LISTAS DE FORMAS -TRIÁNGULOS

teorema de incircles iguales se deriva de un Sangaku japonés , y pertenece a la siguiente construcción: una serie de rayos se dibujan desde un punto dado a una línea dada de tal manera que los círculos inscritos de los triángulos formados por rayos adyacentes y la línea base son iguales. En la ilustración, los círculos azules iguales definen el espacio entre los rayos, como se describe.

El teorema establece que los círculos de los triángulos formados (a partir de cualquier rayo dado) por cada otro rayo, cada tercer rayo, etc. y la línea base también son iguales. El caso de cada otro rayo se ilustra arriba con los círculos verdes, que son todos iguales.

Por el hecho de que el teorema no depende del ángulo del rayo inicial, se puede ver que el teorema pertenece propiamente al análisis, más que a la geometría, y debe relacionarse con una función de escala continua que define el espaciado de los rayos. De hecho, esta función es el seno hiperbólico .

El teorema es un corolario directo del siguiente lema:

Supongamos que el rayo n forma un ángulo$${\ displaystyle \ gamma _ {n}}con lo normal a la línea de base. Si$${\ displaystyle \ gamma _ {n}} se parametriza de acuerdo con la ecuación, $${\ displaystyle \ tan \ gamma _ {n} = \ sinh \ theta _ {n}}, luego valores de $${\ displaystyle \ theta _ {n} = a + nb}, dónde $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b} son constantes reales, definen una secuencia de rayos que satisfacen la condición de círculos iguales y, además, cualquier secuencia de rayos que satisfaga la condición puede producirse mediante la elección adecuada de las constantes $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b}.

Prueba del lema [ editar ]

En el diagrama, las líneas PS y PT son rayos adyacentes que forman ángulos $${\ displaystyle \ gamma _ {n}} y $${\ displaystyle \ gamma _ {n + 1}} con la línea PR, que es perpendicular a la línea de base, RST.

La línea QXOY es paralela a la línea de base y pasa a través de O, el centro del círculo de $${\ displaystyle \ triangle} PST, que es tangente a los rayos en W y Z. Además, la línea PQ tiene longitud $${\ displaystyle hr}y la línea QR tiene longitud $${\ displaystyle r}, el radio del incircle.

Entonces $${\ displaystyle \ triangle} OWX es similar a $${\ displaystyle \ triangle} PQX y $${\ displaystyle \ triangle} OZY es similar a $${\ displaystyle \ triangle} PQY, y de XY = XO + OY obtenemos

$${\ displaystyle (hr) (\ tan \ gamma _ {n + 1} - \ tan \ gamma _ {n}) = r (\ sec \ gamma _ {n} + \ sec \ gamma _ {n + 1}) .}

Esta relación en un conjunto de ángulos, $${\ displaystyle \ {\ gamma _ {m} \}}, expresa la condición de incircles iguales.

Para probar el lema, establecemos $${\ displaystyle \ tan \ gamma _ {n} = \ sinh (a + nb)}, lo que da $${\ displaystyle \ sec \ gamma _ {n} = \ cosh (a + nb)}.

Utilizando $${\ displaystyle a + (n + 1) b = (a + nb) + b}, aplicamos las reglas de adición para $${\ displaystyle \ sinh} y $${\ displaystyle \ cosh}y verifique que la relación de incircles iguales se cumpla estableciendo

$${\ displaystyle {\ frac {r} {hr}} = \ tanh {\ frac {b} {2}}.}

Esto da una expresión para el parámetro $${\ displaystyle b} en cuanto a las medidas geométricas, $${\ displaystyle h} y $${\ displaystyle r}. Con esta definición de$${\ displaystyle b} entonces obtenemos una expresión para los radios, $${\ displaystyle r_ {N}}, de los incirculos formados tomando cada rayo N como los lados de los triángulos

$${\ displaystyle {\ frac {r_ {N}} {h-r_ {N}}} = \ tanh {\ frac {Nb} {2}}.}

punto de paralelismo igual ^[1] [2] (también llamado punto de paralelismo congruente ) es un punto especial asociado con un triángulo plano . Es un centro triangular y se denota por X (192) en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling . ^[3] Hay una referencia a este punto en uno de los cuadernos de Peter Yff, escrito en 1961.

