LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

"Equilateral" vuelve a dirigir aquí. Para otras aplicaciones, vea Equilateral (desambiguación) .

Triángulo equilátero
Tipo	Polígono regular
Bordes y vértices	3
Símbolo de Schläfli	{3}
Diagrama Coxeter
Grupo de simetría	D 3
Zona	$${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}
Ángulo interno ( grados )	60 °

En geometría , un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales. En la geometría euclidiana familiar , un triángulo equilátero también es equiangular ; es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y son cada uno 60 °. También es un polígono regular , por lo que también se conoce como un triángulo regular .

Propiedades principales [ editar ]

Un triángulo equilátero. Tiene lados iguales ($${\ displaystyle a = b = c}), ángulos iguales ($${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma}) y altitudes iguales ($${\ displaystyle h_ {a} = h_ {b} = h_ {c}})

Denotando la longitud común de los lados del triángulo equilátero como $${\ displaystyle a}, podemos determinar usando el teorema de Pitágoras que:

• El área es $${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}},
• El perímetro es $${\ displaystyle p = 3a \, \!}
• El radio del círculo circunscrito es$${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ sqrt {3}}}}
• El radio del círculo inscrito es$${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {3}} {6}} a} o $${\ displaystyle r = {\ frac {R} {2}}}
• El centro geométrico del triángulo es el centro de los círculos circunscritos e inscritos.
• La altitud (altura) desde cualquier lado es$${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}

Denotando el radio del círculo circunscrito como R , podemos determinar usando trigonometría que:

• El área del triángulo es $${\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} R ^ {2}}

Muchas de estas cantidades tienen relaciones simples con la altitud ("h") de cada vértice desde el lado opuesto:

• El área es $${\ displaystyle A = {\ frac {h ^ {2}} {\ sqrt {3}}}}
• La altura del centro desde cada lado, o apotema , es$${\ displaystyle {\ frac {h} {3}}}
• El radio del círculo que circunscribe los tres vértices es $${\ displaystyle R = {\ frac {2h} {3}}}
• El radio del círculo inscrito es $${\ displaystyle r = {\ frac {h} {3}}}

En un triángulo equilátero, las altitudes, las bisectrices de ángulo, las bisectrices perpendiculares y las medianas de cada lado coinciden.

Caracterizaciones [ editar ]

Un triángulo ABC que tiene los lados a , b , c , semiperímetro s , área T , exradii r _a , r _b , r _c (tangente a a , b , c respectivamente), y donde R y r son los radios del círculo circunferencial e incircle respectivamente, es equilátero si y solo siCualquiera de las declaraciones en las siguientes nueve categorías es verdadera. Por lo tanto, estas propiedades son exclusivas de los triángulos equiláteros, y saber que cualquiera de ellos es verdadero implica directamente que tenemos un triángulo equilátero.

Lados [ editar ]

• $${\ displaystyle \ displaystyle a = b = c}
• $${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} = {\ frac {\ sqrt {25Rr-2r ^ { 2}}} {4Rr}}}^[1]

Semiperímetro [ editar ]

• $${\ displaystyle \ displaystyle s = 2R + (3 {\ sqrt {3}} - 4) r \ quad {\ text {(Blundon)}}}^[2]
• $${\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3r ^ {2} + 12Rr}^[3]
• $${\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3 {\ sqrt {3}} T}^[4]
• $${\ displaystyle \ displaystyle s = 3 {\ sqrt {3}} r}
• $${\ displaystyle \ displaystyle s = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} R}

Ángulos [ editar ]

• $${\ displaystyle \ displaystyle A = B = C = 60 ^ {\ circ}}
• $${\ displaystyle \ displaystyle \ cos {A} + \ cos {B} + \ cos {C} = {\ frac {3} {2}}}
• $${\ displaystyle \ displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} \ sin {\ frac {B} {2}} \ sin {\ frac {C} {2}} = {\ frac {1} {8 }}}^[5]

Área [ editar ]

• $${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {4 {\ sqrt {3}}}} \ quad}( Weitzenböck ) ^[6]
• $${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {^ {\ frac {2} {3}}}}^[4]

Circumradius, inradius y exradii [ editar ]

• $${\ displaystyle \ displaystyle R = 2r \ quad {\ text {(Chapple-Euler)}}}^[7]
• $${\ displaystyle \ displaystyle 9R ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}^[7]
• $${\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {r_ {a} + r_ {b} + r_ {c}} {9}}}^[5]
• $${\ displaystyle \ displaystyle r_ {a} = r_ {b} = r_ {c}}

Cevianos iguales [ editar ]

Tres tipos de cevians coinciden, y son iguales, para (y solo para) triángulos equiláteros: ^[8]

• Las tres altitudes tienen longitudes iguales.
• Las tres medianas tienen la misma longitud.
• Las tres bisectrices angulares tienen longitudes iguales.

