LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

punto de Apolonio es un punto especial asociado con un triángulo plano . El punto es un centro triangular y se designa como X (181) en la Enciclopedia de los Centros Triángulo (ETC) de Clark Kimberling . El centro de Apolonio también está relacionado con el problema de Apolonio .

En la literatura, el término " puntos de Apolonio " también se ha utilizado para referirse a los puntos isodinámicos de un triángulo. ^[1] Este uso también podría justificarse porque los puntos isodinámicos están relacionados con los tres círculos apolíneos asociados con un triángulo.

La solución del problema de Apolonio se conoce desde hace siglos. Pero el punto de Apolonio se observó por primera vez en 1987.

Definición [ editar ]

El punto de Apolonio de un triángulo se define de la siguiente manera.

Deje ABC ser cualquier triángulo dado. Deje que los círculos del triángulo ABC opuesto a los vértices A , B , C sean E _A , E _B , E _C respectivamente. Deje que E sea el círculo que toca los tres excircles E _A , E _B , E _C de tal manera que los tres están dentro excircles E . Sean A ' , B' , C ' los puntos de contacto del círculo Econ los tres excirculos. Las líneas AA ' , BB' , CC ' son concurrentes . El punto de concurrencia es el punto de Apolonio del triángulo ABC .

El problema de Apolonio es el problema de construir un círculo tangente a tres círculos dados en un plano. En general, hay ocho círculos tocando tres círculos dados. El círculo E mencionado en la definición anterior es uno de estos ocho círculos que toca los tres círculos del triángulo ABC . En la Enciclopedia de los Centros de Triángulos, el círculo E es el llamado círculo de Apolonio del triángulo ABC .

Coordenadas trilineales [ editar ]

Las coordenadas trilineales del punto de Apolonio son ^[2]

$${\ displaystyle {\ frac {a (b + c) ^ {2}} {b + ca}}: {\ frac {b (c + a) ^ {2}} {c + ab}}: {\ frac {c (a + b) ^ {2}} {a + bc}}}

$${\ displaystyle = \ sin ^ {2} A \ cos ^ {2} ({\ frac {B} {2}} - {\ frac {C} {2}}): \ sin ^ {2} B \ cos ^ {2} ({\ frac {C} {2}} - {\ frac {A} {2}}): \ sin ^ {2} C \ cos ^ {2} ({\ frac {A} {2 }} - {\ frac {B} {2}}).}

de Apolonio .

áreas verdes / azules = área roja

Pitágoras como caso especial:
área verde = área roja

En geometría , el teorema de Apolonio es un teorema que relaciona la longitud de una mediana de un triángulo con la longitud de su lado. Establece que "la suma de los cuadrados de cualquiera de los dos lados de cualquier triángulo es igual al doble del cuadrado en la mitad del tercer lado, junto con el doble del cuadrado en la mediana que divide el tercer lado".

Específicamente, en cualquier triángulo ABC , si AD es una mediana, entonces

$${\ displaystyle | AB | ^ {2} + | AC | ^ {2} = 2 (| AD | ^ {2} + | BD | ^ {2}).}

Es un caso especial del teorema de Stewart . Para un triángulo isósceles con | AB | = | AC | , la mediana AD es perpendicular a BC y el teorema se reduce al teorema de Pitágoras para el triángulo ADB (o triángulo ADC ). Por el hecho de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, el teorema es equivalente a la ley del paralelogramo .

El teorema lleva el nombre del antiguo matemático griego Apolonio de Perga .

Prueba [ editar ]

Prueba del teorema de Apolonio

El teorema puede probarse como un caso especial del teorema de Stewart, o puede probarse usando vectores (ver ley de paralelogramo ). La siguiente es una prueba independiente que usa la ley de cosenos. ^[1]

Deje que el triángulo tenga lados a , b , c con una mediana d dibujada al lado a . Sea m la longitud de los segmentos de a formados por la mediana, entonces m es la mitad de a . Deje que los ángulos formados entre a y d sean θ y θ ′ donde θ incluye by θ ′ incluye c . Entonces θ ′ es el suplemento de θ y cos θ ′ = −cos θ. La ley de los cosenos para los estados θ y θ ′

{\ displaystyle {\ begin {alineado} b ^ {2} & = m ^ {2} + d ^ {2} -2dm \ cos \ theta \\ c ^ {2} & = m ^ {2} + d ^ {2} -2dm \ cos \ theta '\\ & = m ^ {2} + d ^ {2} + 2dm \ cos \ theta. \, \ End {alineado}}}

Suma estas ecuaciones para obtener

$${\ displaystyle b ^ {2} + c ^ {2} = 2 (m ^ {2} + d ^ {2})}

según sea necesario.

 triángulo automediano es un triángulo en el que las longitudes de las tres medianas (los segmentos de línea que conectan cada vértice al punto medio del lado opuesto) son proporcionales a las longitudes de los tres lados, en un orden diferente. Las tres medianas de un triángulo automediano se pueden traducir para formar los lados de un segundo triángulo que sea similar al primero.