Definición [ editar ]

El punto de paralelismo igual del triángulo ABC es un punto P en el plano del triángulo ABC, de modo que los tres segmentos a través de P paralelos a las líneas laterales de ABC y que tienen puntos finales en estas líneas laterales tienen longitudes iguales. ^[1]

Coordenadas trilineales [ editar ]

Las coordenadas trilineales del punto de paralelismo igual del triángulo ABC son

( bc ( ca + ab - bc ): ca ( ab + bc - ca ): ab ( bc + ca - ab ))

Construcción para el punto de paralelismo igual [ editar ]

Construcción del punto de paralelismo igual

Sea A'B'C ' el triángulo anticomplementario del triángulo ABC . Deje que las bisectrices internas de los ángulos en los vértices A , B , C del triángulo ABC se encuentren con las líneas laterales opuestas en A '', B '', C '' respectivamente. Entonces las líneas A'A '', B'B '' y C'C '' coinciden en el punto de paralelismo igual del triángulo ABC .

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Una 6-equidissección de un cuadrado

En geometría , una equidissección es una partición de un polígono en triángulos de igual área . El estudio de las equidissecciones comenzó a fines de la década de 1960 con el teorema de Monsky , que establece que un cuadrado no puede ser equidisseccionado en un número impar de triángulos. ^[1] De hecho, la mayoría de los polígonos no se pueden equidisseccionar en absoluto. ^[2]

Gran parte de la literatura tiene como objetivo generalizar el teorema de Monsky a clases más amplias de polígonos. La pregunta general es: ¿Qué polígonos se pueden dividir en cuántas piezas? Se ha prestado especial atención a los trapecios , cometas , polígonos regulares , polígonos simétricos centralmente , poliominos e hipercubos . ^[3]

Las equidissecciones no tienen muchas aplicaciones directas. ^[4] Se consideran interesantes porque los resultados son contraintuitivos al principio, y para un problema de geometría con una definición tan simple, la teoría requiere algunas herramientas algebraicas sorprendentemente sofisticadas. Muchos de los resultados se basan en extender las valoraciones p- adicas a los números reales y extender el lema de Sperner a gráficos coloreados más generales .

Descripción general [ editar ]

Definiciones [ editar ]

Una disección de un polígono P es un conjunto finito de triángulos que no se solapan y cuya unión es todo P . Una disección en n triángulos se llama disección n , y se clasifica como una disección par o una disección impar según si n es par o impar . ^[5]

Una equidissección es una disección en la que cada triángulo tiene la misma área. Para un polígono P , el conjunto de todos los n para los cuales existe una n -equidissección de P se llama espectro de P y se denota como S ( P ). Un objetivo teórico general es calcular el espectro de un polígono dado. ^[6]

Una disección se llama simplicial si los triángulos se encuentran solo a lo largo de bordes comunes. Algunos autores restringen su atención a las disecciones simples, especialmente en la literatura secundaria, ya que son más fáciles de trabajar. Por ejemplo, la declaración habitual del lema de Sperner se aplica solo a las disecciones simples. A menudo, las disecciones simpliciales se llaman triangulaciones , aunque los vértices de los triángulos no están restringidos a los vértices o bordes del polígono. Por lo tanto, las equidissecciones simples se llaman también triangulaciones de área igual . ^[7]

Los términos pueden extenderse a politopos de dimensiones superiores : una equidissección es un conjunto de símplex que tiene el mismo volumen n . ^[8]

Preliminares [ editar ]

