LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

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La línea de Euler (roja) es una línea recta a través del centroide (naranja), ortocentro (azul), circuncentro (verde) y centro del círculo de nueve puntos (rojo).

En geometría , la línea de Euler , el nombre de Leonhard Euler ( / ɔɪ l ər / ), es una línea determinada a partir de cualquier triángulo que no es equilátero . Es una línea central del triángulo y pasa a través de varios puntos importantes determinados a partir del triángulo, incluidos el ortocentro , el circuncentro , el centroide , el punto de Exeter y el centro del círculo de nueve puntos del triángulo. ^[1]

El concepto de la línea de Euler de un triángulo se extiende a la línea de Euler de otras formas, como el cuadrilátero y el tetraedro .

Triángulo se centra en la línea de Euler [ editar ]

Centros individuales [ editar ]

Euler demostró en 1765 que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el centroide son colineales . ^[2] Esta propiedad también es válida para otro centro triangular , el centro de nueve puntos , aunque no se había definido en el tiempo de Euler. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo, todos son distintos entre sí, y la línea de Euler está determinada por dos de ellos.

Otros puntos notables que se encuentran en la línea de Euler incluyen el punto de Longchamps , el punto de Schiffler , el punto de Exeter y el perspector Gossard . ^[1] Sin embargo, el incentro generalmente no se encuentra en la línea de Euler; ^[3] está en la línea de Euler solo para triángulos isósceles , ^[4] para los cuales la línea de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos los centros de triángulos.

El triángulo tangencial de un triángulo de referencia es tangente al círculo circunferencial de este último en los vértices del triángulo de referencia. El circuncentro del triángulo tangencial se encuentra en la línea de Euler del triángulo de referencia. ^{[5] : pág. 447 [6] : p.104, # 211; p.242, # 346} El centro de similitud de los triángulos órtico y tangencial también está en la línea de Euler. ^{[5] : pág. 447 [6] : pág. 102}

Una prueba de vector [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle ABC}ser un triangulo Una prueba del hecho de que el circuncentro $${\ displaystyle O}, el centroide $${\ displaystyle G}y el ortocentro $${\ displaystyle H}son colineales se basa en vectores libres . Comenzamos declarando los requisitos previos. Primero,$${\ displaystyle G} satisface la relación

$${\ displaystyle {\ vec {GA}} + {\ vec {GB}} + {\ vec {GC}} = 0.}

Esto se deduce del hecho de que las coordenadas barcéntricas absolutas de$${\ displaystyle G} son $${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}: {\ frac {1} {3}}: {\ frac {1} {3}}}. Además, el problema de Sylvester ^{[7] se} lee como

$${\ displaystyle {\ vec {OH}} = {\ vec {OA}} + {\ vec {OB}} + {\ vec {OC}}.}

Ahora, usando la suma de vectores, deducimos que

$${\ displaystyle {\ vec {GO}} = {\ vec {GA}} + {\ vec {AO}} \, {\ mbox {(en triángulo}} AGO {\ mbox {)}}, \, {\ vec {GO}} = {\ vec {GB}} + {\ vec {BO}} \, {\ mbox {(en triángulo}} BGO {\ mbox {)}}, \, {\ vec {GO}} = {\ vec {GC}} + {\ vec {CO}} \, {\ mbox {(en triángulo}} CGO {\ mbox {)}}.}

Al agregar estas tres relaciones, término por término, obtenemos que

$${\ displaystyle 3 \ cdot {\ vec {GO}} = \ left (\ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cyclic}}} {\ vec {GA}} \ right) + \ left (\ sum \ límites _ {\ scriptstyle {\ rm {cyclic}}} {\ vec {AO}} \ right) = 0- \ left (\ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cyclic}}} {\ vec {OA }} \ right) = - {\ vec {OH}}.}

En conclusión, $${\ displaystyle 3 \ cdot {\ vec {OG}} = {\ vec {OH}}}y los tres puntos $${\ displaystyle O}, $${\ displaystyle G} y $${\ displaystyle H} (en este orden) son colineales.

