LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

 bisección es la división de algo en dos partes iguales o congruentes , generalmente por una línea , que luego se llama bisectriz . Los tipos de bisectrices que se consideran con mayor frecuencia son la bisectriz de segmento (una línea que pasa a través del punto medio de un segmento dado ) y la bisectriz de ángulo (una línea que pasa a través del vértice de un ángulo , que lo divide en dos ángulos iguales).

En el espacio tridimensional , la bisección generalmente se realiza mediante un plano, también llamado bisectriz o plano de bisección .

La línea DE biseca la línea AB en D, la línea EF es una bisectriz perpendicular del segmento AD en C y la línea EF es la bisectriz interior del DEA de ángulo recto

Bisectriz de segmento de línea [ editar ]

Bisectriz perpendicular

Una bisectriz de segmento de línea pasa a través del punto medio del segmento. Particularmente importante es la bisectriz perpendicular de un segmento que, según su nombre, se encuentra con el segmento en ángulo recto . La bisectriz perpendicular de un segmento también tiene la propiedad de que cada uno de sus puntos es equidistante de los puntos finales del segmento. Por lo tanto, los límites del diagrama de Voronoi consisten en segmentos de tales líneas o planos.

En geometría clásica, la bisección es una construcción simple de brújula y regla , cuya posibilidad depende de la capacidad de dibujar círculosde radios iguales y diferentes centros. El segmento se biseca dibujando círculos de intersección de igual radio, cuyos centros son los puntos finales del segmento y de tal manera que cada círculo atraviesa un punto final. La línea determinada por los puntos de intersección de los dos círculos es la bisectriz perpendicular del segmento, ya que cruza el segmento en su centro. De hecho, esta construcción se usa cuando se construye una línea perpendicular a una línea dada en un punto dado: dibujando un círculo arbitrario cuyo centro es ese punto, intersecta la línea en dos puntos más, y la perpendicular a construir es la que biseca el segmento definido por estos dos puntos.

El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero cíclico es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares ), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre divide el lado opuesto.

Algebraicamente, la bisectriz perpendicular de un segmento de línea con puntos finales $${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})} y $${\ displaystyle P_ {2} (x_ {2}, y_ {2})} está dado por la ecuación

$${\ displaystyle (x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} = (x-x_ {2}) ^ {2} + (y-y_ {2}) ^ {2},}

que establece que la distancia al cuadrado de un punto en la bisectriz a un punto final es igual a la distancia al cuadrado desde ese punto al otro punto final.

Bisectriz de ángulo [ editar ]

Bisección de un ángulo usando una brújula y una regla

Una bisectriz angular divide el ángulo en dos ángulos con medidas iguales . Un ángulo solo tiene una bisectriz. Cada punto de una bisectriz angular es equidistante de los lados del ángulo.

La bisectriz interior o interna de un ángulo es la línea, media línea o segmento de línea que divide un ángulo de menos de 180 ° en dos ángulos iguales. El exterior o bisectriz externa es la línea que divide el ángulo suplementario (de 180º menos el ángulo original), formado por un lado que forma el ángulo original y la extensión de la otra parte, en dos ángulos iguales. ^[1]

Para bisecar un ángulo con regla y compás , se dibuja un círculo cuyo centro es el vértice. El círculo se encuentra con el ángulo en dos puntos: uno en cada pierna. Usando cada uno de estos puntos como centro, dibuja dos círculos del mismo tamaño. La intersección de los círculos (dos puntos) determina una línea que es la bisectriz angular.

La prueba de la exactitud de esta construcción es bastante intuitiva y se basa en la simetría del problema. La trisección de un ángulo (dividiéndolo en tres partes iguales) no se puede lograr solo con la brújula y la regla (esto fue demostrado por primera vez por Pierre Wantzel ).

Las bisectrices internas y externas de un ángulo son perpendiculares . Si el ángulo está formado por las dos líneas dadas algebraicamente como $${\ displaystyle l_ {1} x + m_ {1} y + n_ {1} = 0} y $${\ displaystyle l_ {2} x + m_ {2} y + n_ {2} = 0,}entonces las bisectrices internas y externas están dadas por las dos ecuaciones ^[2] : p.15

$${\ displaystyle {\ frac {l_ {1} x + m_ {1} y + n_ {1}} {\ sqrt {l_ {1} ^ {2} + m_ {1} ^ {2}}}} = \ pm {\ frac {l_ {2} x + m_ {2} y + n_ {2}} {\ sqrt {l_ {2} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}}}}.}

Triángulo [ editar ]

Concurrencias y colineales [ editar ]

Las bisectrices del ángulo interior de un triángulo son concurrentes en un punto llamado el incentro del triángulo, como se ve en el diagrama de la derecha.