Es fácil encontrar una n -equidissección de un triángulo para todo n . Como resultado, si un polígono tiene una m -equidissección, entonces también tiene una mn -equidissección para todo n . De hecho, a menudo el espectro de un polígono consiste precisamente en los múltiplos de algún número m ; en este caso, tanto el espectro como el polígono se denominan principales y el espectro se denota$${\ displaystyle \ langle m \ rangle}. ^[2] Por ejemplo, el espectro de un triángulo es$${\ displaystyle \ langle 1 \ rangle}. Un ejemplo simple de un polígono no principal es el cuadrilátero con vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); su espectro incluye 2 y 3 pero no 1. ^[9]

Las transformaciones afines del plano son útiles para estudiar equidissecciones, incluyendo traslaciones , escalas uniformes y no uniformes , reflexiones , rotaciones , cizallas y otras similitudes y mapas lineales . Dado que una transformación afín conserva líneas rectas y proporciones de áreas, envía equidissecciones a equidissecciones. Esto significa que uno es libre de aplicar cualquier transformación afín a un polígono que pueda darle una forma más manejable. Por ejemplo, es común elegir coordenadas de modo que tres de los vértices de un polígono sean (0, 1), (0, 0) y (1, 0). ^[10]

El hecho de que las transformaciones afines preserven las equidissecciones también significa que ciertos resultados pueden generalizarse fácilmente. Todos los resultados indicados para un polígono regular también son válidos para polígonos afines regulares ; en particular, los resultados relativos al cuadrado de la unidad también se aplican a otros paralelogramos, incluidos rectángulos y rombos . Todos los resultados indicados para polígonos con coordenadas enteras también se aplican a polígonos con coordenadas racionales , o polígonos cuyos vértices caen en cualquier otra red . ^[11]

Mejores resultados [ editar ]

El teorema de Monsky establece que un cuadrado no tiene equidissecciones extrañas, por lo que su espectro es$${\ displaystyle \ langle 2 \ rangle}. ^[1] Más en general, se sabe que los polígonos y los poliominos simétricos centralmente no tienen equidissecciones extrañas. ^[12] Una conjetura de Sherman K. Stein propone que ningún polígono especial tiene una equidissección impar, donde un polígono especial es aquel cuyas clases de equivalencia de bordes paralelos suman al vector cero . Cuadrados, polígonos simétricos centralmente , poliominos y polihexos son polígonos especiales. ^[13]

Para n > 4, el espectro de un n -gon regular es$${\ displaystyle \ langle n \ rangle}. ^[14] Para n > 1, el espectro de un cubo n -dimensional es$${\ displaystyle \ langle n! \ rangle}, donde n ! es el factorial de n . ^[15]

Sea T ( a ) un trapecio donde a es la relación de las longitudes de los lados paralelos. Si a es un número racional , entonces T ( a ) es principal. De hecho, si r / s es una fracción en términos más bajos, entonces$${\ displaystyle S (T (r / s)) = \ langle r + s \ rangle}. ^[16] Más generalmente, todos los polígonos convexos con coordenadas racionales pueden ser equidisseccionados, ^[17] aunque no todos son principales; Vea el ejemplo anterior de una cometa con un vértice en (3/2, 3/2).

En el otro extremo, si a es un número trascendental , entonces T ( a ) no tiene equidissección. En términos más generales, ningún polígono cuyas coordenadas de vértice sean algebraicamente independientes tiene una equidissección. ^[18] Esto significa que casi todos los polígonos con más de tres lados no pueden ser equidisseccionados. Aunque la mayoría de los polígonos no se pueden cortar en triángulos de igual área, todos los polígonos se pueden cortar en cuadriláteros de igual área. ^[19]

Si a es un número irracional algebraico , entonces T ( a ) es un caso más complicado. Si a es algebraico de grado 2 o 3 ( cuadrático o cúbico), y todos sus conjugados tienen partes reales positivas , entonces S ( T ( a )) contiene todo lo suficientemente grande n tal que n / (1 + a ) es un entero algebraico . ^[20] Se conjetura que una condición similar que involucra polinomios establespuede determinar si el espectro está vacío para los números algebraicos a de todos los grados. ^[21]

Historia [ editar ]

La idea de una equidissección parece el tipo de concepto geométrico elemental que debería ser bastante antiguo. Aigner y Ziegler (2010) comentan el teorema de Monsky, "uno podría haber adivinado que seguramente la respuesta debe haber sido conocida por mucho tiempo (si no para los griegos)". ^[22] Pero el estudio de equidissecciones no comenzó hasta 1965, cuando Fred Richman estaba preparando un examen de maestría en la Universidad Estatal de Nuevo México .

