LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

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Un triángulo heroniano con longitudes laterales c , e y b  +  d , y altura a , todos enteros.

Un triángulo entero o integral es un triángulo cuyos lados tienen longitudes que son enteros. Un triángulo racional se puede definir como uno que tiene todos los lados con longitud racional; Cualquier triángulo racional puede reescalarse integralmente (puede tener todos los lados multiplicados por el mismo número entero, es decir, un múltiplo común de sus denominadores) para obtener un triángulo entero, por lo que no hay una diferencia sustancial entre triángulos enteros y triángulos racionales en este sentido. Sin embargo, también existen otras definiciones del término "triángulo racional": en 1914 Carmichael ^[1] usó el término en el sentido de que hoy usamos el término triángulo de Heronia ; Somos ^[2]lo usa para referirse a triángulos cuyas relaciones de lados son racionales; Conway y Guy ^[3] definen un triángulo racional como uno con lados racionales y ángulos racionales medidos en grados, en cuyo caso el único triángulo racional es el triángulo equilátero de lados racionales.

Hay varias propiedades generales para un triángulo entero, dadas en la primera sección a continuación. Todas las demás secciones se refieren a clases de triángulos enteros con propiedades específicas.

Propiedades generales para un triángulo entero [ editar ]

Triángulos enteros con perímetro dado [ editar ]

Cualquier triple de enteros positivos puede servir como la longitud de los lados de un triángulo entero siempre que satisfaga la desigualdad del triángulo: el lado más largo es más corto que la suma de los otros dos lados. Cada uno de estos triples define un triángulo entero que es único hasta la congruencia. Entonces, el número de triángulos enteros (hasta congruencia) con el perímetro p es el número de particiones de p en tres partes positivas que satisfacen la desigualdad del triángulo. Este es el número entero más cercano a ^p 2 / ₄₈ cuando p es par y para ^{( p + 3) 2} / ₄₈ cuando p es impar. ^[4][5] También significa que el número de triángulos enteros con perímetros pares p  = 2 n es el mismo que el número de triángulos enteros con perímetros impares p  = 2 n  - 3. Por lo tanto, no hay triángulo entero con el perímetro 1, 2 o 4, uno con el perímetro 3, 5, 6 u 8, y dos con el perímetro 7 o 10. La secuencia del número de triángulos enteros con el perímetro p , comenzando en p = 1, es:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (secuencia A005044 en el OEIS )

Triángulos enteros con el lado más grande dado [ editar ]

El número de triángulos enteros (hasta congruencia) con el lado más grande dado c y el triple entero ( a ,  b ,  c ) es el número de triples enteros de manera que a  +  b  >  c y a  ≤  b  ≤  c . Este es el valor entero de techo [ ^{( c  + 1)} / ₂ ] * Planta [ ^{( c  + 1)} / ₂ ]. ^[4]  Alternativamente, para c incluso que es el doble número triangular ^c / ₂( ^C / ₂  + 1) y para c impar es el cuadrado ^{( c  + 1) 2} / ₄ . También significa que el número de triángulos enteros con el lado más grande c excede el número de triángulos enteros con el lado más grande c −2 por c . La secuencia del número de triángulos enteros no congruentes con el lado más grande c , que comienza en c  = 1, es:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (secuencia A002620 en el OEIS )

El número de triángulos enteros (hasta congruencia) con el lado más grande dado c y el triple entero ( a ,  b ,  c ) que se encuentran en o dentro de un semicírculo de diámetro c es el número de triples enteros de manera que a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² y a  ≤  b  ≤  c . Este es también el número de triángulos obtusos o rectos (no agudos) de lados enteros con el lado más grande c . La secuencia que comienza en c  = 1, es:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (secuencia A236384 en el OEIS )

En consecuencia, la diferencia entre las dos secuencias anteriores da el número de triángulos agudos de lados enteros (hasta congruencia) con el lado más grande dado c . La secuencia que comienza en c  = 1, es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (secuencia A247588 en el OEIS )

Área de un triángulo entero [ editar ]

Por la fórmula de Heron , si T es el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes a , b , y c entonces

$${\ displaystyle 4T = {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c)}}.}

Dado que todos los términos debajo del radical en el lado derecho de la fórmula son enteros, se deduce que todos los triángulos enteros deben tener un valor entero de 16T ² y T ² será racional.