Centros de triángulos coincidentes [ editar ]

Cada centro triangular de un triángulo equilátero coincide con su centroide , lo que implica que el triángulo equilátero es el único triángulo sin línea de Euler que conecta algunos de los centros. Para algunos pares de centros triangulares, el hecho de que coincidan es suficiente para garantizar que el triángulo sea equilátero. En particular:

• Un triángulo es equilátero si coinciden dos de los circuncentros , incentros , centroides u ortocentros . ^[9] : p.37
• También es equilátero si su circuncentro coincide con el punto de Nagel , o si su incentro coincide con su centro de nueve puntos . ^[7]

Seis triángulos formados por partición por las medianas [ editar ]

Para cualquier triángulo, las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños.

• Un triángulo es equilátero si y solo si tres de los triángulos más pequeños tienen el mismo perímetro o el mismo radio. ^{[10] : Teorema 1}
• Un triángulo es equilátero si y solo si los circuncentros de cualquiera de los tres triángulos más pequeños tienen la misma distancia del centroide. ^{[10] : Corolario 7}

Puntos en el plano [ editar ]

• Un triángulo es equilátero si y solo si, para cada punto P en el plano, con distancias p , q y r a los lados del triángulo y distancias x , y , y z a sus vértices, ^{[11] : p.178, # 235,4}

$${\ displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + r ^ {2}) \ geq x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}

Teoremas notables [ editar ]

Prueba visual del teorema de Viviani

1)	Se muestran las distancias más cercanas desde el punto P a los lados del triángulo equilátero ABC.
2)	Las líneas DE, FG y HI paralelas a AB, BC y CA, respectivamente, definen triángulos más pequeños PHE, PFI y PDG.
3)	Como estos triángulos son equiláteros, sus altitudes se pueden rotar para que sean verticales.
4)	Como PGCH es un paralelogramo, el triángulo PHE se puede deslizar hacia arriba para mostrar que las altitudes suman las del triángulo ABC.

El teorema del trisector de Morley establece que, en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los trisectores angulares adyacentes forman un triángulo equilátero.

El teorema de Napoleón establece que, si los triángulos equiláteros se construyen en los lados de cualquier triángulo, ya sea hacia afuera o hacia adentro, los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos aquellos con un perímetro dado es equilátero. ^[12]

El teorema de Viviani establece que, para cualquier punto interior P en un triángulo equilátero con distancias d , e y f desde los lados y la altitud h ,

$${\ displaystyle d + e + f = h,}

independiente de la ubicación de P . ^[13]

El teorema de Pompeiu establece que, si P es un punto arbitrario en el plano de un triángulo equilátero ABC pero no en su circunferencia , entonces existe un triángulo con lados de longitudes PA , PB y PC . Es decir, PA , PB y PC satisfacen la desigualdad triangular de que la suma de dos de ellos es mayor que la tercera. Si P está en el círculo, entonces la suma de los dos más pequeños es igual al más largo y el triángulo se ha degenerado en una línea, este caso se conoce como el teorema de Van Schooten .

Otras propiedades [ editar ]

Por la desigualdad de Euler , el triángulo equilátero tiene la relación más pequeña R / r del circunradio al inradio de cualquier triángulo: específicamente, R / r = 2. ^{[14] : p.198}

El triángulo del área más grande de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero; y el triángulo del área más pequeña de todos los circunscritos alrededor de un círculo dado es equilátero. ^[15]

La relación del área del incircle con el área de un triángulo equilátero, $${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}, es más grande que la de cualquier triángulo no equilátero. ^{[16] : Teorema 4.1}

La razón del área al cuadrado del perímetro de un triángulo equilátero, $${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}},}es más grande que eso para cualquier otro triángulo. ^[12]

Si un segmento divide un triángulo equilátero en dos regiones con perímetros iguales y con áreas A ₁ y A ₂ , entonces ^{[11] : p.151, # J26}

$${\ displaystyle {\ frac {7} {9}} \ leq {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} \ leq {\ frac {9} {7}}.}

Si se coloca un triángulo en el plano complejo con vértices complejos z ₁ , z ₂ y z ₃ , entonces para cualquiera de las raíces cúbicas no reales$${\ displaystyle \ omega}de 1 el triángulo es equilátero si y solo si ^{[17] : Lema 2}

$${\ displaystyle z_ {1} + \ omega z_ {2} + \ omega ^ {2} z_ {3} = 0.}

Dado un punto P en el interior de un triángulo equilátero, la razón de la suma de sus distancias desde los vértices a la suma de sus distancias desde los lados es mayor o igual a 2, la igualdad se mantiene cuando P es el centroide. En ningún otro triángulo hay un punto para el cual esta relación sea tan pequeña como 2. ^[18] Esta es la desigualdad de Erdős-Mordell ; Una variante más fuerte es la desigualdad de Barrow , que reemplaza las distancias perpendiculares a los lados con las distancias desde P a los puntos donde las bisectrices de ángulo de ∠ APB , ∠ BPC y ∠ CPA cruzan los lados ( A, B y C son los vértices).