Teorema de Monsky [ editar ]

Richman quería incluir una pregunta sobre geometría en el examen, y se dio cuenta de que era difícil encontrar (lo que ahora se llama) una equidissección extraña de un cuadrado. Richman demostró a sí mismo que era imposible para 3 o 5, que la existencia de una n -equidissección implica la existencia de una ( n + 2) -sección, y que ciertos cuadriláteros arbitrariamente cercanos a los cuadrados tienen equidissecciones impares. ^[23] Sin embargo, no resolvió el problema general de equidissecciones impares de cuadrados, y lo dejó fuera del examen. El amigo de Richman, John Thomas, se interesó en el problema; en su recuerdo,

"Todos a quienes se les planteó el problema (incluido yo mismo) dijeron algo así como 'esa no es mi área, pero la pregunta seguramente debe haber sido considerada y la respuesta probablemente sea bien conocida'. Algunos pensaron que lo habían visto, pero no podían recordar dónde. Estaba interesado porque me recordaba al Lema de Sperner en topología , que tiene una prueba inteligente de pares e impares ". ^[24]

Thomas demostró que una equidissección impar era imposible si las coordenadas de los vértices son números racionales con denominadores impares. Presentó esta prueba a la Revista Mathematics , pero quedó en espera:

"La reacción del árbitro fue predecible. Pensó que el problema podría ser bastante fácil (aunque no pudo resolverlo) y posiblemente era bien conocido (aunque no pudo encontrar ninguna referencia al respecto)". ^[25]

La pregunta fue dada como un problema avanzado en el American Mathematical Monthly ( Richman y Thomas 1967 ). Cuando nadie más presentó una solución, la prueba se publicó en la Revista Mathematics ( Thomas 1968 ), tres años después de que se escribió. Monsky (1970) se basó en el argumento de Thomas para demostrar que no hay equidissecciones extrañas de un cuadrado, sin ningún supuesto de racionalidad. ^[25]

La prueba de Monsky se basa en dos pilares: un resultado combinatorio que generaliza el lema de Sperner y un resultado algebraico , la existencia de una valoración de 2 adic en los números reales. Una coloración inteligente del plano implica que en todas las disecciones del cuadrado, al menos un triángulo tiene un área que equivale a un denominador par y, por lo tanto, todas las equidissecciones deben ser pares. La esencia del argumento se encuentra ya en Thomas (1968) , pero Monsky (1970) fue el primero en utilizar una valoración de 2 adic para cubrir disecciones con coordenadas arbitrarias. ^[26]

Generalizaciones [ editar ]

La primera generalización del teorema de Monsky fue Mead (1979) , quien demostró que el espectro de un cubo n- dimensional es$${\ displaystyle \ langle n! \ rangle}. La prueba es revisada por Bekker y Netsvetaev (1998) .