Ángulos de un triángulo entero [ editar ]

Según la ley de los cosenos , cada ángulo de un triángulo entero tiene un coseno racional .

Si los ángulos de cualquier triángulo forman una progresión aritmética, entonces uno de sus ángulos debe ser 60 °. ^[6] Para los triángulos enteros, los ángulos restantes también deben tener cosenos racionales y a continuación se proporciona un método para generar tales triángulos. Sin embargo, aparte del caso trivial de un triángulo equilátero, no hay triángulos enteros cuyos ángulos formen una progresión geométrica o armónica. Esto es porque tales ángulos tienen que ser ángulos racionales de la forma ^πp / _q con racional 0 < ^p / _q <1 .="" cosenos="" cuando="" de="" deben="" embargo="" enteros="" esto="" font="" lo="" los="" nbsp="" ngulos="" ocurrir="" racionales="" s="" sin="" tener="" todos="" tri="" y="">^p / _q  = ¹ / ₃  ^[7]: p.2 es decir, el triángulo entero es equilátero.

El cuadrado de cada bisectriz de ángulo interno de un triángulo entero es racional, porque la fórmula general del triángulo para la bisectriz de ángulo interno del ángulo A es$${\ displaystyle {\ tfrac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}donde s es el semiperímetro (e igualmente para las bisectrices de los otros ángulos).

Lado dividido por una altitud [ editar ]

Cualquier altitud caída desde un vértice a un lado opuesto o su extensión dividirá ese lado o su extensión en longitudes racionales.

Medianas [ editar ]

El cuadrado de dos veces cualquier mediana de un triángulo entero es un entero, porque la fórmula general para la mediana al cuadrado m _a ² al lado a es$${\ displaystyle {\ tfrac {(2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2})} {4}}}, dando (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  -  a ² (y lo mismo para las medianas a los otros lados).

Circunradio e inradio [ editar ]

Debido a que el cuadrado del área de un triángulo entero es racional, el cuadrado de su circunradio también es racional, como lo es el cuadrado del inradius .

La razón del radio inradio al circunradio de un triángulo entero es racional, igualando $${\ displaystyle {\ tfrac {4T ^ {2}} {sabc}}}para semiperímetro s y zona T .

El producto del inradius y el circumradius de un triángulo entero es racional, igualando $${\ displaystyle {\ tfrac {abc} {2 (a + b + c)}}.}

Por lo tanto, la distancia al cuadrado entre el incentro y el circuncentro de un triángulo entero, dada por el teorema de Euler como R ² −2Rr , es racional.

Triángulos heronianos [ editar ]

Artículo principal: triángulo heroniano

Todos los triángulos heronianos se pueden colocar en una red con cada vértice en un punto de red. ^[8]

Fórmula general [ editar ]

Un triángulo heroniano, también conocido como un triángulo Heron o un triángulo Hero , es un triángulo con lados enteros y área entera. Cada triángulo heroniano tiene lados proporcionales a ^[9]

$${\ displaystyle a = n (m ^ {2} + k ^ {2}) \,}

$${\ displaystyle b = m (n ^ {2} + k ^ {2}) \,}

$${\ displaystyle c = (m + n) (mn-k ^ {2}) \,}

$${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = mn (m + n) \,}

$${\ displaystyle {\ text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2}) \,}

para enteros m , n y k sujetos a las restricciones:

$${\ displaystyle \ gcd {(m, n, k)} = 1 \,}

{\ displaystyle mn> k ^ {2} \ geq m ^ {2} n / (2m + n) \,}

$${\ displaystyle m \ geq n \ geq 1 \,}.

El factor de proporcionalidad es generalmente un factor racional.  $${\ displaystyle {\ frac {p} {q}}}  dónde  $${\ displaystyle q = \ gcd {(a, b, c)}}  reduce el triángulo heronio generado a su primitivo y  $${\ displaystyle p}  escala esta primitiva al tamaño requerido.