Las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes. ^{[3] : p.149}

Tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de ángulo externo con el lado extendido opuesto , son colineales (caen en la misma línea que el otro). ^{[3] : pág. 149}

Tres puntos de intersección, dos de ellos entre una bisectriz de ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz de ángulo exterior y el lado opuesto extendido, son colineales. ^{[3] : pág. 149}

Teorema de la bisectriz angular [ editar ]

Artículo principal: Teorema de la bisectriz angular

En este diagrama, BD: DC = AB: AC.

El teorema de la bisectriz angular se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos en los que el lado de un triángulo se divide por una línea que divide el ángulo opuesto. Iguala sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.

Longitudes [ editar ]

Si las longitudes laterales de un triángulo son $${\ displaystyle a, b, c}, el semiperímetro $${\ displaystyle s = (a + b + c) / 2,} y A es el ángulo del lado opuesto $${\ displaystyle a}, entonces la longitud de la bisectriz interna del ángulo A es ^{[3] : p. 70}

$${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}},}

o en términos trigonométricos, ^[4]

$${\ displaystyle {\ frac {2bc} {b + c}} \ cos {\ frac {A} {2}}.}

Si la bisectriz interna del ángulo A en el triángulo ABC tiene longitud $${\ displaystyle t_ {a}}Y si esto bisectrices divide el lado opuesto A en segmentos de longitudes m y n , a continuación, ^[3] : p.70

$${\ displaystyle t_ {a} ^ {2} + mn = bc}

donde b y c son las longitudes de los lados opuestos vértices B y C; y el lado opuesto a A se divide en la proporción b : c .

Si las bisectrices internas de los ángulos A, B y C tienen longitudes $${\ displaystyle t_ {a}, t_ {b},} y $${\ displaystyle t_ {c}}, entonces ^[5]

$${\ displaystyle {\ frac {(b + c) ^ {2}} {bc}} t_ {a} ^ {2} + {\ frac {(c + a) ^ {2}} {ca}} t_ { b} ^ {2} + {\ frac {(a + b) ^ {2}} {ab}} t_ {c} ^ {2} = (a + b + c) ^ {2}.}

No hay dos triángulos no congruentes que compartan el mismo conjunto de tres longitudes de bisectriz de ángulo interno. ^[6] [7]

Triángulos enteros [ editar ]

Existen triángulos enteros con una bisectriz de ángulo racional .

Cuadrilátero [ editar ]

Las bisectrices de ángulo interno de un cuadrilátero convexo forman un cuadrilátero cíclico (es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de ángulo adyacentes son concíclicas ) ^[8] o son concurrentes . En el último caso, el cuadrilátero es un cuadrilátero tangencial .

Rombo [ editar ]

Cada diagonal de un rombo biseca ángulos opuestos.

Cuadrilátero ex tangencial [ editar ]

El excedente de un cuadrilátero ex tangencial se encuentra en la intersección de seis bisectrices angulares. Estas son las bisectrices de ángulo interno en dos ángulos de vértice opuestos, las bisectrices de ángulo externo (bisectrices de ángulo suplementarias) en los otros dos ángulos de vértice y las bisectrices de ángulo externo en los ángulos formados donde se intersecan las extensiones de lados opuestos .

Parábola [ editar ]

Artículo principal: Parábola § Propiedad de bisección tangente

La tangente a una parábola en cualquier punto divide el ángulo entre la línea que une el punto al foco y la línea desde el punto y perpendicular a la directriz.

Bisectrices de los lados de un polígono [ editar ]

Triángulo [ editar ]

Medianas [ editar ]

Cada una de las tres medianas de un triángulo es un segmento de línea que atraviesa un vértice y el punto medio del lado opuesto, de modo que divide ese lado (aunque no en general perpendicularmente). Las tres medianas se cruzan entre sí en el centroide del triángulo, que es su centro de masa si tiene una densidad uniforme; así, cualquier línea a través del centroide de un triángulo y uno de sus vértices biseca el lado opuesto. El centroide está dos veces más cerca del punto medio de cualquier lado que del vértice opuesto.