En el libro de Dörrie, ^[7] la línea de Euler y el problema de Sylvester se agrupan en una sola prueba. Sin embargo, la mayoría de las pruebas del problema de Sylvester se basan en las propiedades fundamentales de los vectores libres, independientemente de la línea de Euler.

Distancias entre centros [ editar ]

En la línea de Euler, el centroide G está entre el circuncentro O y el ortocentro H y está dos veces más lejos del ortocentro que del circuncentro: ^{[6] : p.102}

$${\ displaystyle GH = 2GO;}

$${\ displaystyle OH = 3GO.}

El segmento GH es un diámetro del círculo ortocentroidal .

El centro N del círculo de nueve puntos se encuentra a lo largo de la línea de Euler a medio camino entre el ortocentro y el circuncentro: ^[1]

$${\ displaystyle ON = NH, \ quad OG = 2 \ cdot GN, \ quad NH = 3GN.}

Por lo tanto, la línea de Euler podría reposicionarse en una línea numérica con el circuncentro O en la ubicación 0, el centroide G en 2 t , el centro de nueve puntos en 3 t y el ortocentro H en 6 t para algún factor de escala t .

Además, la distancia al cuadrado entre el centroide y el circuncentro a lo largo de la línea de Euler es menor que el cuadrado circunradio R ² en una cantidad igual a un noveno la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados un , b , y c : ^[6] : p.71

$${\ displaystyle GO ^ {2} = R ^ {2} - {\ tfrac {1} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}

Además, ^{[6] : p.102}

$${\ displaystyle OH ^ {2} = 9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2});}

$${\ displaystyle GH ^ {2} = 4R ^ {2} - {\ tfrac {4} {9}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}

Representación [ editar ]

Ecuación [ editar ]

Supongamos que A , B , C denotan los ángulos de vértice del triángulo de referencia y que x  : y  : z sea ​​un punto variable en coordenadas trilineales ; entonces una ecuación para la línea de Euler es

$${\ displaystyle \ sin (2A) \ sin (BC) x + \ sin (2B) \ sin (CA) y + \ sin (2C) \ sin (AB) z = 0.}

Una ecuación para la línea de Euler en coordenadas barcéntricas. $${\ displaystyle \ alpha: \ beta: \ gamma}es ^[8]

$${\ displaystyle (\ tan C- \ tan B) \ alpha + (\ tan A- \ tan C) \ beta + (\ tan B- \ tan A) \ gamma = 0.}

Representación paramétrica [ editar ]

Otra forma de representar la línea de Euler es en términos de un parámetro t . Comenzando con el circuncentro (con coordenadas trilineales$${\ displaystyle \ cos A: \ cos B: \ cos C}) y el ortocentro (con trilineales $${\ displaystyle \ sec A: \ sec B: \ sec C = \ cos B \ cos C: \ cos C \ cos A: \ cos A \ cos B),}cada punto en la línea de Euler, excepto el ortocentro, viene dado por las coordenadas trilineales

$${\ displaystyle \ cos A + t \ cos B \ cos C: \ cos B + t \ cos C \ cos A: \ cos C + t \ cos A \ cos B}

formado como una combinación lineal de los trilineales de estos dos puntos, para algunos t .

Por ejemplo:

• El circuncentro tiene trilineales.$${\ displaystyle \ cos A: \ cos B: \ cos C,} correspondiente al valor del parámetro $${\ displaystyle t = 0.}
• El centroide tiene trilineales.$${\ displaystyle \ cos A + \ cos B \ cos C: \ cos B + \ cos C \ cos A: \ cos C + \ cos A \ cos B,} correspondiente al valor del parámetro $${\ displaystyle t = 1.}
• El centro de nueve puntos tiene trilineales.$${\ displaystyle \ cos A + 2 \ cos B \ cos C: \ cos B + 2 \ cos C \ cos A: \ cos C + 2 \ cos A \ cos B,} correspondiente al valor del parámetro $${\ displaystyle t = 2.}
• El punto de Longchamps tiene trilinears$${\ displaystyle \ cos A- \ cos B \ cos C: \ cos B- \ cos C \ cos A: \ cos C- \ cos A \ cos B,} correspondiente al valor del parámetro $${\ displaystyle t = -1.}