Triángulos pitagóricos [ editar ]

Artículo principal: triple pitagórico

Un triángulo pitagórico está en ángulo recto y heronio. Sus tres lados enteros se conocen como una de Pitágoras triples o de Pitágoras triplete o de Pitágoras tríada . ^[10] Todos los triples pitagóricos$${\ displaystyle (a, b, c)} con hipotenusa $${\ displaystyle c}que son primitivos (los lados que no tienen un factor común) pueden ser generados por

$${\ displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle b = 2mn, \,}

$${\ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = m (m + n) \,}

$${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) \,}

donde m y n son coprimas enteros y uno de ellos es incluso con m  >  n .

Cada número par mayor que 2 puede ser la pata de un triángulo pitagórico (no necesariamente primitivo) porque si la pata viene dada por $${\ displaystyle a = 2m} y elegimos $${\ displaystyle b = (a / 2) ^ {2} -1 = m ^ {2} -1} como la otra pierna, entonces la hipotenusa es $${\ displaystyle c = m ^ {2} +1}. ^[11] Esta es esencialmente la fórmula de generación anterior con$${\ displaystyle n} puesto a 1 y permitiendo $${\ displaystyle m} para variar de 2 a infinito.

Triángulos pitagóricos con altitud entera desde la hipotenusa [ editar ]

No hay triángulos pitagóricos primitivos con altitud entera desde la hipotenusa. Esto se debe a que dos veces el área es igual a cualquier base por la altura correspondiente: 2 veces el área es igual a ab y cd donde d es la altura de la hipotenusa c . Los tres longitudes de los lados de un triángulo primitiva son primos entre sí, por lo que d  = ^ab / _c está en forma completamente reducida; como c no puede ser igual a 1 para ningún triángulo pitagórico primitivo, d no puede ser un número entero.

Sin embargo, cualquier triángulo pitagórico con patas x ,  y e hipotenusa z puede generar un triángulo pitagórico con una altitud entera, escalando los lados por la longitud de la hipotenusa z . Si d es la altitud, entonces el triángulo pitagórico generado con altitud entera está dado por ^[12]

$${\ displaystyle (a, b, c, d) = (xz, yz, z ^ {2}, xy). \,}

En consecuencia, todos los triángulos pitagóricos con patas a y b , hipotenusa c y altitud entera d de la hipotenusa, con mcd ( a, b, c, d ) = 1, que necesariamente tienen tanto a ²  +  b ²  = c ² como$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {b ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {d ^ {2}}}}, son generados por ^[13] [12]

$${\ displaystyle a = (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}

$${\ displaystyle b = 2mn (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}

$${\ displaystyle c = (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle d = 2mn (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}

$${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = m (m + n) (m ^ {2} + n ^ {2}) \,}

$${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2} \,}

para enteros coprimos m , n con m  >  n .

Triángulos heronios con lados en progresión aritmética [ editar ]

Un triángulo con lados enteros y área entera tiene lados en progresión aritmética si y solo si ^[14] los lados son ( b - d , b , b + d ), donde

$${\ displaystyle b = 2 (m ^ {2} + 3n ^ {2}) / g, \,}

$${\ displaystyle d = (m ^ {2} -3n ^ {2}) / g, \,}

y donde g es el mayor divisor común de$${\ displaystyle m ^ {2} -3n ^ {2},} $${\ displaystyle 2mn}y $${\ displaystyle m ^ {2} + 3n ^ {2}.}

Triángulos heronios con un ángulo igual a dos veces otro [ editar ]