Bisectrices perpendiculares [ editar ]

La bisectriz perpendicular interior de un lado de un triángulo es el segmento, que cae completamente dentro y dentro del triángulo, de la línea que bisecta perpendicularmente ese lado. Las tres bisectrices perpendiculares de los tres lados de un triángulo se cruzan en el circuncentro (el centro del círculo a través de los tres vértices). Por lo tanto, cualquier línea a través del circuncentro de un triángulo y perpendicular a un lado biseca ese lado.

En un triángulo agudo, el circuncentro divide las bisectrices perpendiculares interiores de los dos lados más cortos en proporciones iguales. En un triángulo obtuso, las bisectrices perpendiculares de los dos lados más cortos (extendidas más allá de sus lados opuestos del triángulo hasta el circuncentro) se dividen por sus respectivos lados triangulares de intersección en proporciones iguales. ^{[9] : Corolarios 5 y 6}

Para cualquier triángulo, las bisectrices perpendiculares interiores están dadas por $${\ displaystyle p_ {a} = {\ tfrac {2aT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},} $${\ displaystyle p_ {b} = {\ tfrac {2bT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},} y $${\ displaystyle p_ {c} = {\ tfrac {2cT} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},} donde están los lados $${\ displaystyle a \ geq b \ geq c} y el área es $${\ displaystyle T.}^{[9] : Thm 2}

Cuadrilátero [ editar ]

Los dos bimedianos de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos, por lo tanto, cada bisección de dos lados. Los dos bimedianos y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes en un punto llamado "centroide de vértices" y todos están bisecados en este punto. ^{[10] : pág . 125}

Las cuatro "maldades" de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado a través del punto medio del lado opuesto, por lo tanto bisecando el último lado. Si el cuadrilátero es cíclico (inscrito en un círculo), estas maldades son concurrentes en (todos se encuentran en) un punto común llamado "anticentro".

El teorema de Brahmagupta establece que si un cuadrilátero cíclico es ortodiagonal (es decir, tiene diagonales perpendiculares ), entonces la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre divide el lado opuesto.

La construcción de la bisectriz perpendicular forma un cuadrilátero a partir de las bisectrices perpendiculares de los lados de otro cuadrilátero.

Bisectrices de área y bisectrices perimetrales [ editar ]

Triángulo [ editar ]

Hay una infinidad de líneas que dividen el área de un triángulo . Tres de ellos son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y estos son concurrentes en el centroide del triángulo ; de hecho, son las únicas bisectrices de área que pasan por el centroide. Otras tres bisectrices de área son paralelas a los lados del triángulo; cada uno de estos se cruza con los otros dos lados para dividirlos en segmentos con las proporciones$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + 1: 1}. ^[11] Estas seis líneas son concurrentes de tres en tres: además de que las tres medianas son concurrentes, cualquier mediana es concurrente con dos de las bisectrices de área paralelas laterales.

La envoltura de la infinitud de bisectrices de área es un deltoides (ampliamente definido como una figura con tres vértices conectados por curvas que son cóncavas al exterior del deltoides, lo que hace que los puntos interiores sean un conjunto no convexo). ^[11] Los vértices del deltoides están en los puntos medios de las medianas; Todos los puntos dentro del deltoides están en tres bisectrices de área diferentes, mientras que todos los puntos fuera de él están en uno solo. [1] Los lados del deltoides son arcos de hipérbolas que son asintóticas a los lados extendidos del triángulo. ^[11] La razón del área de la envoltura de las bisectrices de área al área del triángulo es invariable para todos los triángulos, y es igual$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ log _ {e} (2) - {\ tfrac {1} {2}},} es decir, 0.019860 ... o menos del 2%.

Una cuchilla de un triángulo es un segmento de línea que divide el perímetro del triángulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados. Las tres cuchillas coinciden (todas pasan) en el centro del círculo de Spieker , que es el círculo del triángulo medial . Las cuchillas son paralelas a las bisectrices angulares.

Un divisor de un triángulo es un segmento de línea que tiene un punto final en uno de los tres vértices del triángulo y biseca el perímetro. Los tres divisores coinciden en el punto Nagel del triángulo.

Cualquier línea a través de un triángulo que divide el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su círculo ). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado. Una línea a través del incentro divide una de las áreas o el perímetro si y solo si también divide la otra. ^[12]

Paralelogramo [ editar ]

Cualquier línea a través del punto medio de un paralelogramo divide el área ^[13] y el perímetro.