La generalización a los polígonos regulares llegó en 1985, durante un seminario de geometría dirigido por GD Chakerian en UC Davis . Elaine Kasimatis, una estudiante graduada, "estaba buscando algún tema algebraico en el que pudiera meterse" en el seminario. ^[6] Sherman Stein sugirió disecciones del cuadrado y el cubo: "un tema que Chakerian admitió de mala gana era geométrico". ^[6] Después de su charla, Stein preguntó acerca de los pentágonos regulares. Kasimatis respondió con Kasimatis (1989) , demostrando que para n > 5, el espectro de un n -gon regular es$${\ displaystyle \ langle n \ rangle}. Su prueba se basa en la prueba de Monsky, extendiendo la valoración p- adica a los números complejos para cada divisor primo de n y aplicando algunos resultados elementales de la teoría de los campos ciclotómicos . También es la primera prueba de utilizar explícitamente una transformación afín para configurar un sistema de coordenadas conveniente. ^[27] Kasimatis y Stein (1990) luego enmarcaron el problema de encontrar el espectro de un polígono general, introduciendo los términos espectro y principal . ^[6] Probaron que casi todos los polígonos carecen de equidissecciones, y que no todos los polígonos son principales. ^[2]

Kasimatis y Stein (1990) comenzaron el estudio de los espectros de dos generalizaciones particulares de cuadrados: trapecios y cometas. Los trapecios han sido estudiados por Jepsen (1996) , Monsky (1996) y Jepsen & Monsky (2008) . Las cometas han sido estudiadas por Jepsen, Sedberry y Hoyer (2009) . Los cuadriláteros generales se han estudiado en Su & ​​Ding (2003) . Varios artículos han sido escritos en la Universidad Normal de Hebei , principalmente por el profesor Ding Ren y sus estudiantes Du Yatao y Su Zhanjun. ^[28]

Intentando generalizar los resultados para n -gons regulares para pares n , Stein (1989) conjeturó que ningún polígono simétrico centralmente tiene una equidissección impar, y probó los casos n = 6 y n = 8. La conjetura completa fue probada por Monsky (1990) . Una década más tarde, Stein hizo lo que describe como "un avance sorprendente", conjeturando que ningún poliomino tiene una equidissección extraña. Probó el resultado de un poliomino con un número impar de cuadrados en Stein (1999) . La conjetura completa se demostró cuando Praton (2002) trató el caso par.

El tema de las equidissecciones se ha popularizado recientemente mediante tratamientos en The Mathematical Intelligencer ( Stein 2004 ), un volumen de las monografías matemáticas de Carus ( Stein & Szabó 2008 ) y la cuarta edición de Proofs from THE BOOK ( Aigner & Ziegler 2010 ).

Problemas relacionados [ editar ]

Sakai, Nara y Urrutia (2005) consideran una variación del problema: dado un polígono convexo K , ¿cuánto de su área puede cubrir n triángulos no superpuestos de igual área dentro de K ? La relación del área de la mejor cobertura posible al área de K se denota t _n ( K ). Si K tiene una n -equidissección, entonces t _n ( K ) = 1; de lo contrario, es menor que 1. Los autores muestran que para un cuadrilátero K , t _n ( K ) ≥ 4 n / (4 n+ 1), con t ₂ ( K ) = 8/9 si y solo si K es afín congruente con el trapecio T (2/3). Para un pentágono, t ₂ ( K ) ≥ 2/3, t ₃ ( K ) ≥ 3/4 y t _n ( K ) ≥ 2 n / (2 n + 1) para n ≥ 5.

Günter M. Ziegler preguntó el problema inverso en 2003: Dada una disección de todo un polígono en n triángulos, ¿qué tan cerca pueden estar las áreas triangulares para ser iguales? En particular, ¿cuál es la diferencia más pequeña posible entre las áreas de los triángulos más pequeños y más grandes? Supongamos que la diferencia más pequeña es M ( n ) para un cuadrado y M ( a , n ) para el trapecio T ( a ). Entonces M ( n ) es 0 para n par y mayor que 0 para n impar . Mansow (2003) dio el límite superior asintótico M (n ) = O (1 / n ² ) (ver notación Big O ). ^[29] Schulze (2011) mejora la unión a M ( n ) = O (1 / n ³ ) con una mejor disección, y demuestra que existen valores de a para los cuales M ( a , n ) disminuye arbitrariamente rápidamente. Labbé, Rote y Ziegler (2018) obtienen un límite superior superpolinomial, derivado de una construcción explícita que utiliza la secuencia Thue-Morse .