Todos los triángulos Heronian con B = 2A son generados por ^[15] ya sea

$${\ displaystyle a = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2}} {4}}, \,}

$${\ displaystyle b = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {4} -r ^ {4})} {2}}, \,}

$${\ displaystyle c = {\ tfrac {k ^ {2} (3s ^ {4} -10s ^ {2} r ^ {2} + 3r ^ {4})} {4}} \,}

$${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {k ^ {2} csr (s ^ {2} -r ^ {2})} {2}} \,}

con enteros k , s , r tal que s ² > 3 r ² , o

$${\ displaystyle a = {\ tfrac {q ^ {2} (u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}} {4}} \,},

$${\ displaystyle b = q ^ {2} uv (u ^ {2} + v ^ {2}) \,},

$${\ displaystyle c = {\ tfrac {q ^ {2} (14u ^ {2} v ^ {2} -u ^ {4} -v ^ {4})} {4}} \,},

$${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {q ^ {2} cuv (v ^ {2} -u ^ {2})} {2}} \,},

con enteros q , u , v de modo que v > u y v ² <(7 + 4 √ 3 ) u ² .

Los triángulos heronios con B  = 2 A son isósceles o triángulos rectángulos porque todas las combinaciones de ángulos resultantes generan ángulos con senos no racionales, dando un área o lado no racional.

Triángulos isonceles heronianos [ editar ]

Todos los triángulos isósceles heronianos son descomponibles. Se forman uniendo dos triángulos pitagóricos congruentes a lo largo de cualquiera de sus patas comunes, de modo que los lados iguales del triángulo isósceles son las hipotenos de los triángulos pitagóricos, y la base del triángulo isósceles es el doble de la otra pata pitagórica. En consecuencia, cada triángulo pitagórico es el bloque de construcción de dos triángulos isósceles heronianos, ya que la unión puede estar a lo largo de cualquier pata. Todos los pares de triángulos isósceles heronianos están dados por múltiplos racionales de ^[16]

$${\ displaystyle a = 2 (u ^ {2} -v ^ {2}),}

$${\ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}

$${\ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}

y

$${\ displaystyle a = 4uv,}

$${\ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}

$${\ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}

para números enteros coprime u y v con u > v y u + v impar.

Triángulos heronios cuyo perímetro es cuatro veces primo [ editar ]

Se ha demostrado que un triángulo heroniano cuyo perímetro es cuatro veces un primo está asociado únicamente con el primo y que el primo tiene la forma $${\ displaystyle 1 {\ text {or}} 3 {\ text {mod}} 8}. ^[17] [18] Es bien sabido que tal primer$${\ displaystyle p} se puede dividir únicamente en enteros $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n} tal que $${\ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}(Ver los números idoneales de Euler ). Además, se ha demostrado que tales triángulos heronianos son primitivos ya que el lado más pequeño del triángulo tiene que ser igual al primo que es un cuarto de su perímetro.

En consecuencia, todos los triángulos heronios primitivos cuyo perímetro es cuatro veces un primo pueden ser generados por

$${\ displaystyle a = m ^ {2} + 2n ^ {2}}

$${\ displaystyle b = m ^ {2} + 4n ^ {2}}

$${\ displaystyle c = 2 (m ^ {2} + n ^ {2})}

$${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = 2a = 2 (m ^ {2} + 2n ^ {2})}

$${\ displaystyle {\ text {Area}} = 2mn (m ^ {2} + 2n ^ {2})}

para enteros $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n} tal que $${\ displaystyle m ^ {2} + 2n ^ {2}} es primo

Además, la factorización del área es $${\ displaystyle 2mnp} dónde $${\ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}es primo Sin embargo, el área de un triángulo heroniano siempre es divisible por$${\ displaystyle 6}. Esto da el resultado de que, aparte de cuando$${\ displaystyle m = 1} y $${\ displaystyle n = 1,} lo que da $${\ displaystyle p = 3,} todas las demás combinaciones de $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n} debe tener $${\ displaystyle m} extraño con solo uno de ellos divisible por $${\ displaystyle 3}.