Pendiente [ editar ]

En un sistema de coordenadas cartesianas , denota las pendientes de los lados de un triángulo como$${\ displaystyle m_ {1},} $${\ displaystyle m_ {2},} y $${\ displaystyle m_ {3},} y denota la pendiente de su línea de Euler como $${\ displaystyle m_ {E}}. Entonces estas pendientes se relacionan de acuerdo con ^{[9] : Lema 1}

$${\ displaystyle m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {1} m_ {E} + m_ {2} m_ {3} + m_ {2} m_ {E} + m_ { 3} m_ {E}}

$${\ displaystyle + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3} m_ {E} + 3 = 0.}

Por lo tanto, la pendiente de la línea de Euler (si es finita) es expresable en términos de las pendientes de los lados como

$${\ displaystyle m_ {E} = - {\ frac {m_ {1} m_ {2} + m_ {1} m_ {3} + m_ {2} m_ {3} +3} {m_ {1} + m_ { 2} + m_ {3} + 3m_ {1} m_ {2} m_ {3}}}.}

Además, la línea de Euler es paralela al lado de un triángulo agudo BC si y solo si ^{[9] : p.173} $${\ displaystyle \ tan B \ tan C = 3.}

Relación con los triángulos equiláteros inscritos [ editar ]

El lugar geométrico de los centroides de los triángulos equiláteros inscritos en un triángulo dado está formado por dos líneas perpendiculares a la línea de Euler del triángulo dado. ^{[10] : Coro. 4 4}

En triángulos especiales [ editar ]

Triángulo rectángulo [ editar ]

En un triángulo rectángulo , la línea de Euler coincide con la mediana de la hipotenusa , es decir, atraviesa el vértice en ángulo recto y el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus altitudes , cae sobre el vértice en ángulo recto, mientras que su circuncentro, la intersección de sus bisectrices perpendiculares de los lados, cae en el punto medio de la hipotenusa.

Triángulo isósceles [ editar ]

La línea de Euler de un triángulo isósceles coincide con el eje de simetría . En un triángulo isósceles, el incentro cae en la línea de Euler.

Triángulo Automedian [ editar ]

La línea de Euler de un triángulo automediano (una cuyas medianas están en las mismas proporciones, aunque en el orden opuesto, como los lados) es perpendicular a una de las medianas. ^[11]

Sistemas de triángulos con líneas concurrentes de Euler [ editar ]

Considere un triángulo ABC con los puntos Fermat – Torricelli F ₁ y F ₂ . Las líneas de Euler de los 10 triángulos con vértices elegidos entre A, B, C, F ₁ y F ₂ son concurrentes en el centroide del triángulo ABC . ^[12]

Las líneas de Euler de los cuatro triángulos formados por un sistema ortocéntrico (un conjunto de cuatro puntos de manera que cada uno es el ortocentro del triángulo con vértices en los otros tres puntos) son concurrentes en el centro de nueve puntos común a todos los triángulos. ^{[6] : p.111}

Generalizaciones [ editar ]

Cuadrilátero [ editar ]

En un cuadrilátero convexo , el cuasiorthocentro H , el "centroide de área" G y el cuasicircumcentro O son colineales en este orden en la línea de Euler, y HG = 2 GO . ^[13]

Tetraedro [ editar ]

Artículo principal: Tetraedro § Propiedades análogas a las de un triángulo.

Un tetraedro es un objeto tridimensional delimitado por cuatro caras triangulares . Siete líneas asociadas con un tetraedro son concurrentes en su centroide; sus seis planos intermedios se cruzan en su punto Monge ; y hay una circunferencia que atraviesa todos los vértices, cuyo centro es el circuncentro. Estos puntos definen la "línea de Euler" de un tetraedro análogo a la de un triángulo. El centroide es el punto medio entre su punto Monge y el circuncentro a lo largo de esta línea. El centro de la esfera de doce puntos también se encuentra en la línea de Euler.