Para cualquier punto P en el plano, con distancias p , q y t desde los vértices A, B y C respectivamente, ^[19]

$${\ displaystyle \ displaystyle 3 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} + a ^ {4}) = (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2}.}

Para cualquier punto P en el círculo inscrito de un triángulo equilátero, con distancias p , q y t desde los vértices, ^[19]

$${\ displaystyle \ displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2}) = 5a ^ {2}}

y

$${\ displaystyle \ displaystyle 16 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4}) = 11a ^ {4}.}

Para cualquier punto P en el arco menor BC del círculo, con distancias p , q y t desde A, B y C respectivamente, ^{[13] : 170 [19]}

$${\ displaystyle \ displaystyle p = q + t}

y

$${\ displaystyle \ displaystyle q ^ {2} + qt + t ^ {2} = a ^ {2};}

además, si el punto D en el lado BC divide PA en segmentos PD y DA con DA teniendo longitud z y PD teniendo longitud y , entonces ^[13] : 172

$${\ displaystyle z = {\ frac {t ^ {2} + tq + q ^ {2}} {t + q}},}

que también es igual $${\ displaystyle {\ tfrac {t ^ {3} -q ^ {3}} {t ^ {2} -q ^ {2}}}}si t ≠ q ; y

$${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {t}} = {\ frac {1} {y}},}

que es la ecuación óptica .

Existen numerosas desigualdades de triángulos que se mantienen con igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.

Un triángulo equilátero es el triángulo más simétrico, que tiene 3 líneas de reflexión y simetría rotacional de orden 3 alrededor de su centro. Su grupo de simetría es el grupo diédrico de orden 6 D ₃ .

Los triángulos equiláteros son los únicos triángulos cuyo Steel inellipse es un círculo (específicamente, es el círculo).

El triángulo equilátero de lados enteros es el único triángulo con lados enteros y tres ángulos racionales medidos en grados. ^[20]

El triángulo equilátero es el único triángulo agudo que es similar a su triángulo órtico (con vértices a los pies de las altitudes ) (el triángulo heptagonal es el único obtuso). ^{[21] : pág. 19}

Un tetraedro regular está hecho de cuatro triángulos equiláteros.

Los triángulos equiláteros se encuentran en muchas otras construcciones geométricas. La intersección de círculos cuyos centros están separados por un radio de ancho es un par de arcos equiláteros, cada uno de los cuales puede inscribirse con un triángulo equilátero. Forman caras de poliedros regulares y uniformes . Tres de los cinco sólidos platónicos están compuestos de triángulos equiláteros. En particular, el tetraedro regular tiene cuatro triángulos equiláteros para las caras y puede considerarse el análogo tridimensional de la forma. El plano se puede colocar en mosaico utilizando triángulos equiláteros que dan el mosaico triangular .

Construcción geométrica [ editar ]

Construcción de triángulo equilátero con brújula y regla

Un triángulo equilátero se construye fácilmente usando una regla y una brújula , porque 3 es un primo de Fermat . Dibuje una línea recta, coloque el punto de la brújula en un extremo de la línea y balancee un arco desde ese punto hasta el otro punto del segmento de línea. Repita con el otro lado de la línea. Finalmente, conecte el punto donde los dos arcos se cruzan con cada extremo del segmento de línea

Un método alternativo es dibujar un círculo con radio r , colocar el punto de la brújula en el círculo y dibujar otro círculo con el mismo radio. Los dos círculos se intersectarán en dos puntos. Se puede construir un triángulo equilátero tomando los dos centros de los círculos y cualquiera de los puntos de intersección.

En ambos métodos, un subproducto es la formación de vesica piscis .

La prueba de que la figura resultante es un triángulo equilátero es la primera proposición en el Libro I de los Elementos de Euclides .

Derivación de la fórmula del área [ editar ]

La fórmula del área $${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}en términos de longitud lateral, a puede derivarse directamente usando el teorema de Pitágoras o la trigonometría.

Usando el teorema de Pitágoras [ editar ]

El área de un triángulo es la mitad de un lado a veces la altura h de ese lado:

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ah.}

Un triángulo equilátero con un lado de 2 tiene una altura de √ 3 como el seno de 60 ° es √ 3 /2.

Las patas de cualquier triángulo rectángulo formado por una altitud del triángulo equilátero son la mitad de la base a , y la hipotenusa es el lado a del triángulo equilátero. La altura de un triángulo equilátero se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}}

así que eso

$${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a.}

Al sustituir h en la fórmula del área (1/2) ah se obtiene la fórmula del área para el triángulo equilátero:

$${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}.}

Usando trigonometría [ editar ]

El uso de la trigonometría , el área de un triángulo con dos lados una y b , y un ángulo C entre ellos es

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin C.}

Cada ángulo de un triángulo equilátero es 60 °, entonces

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin 60 ^ {\ circ}.}

El seno de 60 ° es $${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}}. Así

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ times {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} ab = { \ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}

ya que todos los lados de un triángulo equilátero son iguales.

En cultura y sociedad [ editar ]

Los triángulos equiláteros han aparecido con frecuencia en construcciones hechas por el hombre:

• La forma se produce en la arquitectura moderna, como la sección transversal del Gateway Arch . ^[22]
• Sus aplicaciones en banderas y heráldica incluyen la bandera de Nicaragua ^[23] y la bandera de Filipinas . ^[24]
• Es una forma de una variedad de señales de tráfico , incluida la señal de rendimiento .