Triángulos heronios con enteros inradius y exradii [ editar ]

Hay infinitamente muchos triángulos primitivos heronianos (no pitagóricos) descomponibles e infinitamente descomponibles, primitivos, con radios enteros para el círculo y cada círculo . ^{[19] : Thms. 3 y 4} Una familia de descomponibles viene dada por

$${\ displaystyle a = 4n ^ {2}, \ quad \ quad b = (2n + 1) (2n ^ {2} -2n + 1), \ quad \ quad c = (2n-1) (2n ^ {2 } + 2n + 1),}

$${\ displaystyle r = 2n-1, \ quad \ quad r_ {a} = 2n + 1, \ quad \ quad r_ {b} = 2n ^ {2}, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text { Área}} = 2n ^ {2} (2n-1) (2n + 1);}

y una familia de indescomponibles viene dada por

$${\ displaystyle a = 5 (5n ^ {2} + n-1), \ quad \ quad b = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1), \ quad \ quad c = (5n- 2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}

$${\ displaystyle r = 5n-2, \ quad \ quad r_ {a} = 5n + 3, \ quad \ quad r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text {Area}} = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}

Triángulos heronianos como caras de un tetraedro [ editar ]

Existen tetraedros que tienen un volumen de valores enteros y triángulos de Garza como caras . Un ejemplo tiene un borde de 896, el borde opuesto de 190 y los otros cuatro bordes de 1073; dos caras tienen áreas de 436800 y las otras dos tienen áreas de 47120, mientras que el volumen es 62092800. ^{[20] : p.107}

Triángulos heronios en una red 2D [ editar ]

Una red 2D es una matriz regular de puntos aislados en los que si se elige un punto como origen cartesiano (0, 0), todos los demás puntos están en ( x, y ) donde x e y se extienden sobre todos los enteros positivos y negativos . Un triángulo reticular es cualquier triángulo dibujado dentro de una retícula 2D de tal manera que todos los vértices se encuentran en puntos reticulados. Según el teorema de Pick, un triángulo reticular tiene un área racional que es un número entero o tiene un denominador de 2. Si el triángulo reticular tiene lados enteros, entonces es Heronio con área entera. ^[21]

Además, se ha demostrado que todos los triángulos heronianos se pueden dibujar como triángulos reticulados. ^[22] [23] En consecuencia, un triángulo entero es Heronio si y solo si se puede dibujar como un triángulo reticular.

Hay infinitos triángulos primarios heronianos (no pitagóricos) que se pueden colocar en una red entera con todos los vértices, el incentro y los tres excedentes en los puntos de la red. Dos familias de tales triángulos son las que tienen parametrizaciones dadas arriba en # triángulos heronianos con enteros inradius y exradii . ^{[19] : Thm. 5 5}

Triángulos enteros automedianos [ editar ]

Artículo principal: Triángulo de Automedian

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones (en el orden opuesto) que los lados. Si x , y , y z son los tres lados de un triángulo rectángulo, ordenados en orden creciente por tamaño, y si 2 x  <  z , entonces z , x  +  y , y y  -  x son los tres lados de un triángulo automediano. Por ejemplo, el triángulo rectángulo con las longitudes laterales 5, 12 y 13 se puede usar de esta manera para formar el triángulo automediano entero no trivial (es decir, no equilátero ) más pequeño, con las longitudes laterales 13, 17 y 7. ^{[ 24]}

En consecuencia, utilizando la fórmula de Euclides , que genera triángulos pitagóricos primitivos, es posible generar triángulos automedianos enteros primitivos como

$${\ displaystyle a = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}

$${\ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}

$${\ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}

con $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n} coprime y $${\ displaystyle m + n} extraño y {\ displaystyle n   (si la cantidad dentro de los signos de valor absoluto es negativa) o  {\ displaystyle m> (2 + {\ sqrt {3}}) n}(si esa cantidad es positiva) para satisfacer la desigualdad del triángulo .

Una característica importante del triángulo automediano es que los cuadrados de sus lados forman una progresión aritmética . Específicamente,$${\ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} -c ^ {2}} entonces $${\ displaystyle 2c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}.

