triángulos no son tan fuertes como los hexágonos bajo compresión (de ahí la prevalencia de formas hexagonales en la naturaleza ). Sin embargo, los triángulos teselados aún mantienen una resistencia superior para el voladizo , y esta es la base de una de las estructuras más fuertes hechas por el hombre, la armadura tetraédrica .