Politopo simple [ editar ]

Un politopo simplicial es un politopo cuyas facetas son todas simples . Por ejemplo, cada polígono es un politopo simplicial. La línea de Euler asociada a dicho politopo es la línea determinada por su centroide y circuncentro de masa . Esta definición de una línea de Euler generaliza las anteriores. ^[14]

Suponer que $${\ displaystyle P}Es un polígono. La linea de Euler$${\ displaystyle E} es sensible a las simetrías de $${\ displaystyle P} de las siguientes maneras:

1. Si $${\ displaystyle P} tiene una línea de simetría de reflexión $${\ displaystyle L}, luego $${\ displaystyle E} es cualquiera $${\ displaystyle L} o un punto en $${\ displaystyle L}.

2. Si $${\ displaystyle P} tiene un centro de simetría rotacional $${\ displaystyle C}, luego $${\ displaystyle E = C}.

3. Si todos menos uno de los lados de $${\ displaystyle P} tener igual longitud, entonces $${\ displaystyle E} es ortogonal al último lado.

Construcciones relacionadas [ editar ]

La parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola única que es tangente a los lados (dos de ellos extendidos ) del triángulo y tiene la línea de Euler como su directriz . 

el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentivo de un triángulo viene dada por ^{[1] [2] [3] [4]}

$${\ displaystyle d ^ {2} = R (R-2r)}

o equivalente

$${\ displaystyle {\ frac {1} {Rd}} + {\ frac {1} {R + d}} = {\ frac {1} {r}},}

donde R y r denotan la circunferencia circunscrita y inradio respectivamente (los radios del círculo circunscrito y círculo inscrito respectivamente). El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo publicó en 1767. ^[5] Sin embargo, el mismo resultado fue publicado anteriormente por William Chapple en 1746. ^[6]

Del teorema se sigue la desigualdad de Euler : ^[2] [3]

$${\ displaystyle R \ geq 2r,}

que se mantiene con igualdad solo en el caso equilátero .

Teorema de Euler:
$${\ displaystyle d = | IO | = {\ sqrt {R (R-2r)}}}

Prueba [ editar ]

Prueba del teorema de Euler en geometría

Dejar que O sea el circuncentro de triángulo ABC , y I sea su incentro, la extensión de AI interseca la circunferencia circunscrita en L . Entonces L es el punto medio del arco BC . Únete LO y extenderlo de manera que corte la circunferencia circunscrita al M . De I construir una perpendicular a AB, y sea D su pie, así ID = r . No es difícil demostrar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL , por lo que ID / BL = AI /ML , es decir, ID × ML = AI × BL . Por lo tanto, 2 Rr = AI × BL . Únete a BI . Porque

∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

tenemos ∠ BIL = ∠ IBL , entonces BL = IL , y AI × IL = 2 Rr . Extienda OI para que se cruce con la circunferencia circular en P y Q ; entonces PI × QI = AI × IL = 2 Rr , entonces ( R  +  d ) ( R  -  d ) = 2 Rr , es decir d ² = R ( R  - 2 r ).

Versión más fuerte de la desigualdad [ editar ]

Una versión más fuerte ^{[7] : p. 198} es

$${\ displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} \ geq {\ frac {a } {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} - 1 \ geq {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} \ right) \ geq 2,}

donde a, b, c son las longitudes laterales del triángulo.

Teorema de Euler para el círculo descrito [ editar ]

Si $${\ displaystyle r_ {a}} y $${\ displaystyle d_ {a}} denotar respectivamente el radio del círculo expuesto opuesto al vértice $${\ displaystyle A} y la distancia entre su centro y el centro del círculo circunscrito, entonces $${\ displaystyle d_ {a} ^ {2} = R (R + 2r_ {a})}.

La desigualdad de Euler en geometría absoluta [ editar ]

La desigualdad de Euler, en la forma que establece que, para todos los triángulos inscritos en un círculo dado, se alcanza el máximo del radio del círculo inscrito para el triángulo equilátero y solo para él, es válido en geometría absoluta .