Triángulos enteros con propiedades de ángulo específicas [ editar ]

Triángulos enteros con una bisectriz de ángulo racional [ editar ]

Una familia triangular con lados enteros $${\ displaystyle a, b, c} y con bisectriz racional $${\ displaystyle d}del ángulo A viene dado por ^[25]

$${\ displaystyle a = 2 (k ^ {2} -m ^ {2}), \,}

$${\ displaystyle b = (km) ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle c = (k + m) ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle d = {\ tfrac {2km (k ^ {2} -m ^ {2})} {k ^ {2} + m ^ {2}}}, \,}

con enteros {\ displaystyle k> m> 0}.

Triángulos enteros con n- sectores enteros de todos los ángulos [ editar ]

Existen infinitos triángulos no similares en los que los tres lados y las bisectrices de cada uno de los tres ángulos son enteros. ^[26]

Existen infinitos triángulos no similares en los que los tres lados y los dos trisectores de cada uno de los tres ángulos son enteros. ^[26]

Sin embargo, para n > 3 no existen triángulos en los que los tres lados y los ( n –1) n- sectores de cada uno de los tres ángulos sean enteros. ^[26]

Triángulos enteros con un ángulo con un coseno racional dado [ editar ]

Algunos triángulos enteros con un ángulo en el vértice A que han dado coseno racional h / k ( h <0 o=""> 0; k > 0) están dados por ^[27]

$${\ displaystyle a = p ^ {2} -2pqh + q ^ {2} k ^ {2},}

$${\ displaystyle b = p ^ {2} -q ^ {2} k ^ {2},}

$${\ displaystyle c = 2qk (p-qh),}

donde p y q son números enteros positivos cualesquiera coprimas tal que p> QK .

Triángulos enteros con un ángulo de 60 ° (ángulos en progresión aritmética) [ editar ]

Todos los triángulos enteros con un ángulo de 60 ° tienen sus ángulos en una progresión aritmética. Todos esos triángulos son proporcionales a: ^[6]

$${\ displaystyle a = 4mn \,}

$${\ displaystyle b = 3m ^ {2} + n ^ {2} \,}

$${\ displaystyle c = 2mn + | 3m ^ {2} -n ^ {2} | \,}

con números coprimos m , n y 1 ≤  n  ≤  m o 3 m  ≤  n . Desde aquí, todas las soluciones primitivas pueden obtenerse dividiendo una , b , y c por su máximo común divisor.

Los triángulos enteros con un ángulo de 60 ° también se pueden generar mediante ^[28]

$${\ displaystyle a = m ^ {2} -mn + n ^ {2} \,}

$${\ displaystyle b = 2mn-n ^ {2} \,}

$${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2} \,}

con números coprimos m , n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 60 ° es opuesto al lado de la longitud a ). A partir de aquí, todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c entre su máximo divisor común (por ejemplo, una solución de triángulo equilátero se obtiene tomando m = 2 yn = 1, pero esto produce a = b = c = 3 , que no es una solución primitiva). Ver también ^[29] [30]

Más precisamente, si $${\ displaystyle m = -n \ (mod \ 3)}, luego $${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}de lo contrario $${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}. Dos pares diferentes$${\ displaystyle (m, n)} y $${\ displaystyle (m, mn)}generar el mismo triple. Desafortunadamente, los dos pares pueden ser de gcd = 3, por lo que no podemos evitar duplicados simplemente omitiendo ese caso. En cambio, los duplicados se pueden evitar mediante$${\ displaystyle n} yendo solo hasta $${\ displaystyle m / 2}. Todavía necesitamos dividir por 3 si gcd = 3. La única solución para$${\ displaystyle n = m / 2} bajo las restricciones anteriores es $${\ displaystyle (3,3,3) \ equiv (1,1,1)} para $${\ displaystyle m = 2, n = 1}. Con este adicional$${\ displaystyle n \ leq m / 2} restricción todos los triples se pueden generar de forma única.

Un triple de Eisenstein es un conjunto de enteros que son las longitudes de los lados de un triángulo donde uno de los ángulos es de 60 grados.