Un triángulo automediano (negro) con longitudes laterales en la proporción 13: 17: 7, sus tres medianas (marrón) y un triángulo similar al original cuyos lados son copias traducidas de las medianas

Caracterización [ editar ]

Las longitudes laterales de un triángulo automediano satisfacen la fórmula 2 a ²  =  b ²  +  c ² o una permutación del mismo, análoga al teorema de Pitágoras que caracteriza a los triángulos rectángulos como los triángulos que satisfacen la fórmula a ²  =  b ²  +  c ² . Esto es, a fin de que los tres números de una , b , y c para ser los lados de un triángulo automedian, la secuencia de tres longitudes de los lados al cuadrado b ² , un ² , y c ²Debería formar una progresión aritmética . ^[1]

Construcción desde triángulos rectángulos [ editar ]

Si x , y , y z son los tres lados de un triángulo rectángulo, ordenados en orden creciente por tamaño, y si 2 x  <  z , entonces z , x  +  y , y y  -  x son los tres lados de un triángulo automediano. Por ejemplo, el triángulo rectángulo con las longitudes laterales 5, 12 y 13 puede usarse para formar de esta manera un triángulo automediano con las longitudes laterales 13, 17 y 7. ^[2]

La condición de que 2 x  <  z es necesaria: si no se cumpliera, entonces los tres números a  =  z , b  =  x  +  y , y c  =  x  -  y seguirían satisfaciendo la ecuación 2 a ²  =  b ² +  c ² caracterizando triángulos automedianos, pero no satisfarían la desigualdad del triángulo y no podrían usarse para formar los lados de un triángulo.

En consecuencia, utilizando la fórmula de Euler que genera triángulos pitagóricos primitivos , es posible generar triángulos automedianos enteros primitivos (es decir, con los lados que no comparten ningún factor común) como

$${\ displaystyle a = m ^ {2} + n ^ {2}}

$${\ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}

$${\ displaystyle c = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}

con $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n} coprime $${\ displaystyle m + n} impar, y para satisfacer la desigualdad del triángulo {\ displaystyle n  (si la cantidad dentro de los signos de valor absoluto es negativa) o  {\ displaystyle m> (2 + {\ sqrt {3}}) n}(si esa cantidad es positiva). Entonces las medianas de este triángulo$${\ displaystyle t_ {a}, t_ {b}, t_ {c}}se encuentran usando las expresiones anteriores para sus lados en la fórmula general para medianas :

$${\ displaystyle t_ {a} = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}} = {\ frac {a {\ sqrt {3} }} {2}}, \ qquad t_ {b} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2c ^ {2} -b ^ {2}} {4}}} = {\ frac {c {\ sqrt {3}}} {2}}, \ qquad t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2b ^ {2} -c ^ {2}} {4}}} = {\ frac {b {\ sqrt {3}}} {2}},}

donde la segunda ecuación en cada caso refleja la característica automediana $${\ displaystyle 2a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}.}

De esto se puede ver las relaciones de similitud

$${\ displaystyle {\ frac {t_ {a}} {t_ {b}}} = {\ frac {a} {c}}, \ qquad {\ frac {t_ {b}} {t_ {c}}} = {\ frac {c} {b}}, \ qquad {\ frac {t_ {c}} {t_ {a}}} = {\ frac {b} {a}} \ qquad {\ text {y por lo tanto}} \ qquad t_ {a}: t_ {b}: t_ {c} \ quad = \ quad a: c: b.}

Hay un triángulo automediano primitivo de lados enteros que no se genera a partir de un triángulo rectángulo: el triángulo equilátero con lados de longitud unitaria.