Círculo y elipse [ editar ]

Todas las bisectrices de área y las bisectrices de perímetro de un círculo u otra elipse pasan por el centro , y cualquier acorde a través del centro divide la zona y el perímetro. En el caso de un círculo, son los diámetros del círculo.

Bisectrices de diagonales [ editar ]

Paralelogramo [ editar ]

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

Cuadrilátero [ editar ]

Si un segmento de línea que conecta las diagonales de un cuadrilátero biseca a ambas diagonales, entonces este segmento de línea (la línea de Newton ) está en sí mismo atravesado por el centroide del vértice.

Bisectrices de volumen [ editar ]

Un plano que divide dos bordes opuestos de un tetraedro en una proporción dada también divide el volumen del tetraedro en la misma proporción. Por lo tanto, cualquier plano que contenga un bimediano (conector de los puntos medios de los bordes opuestos) de un tetraedro divide el volumen del tetraedro .

teorema de la bisectriz angular se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos en los que el lado de un triángulo se divide por una línea que divide el ángulo opuesto. Iguala sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.

En este diagrama, BD: DC = AB: AC.

Teorema [ editar ]

Considere un triángulo ABC . Deje que la bisectriz del ángulo de ángulo A de intersección lado BC en un punto D entre B y C . El teorema de la bisectriz angular indica que la relación entre la longitud del segmento de línea BD y la longitud del segmento DC es igual a la relación entre la longitud del lado AB y la longitud del lado AC :

$${\ displaystyle {\ frac {| BD |} {| DC |}} = {\ frac {| AB |} {| AC |}},}

y a la inversa , si un punto D en el lado BC de triángulo ABC divide BC en la misma proporción que los lados AB y AC , a continuación, AD es la bisectriz del ángulo de ángulo ∠ A .

El teorema de la bisectriz de ángulo generalizado establece que si D se encuentra en la línea BC , entonces

$${\ displaystyle {\ frac {| BD |} {| DC |}} = {\ frac {| AB | \ sin \ angle DAB} {| AC | \ sin \ angle DAC}}.}

Esto se reduce a la versión anterior si AD es la bisectriz de ∠ BAC . Cuando D es externo al segmento BC , se deben usar segmentos de línea dirigida y ángulos dirigidos en el cálculo.

El teorema de la bisectriz angular se usa comúnmente cuando se conocen las bisectrices angulares y las longitudes laterales. Se puede usar en un cálculo o en una prueba.

Una consecuencia inmediata del teorema es que la bisectriz angular del ángulo del vértice de un triángulo isósceles también bisecará el lado opuesto.

Pruebas [ editar ]

Prueba 1 [ editar ]

En el diagrama anterior, use la ley de los senos en los triángulos ABD y ACD :

$${\ displaystyle {\ frac {| AB |} {| BD |}} = {\ frac {\ sin \ angle BDA} {\ sin \ angle BAD}}}

( 1 )

$${\ displaystyle {\ frac {| AC |} {| DC |}} = {\ frac {\ sin \ angle ADC} {\ sin \ angle DAC}}}

( 2 )

Los ángulos ∠ BDA y ∠ ADC forman un par lineal, es decir, son ángulos suplementarios adyacentes . Como los ángulos suplementarios tienen senos iguales,

$${\ displaystyle {\ sin \ angle BDA} = {\ sin \ angle ADC}.}

Los ángulos ∠ BAD y ∠ DAC son iguales. Por lo tanto, los lados derechos de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) son iguales, por lo que sus lados izquierdos también deben ser iguales.

$${\ displaystyle {\ frac {| BD |} {| DC |}} = {\ frac {| AB |} {| AC |}},}

cuál es el teorema de la bisectriz angular.

Si los ángulos ∠ BAD y ∠ DAC son desiguales, las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) pueden reescribirse como:

$${\ displaystyle {{\ frac {| AB |} {| BD |}} \ sin \ angle \ BAD = \ sin \ angle BDA},}

$${\ displaystyle {{\ frac {| AC |} {| DC |}} \ sin \ angle \ DAC = \ sin \ angle ADC}.}

Los ángulos ∠ BDA y ∠ ADC siguen siendo suplementarios, por lo que los lados derechos de estas ecuaciones siguen siendo iguales, por lo que obtenemos:

$${\ displaystyle {{\ frac {| AB |} {| BD |}} \ sin \ angle \ BAD = {\ frac {| AC |} {| DC |}} \ sin \ angle \ DAC},}

que reorganiza a la versión "generalizada" del teorema.

Prueba 2 [ editar ]

Sea D un punto en la línea BC , no igual a B o C y de modo que AD no sea una altitud del triángulo ABC .

Deje B ₁ sea la base (pie) de la altitud en el triángulo ABD a través de B y deje C ₁ sea la base de la altitud en el triángulo ACD a través de C . Entonces, si D está estrictamente entre B y C , uno y solo uno de B ₁ o C _{1 se} encuentra dentro del triángulo ABC y podemos suponer sin pérdida de generalidad que B ₁ sí. Este caso se representa en el diagrama adyacente. Si D se encuentra fuera del segmento BC, entonces ni B ₁ ni C _{1 se} encuentran dentro del triángulo.

∠ DB ₁ B y ∠ DC ₁ C son ángulos rectos, mientras que los ángulos ∠ B ₁ DB y ∠ C ₁ DC son congruentes si D se encuentra en el segmento BC (es decir, entre B y C ) y son idénticos en el otro considerando los casos, por lo que los triángulos DB ₁ B y DC ₁ C son similares (AAA), lo que implica que

$${\ displaystyle {\ frac {| BD |} {| CD |}} = {\ frac {| BB_ {1} |} {| CC_ {1} |}} = {\ frac {| AB | \ sin \ angle MALO} {| AC | \ sin \ angle CAD}}.}

Si D es el pie de una altitud, entonces,

$${\ displaystyle {\ frac {| BD |} {| AB |}} = \ sin \ angle \ BAD {\ text {and}} {\ frac {| CD |} {| AC |}} = \ sin \ angle \ DAC,}

y la forma generalizada sigue.

Historia [ editar ]

El teorema de la bisectriz angular aparece como la Proposición 3 del Libro VI en los Elementos de Euclides . Según Heath (1956 , p. 197 (vol. 2)), la declaración correspondiente para una bisectriz angular externa fue dada por Robert Simson, quien afirmó que Pappus asumió este resultado sin pruebas. Heath continúa diciendo que Augustus De Morgan propuso que las dos declaraciones se combinaran de la siguiente manera:

Si el ángulo de un triángulo es atravesado interna o externamente por una línea recta que corta el lado opuesto o el lado opuesto producido, los segmentos de ese lado tendrán la misma relación que los otros lados del triángulo; y, si un lado de un triángulo se divide interna o externamente de modo que sus segmentos tengan la misma proporción que los otros lados del triángulo, la línea recta dibujada desde el punto de sección al punto angular que es opuesto al primer lado mencionado bisecará el ángulo interior o exterior en ese punto angular.

Bisectrices de ángulo exterior [ editar ]

bisectrices de ángulo exterior (punteadas en rojo): los
puntos D, E, F son colineales y se mantienen las siguientes ecuaciones para relaciones:
$${\ displaystyle {\ tfrac {| EB |} {| EC |}} = {\ tfrac {| AB |} {| AC |}}}, $${\ displaystyle {\ tfrac {| FB |} {| FA |}} = {\ tfrac {| CB |} {| CA |}}}, $${\ displaystyle {\ tfrac {| DA |} {| DC |}} = {\ tfrac {| BA |} {| BC |}}}

Para las bisectrices del ángulo exterior en un triángulo no equilátero existen ecuaciones similares para las proporciones de las longitudes de los lados del triángulo. Más precisamente si la bisectriz de ángulo exterior en$${\ displaystyle A} se cruza con el lado extendido $${\ displaystyle BC} en $${\ displaystyle E}, la bisectriz del ángulo exterior en $${\ displaystyle B} se cruza con el lado extendido $${\ displaystyle AC} en $${\ displaystyle D} y la bisectriz de ángulo exterior en $${\ displaystyle C} se cruza con el lado extendido $${\ displaystyle AB} en $${\ displaystyle F}, entonces se mantienen las siguientes ecuaciones: ^[1]

$${\ displaystyle {\ frac {| EB |} {| EC |}} = {\ frac {| AB |} {| AC |}}}, $${\ displaystyle {\ frac {| FB |} {| FA |}} = {\ frac {| CB |} {| CA |}}}, $${\ displaystyle {\ frac {| DA |} {| DC |}} = {\ frac {| BA |} {| BC |}}}

Los tres puntos de intersección entre las bisectrices del ángulo exterior y los lados del triángulo extendido $${\ displaystyle D}, $${\ displaystyle E} und $${\ displaystyle F}son colineales, es decir, se encuentran en una línea común.