Ejemplos [ editar ]

Hay 18 triángulos automedianos enteros primitivos, que se muestran aquí como triples de lados ( a, b, c ), con b ≤ 200 :

(1, 1, 1)	(13, 17, 7)	(17, 23, 7)	(25, 31, 17)	(37, 47, 23)	(41, 49, 31)
(61, 71, 49)	(65, 79, 47)	(85, 97, 71)	(85, 113, 41)	(89, 119, 41)	(101, 119, 79)
(113, 127, 97)	(125, 161, 73)	(145, 161, 127)	(145, 167, 119)	(149, 191, 89)	(181, 199, 161)

Por ejemplo, (26, 34, 14) no es un triple automático primitivo, ya que es un múltiplo de (13, 17, 7) y no aparece arriba.

Propiedades adicionales [ editar ]

Si $${\ displaystyle \ Delta (a, b, c)}es el área del triángulo automediano, según la fórmula de Heron $${\ displaystyle \ Delta (t_ {a}, t_ {b}, t_ {c}) = (3/4) \ Delta (a, b, c).}^[3]

La línea de Euler de un triángulo automediano es perpendicular a la mediana del lado a . ^[2]

Si las medianas de un triángulo automedian se extienden a la circunferencia circunscrita del triángulo, entonces los tres puntos LMN donde las medianas extendidos conocer la forma circunferencia circunscrita un triángulo isósceles . Los triángulos para los cuales este segundo triángulo LMN es isósceles son exactamente los triángulos que son isósceles o automedianos. Esta propiedad de los triángulos automedios contrasta con el teorema de Steiner-Lehmus , según el cual los únicos triángulos de los cuales dos bisectrices de ángulo tienen la misma longitud son los triángulos isósceles. ^[2]

Además, suponga que ABC es un triángulo automediano, en el cual el vértice A se encuentra enfrente del lado a . Deje G ser el punto donde las tres medianas de ABC se cruzan, y deje que AL sea ​​una de las medianas extendidas de ABC , con L en el círculo de ABC . Entonces BGCL es un paralelogramo , los dos triángulos BGL y CLG en los que puede subdividirse son similares a ABC , G es el punto medio de AL y la línea de Eulerdel triángulo es la bisectriz perpendicular de AL . ^[2]

Al generar un triángulo automediano primitivo a partir de un triple pitagórico primitivo utilizando los parámetros euclidianos m, n , entonces{\ displaystyle m> n} y se sigue que $${\ displaystyle b \ geq a \ geq c}. Como los triángulos automedianos no primitivos son múltiplos de sus primitivos, las desigualdades de los lados se aplican a todos los triángulos automedianos enteros. La igualdad ocurre solo para triángulos equiláteros triviales. Además, porque$${\ displaystyle m + n}siempre es impar, todos los lados a, b, c tienen que ser impares. Este hecho permite que los triples automedianos tengan lados y perímetro de números primos solamente. Por ejemplo, (13, 17, 7) tiene el perímetro 37.

Debido a que en un lado del triángulo automediano primitivo a es la suma de dos cuadrados e igual a la hipotenusa del triple pitagórico primitivo generador, es divisible solo por primos congruentes con 1 (mod 4). En consecuencia, a debe ser congruente con 1 (mod 4).

Del mismo modo, porque los lados están relacionados por $${\ displaystyle 2a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}}, Cada uno de los lados b y c en el automedian primitiva es la diferencia entre el doble de un cuadrado y un cuadrado. También son la suma y la diferencia de las patas de un triple pitagórico primitivo. Esto limita b y c a ser divisible solamente por números primos congruente a ± 1 (mod 8). En consecuencia, b y c deben ser congruentes a ± 1 (mod 8). ^[4]

Historia [ editar ]

El estudio de cuadrados enteros en la progresión aritmética tiene una larga historia que se remonta a Diophantus y Fibonacci ; está estrechamente relacionado con congrua , que son los números que pueden ser las diferencias de los cuadrados en tal progresión. ^[1] Sin embargo, la conexión entre este problema y los triángulos automedianos es mucho más reciente. El problema de caracterizar los triángulos automedios fue planteado a fines del siglo XIX en el Educational Times (en francés) por Joseph Jean Baptiste Neuberg , y resuelto allí con la fórmula 2 a ²  =  b ²  +  c ² porWilliam John Greenstreet . ^[5]

Casos especiales [ editar ]

Además de los casos triviales de triángulos equiláteros, el triángulo con las longitudes laterales 17, 13 y 7 es el triángulo automediano más pequeño (por área o perímetro) con longitudes laterales enteras. ^[2]

Solo hay un triángulo rectángulo automediano, el triángulo con longitudes laterales proporcionales a 1, √ 2 y √ 3 . ^[2] Este triángulo es el segundo triángulo en la espiral de Theodorus . Es el único triángulo rectángulo en el que dos de las medianas son perpendiculares entre sí.