Triángulos enteros con un ángulo de 120 ° [ editar ]

Los triángulos enteros con un ángulo de 120 ° se pueden generar por ^[31]

$${\ displaystyle a = m ^ {2} + mn + n ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle b = 2mn + n ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2} \,}

con números coprimos m ,  n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 120 ° es opuesto al lado de la longitud a ). Desde aquí, todas las soluciones primitivas pueden obtenerse dividiendo una , b , y c por su máximo común divisor (por ejemplo, mediante la adopción de m = 4 y n = 1, se obtiene un = 21, b = 9 y c = 15, que es no es una solución primitiva, sino que conduce a la solución primitiva a = 7, b = 3 y c = 5 que, hasta el orden, se puede obtener con los valoresm = 2 yn = 1). Ver también. ^[29] [30]

Más precisamente, si $${\ displaystyle m = n \ (mod \ 3)}, luego $${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}de lo contrario $${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}. Dado que el lado más grande a solo se puede generar con un solo$${\ displaystyle (m, n)}par, cada triple primitivo se puede generar precisamente de dos maneras: una vez directamente con gcd = 1, y una vez indirectamente con gcd = 3. Por lo tanto, para generar todos los triples primitivos de forma única, uno puede agregar más$${\ displaystyle m \ neq n \ (mod \ 3)} condición.

Triángulos enteros con un ángulo igual a un número racional arbitrario multiplicado por otro ángulo [ editar ]

Para los enteros primos relativamente positivos h y k , el triángulo con los siguientes lados tiene ángulos$${\ displaystyle h \ alpha}, $${\ displaystyle k \ alpha}y $${\ displaystyle \ pi - (h + k) \ alpha}y, por lo tanto, dos ángulos en la relación h: k , y sus lados son enteros: ^[32]

$${\ displaystyle a = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin h \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {k} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {h-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h} {2i + 1}} p ^ {h-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}

$${\ displaystyle b = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin k \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {h} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {k} {2i + 1}} p ^ {k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}

$${\ displaystyle c = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin (h + k) \ alpha} {\ sin \ alpha}} = \ sum _ {0 \ leq i \ leq {\ frac { h + k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h + k} {2i + 1}} p ^ {h + k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}

dónde $${\ displaystyle \ alpha = \ cos ^ {- 1} {\ frac {p} {q}}}y p y q son enteros relativamente primos tales que{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {h + k}} <{\ frac {p} {q}} <1 font="">.

Triángulos enteros con un ángulo igual a dos veces otro [ editar ]

Con ángulo A lado opuesto $${\ displaystyle a} y ángulo B lado opuesto $${\ displaystyle b}, algunos triángulos con B = 2A son generados por ^[33]

$${\ displaystyle a = n ^ {2}, \,}

$${\ displaystyle b = mn \,}

$${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2}, \,}

con enteros m , n tal que 0 <  n  <  m  <2 font="" nbsp="">n .

Todos los triángulos con B  = 2 A (sean enteros o no) tienen ^[34] $${\ displaystyle a (a + c) = b ^ {2}}.

Triángulos enteros con un ángulo igual a 3/2 veces otro [ editar ]

La clase de equivalencia de triángulos similares con $${\ displaystyle \ B = {\ tfrac {3} {2}} A}son generados por ^[33]

$${\ displaystyle a = mn ^ {3}, \,}

$${\ displaystyle b = n ^ {2} (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}

$${\ displaystyle c = (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2} -m ^ {2} n ^ {2}, \,}

con enteros $${\ displaystyle \ m, n} tal que {\ displaystyle \ 0 <\ varphi n , dónde $${\ displaystyle \ \ varphi}es la proporción áurea $${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ aprox 1.61803}.

Todos los triángulos con $${\ displaystyle \ B = {\ tfrac {3} {2}} A} (ya sea con lados enteros o no) satisfacer $${\ displaystyle \ (b ^ {2} -a ^ {2}) (b ^ {2} -a ^ {2} + bc) = a ^ {2} c ^ {2}}.

Triángulos enteros con un ángulo tres veces otro [ editar ]

Podemos generar la clase de equivalencia completa de triángulos similares que satisfagan B = 3A usando las fórmulas ^[35]

$${\ displaystyle a = n ^ {3}, \,}

$${\ displaystyle b = n (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}

$${\ displaystyle c = m (m ^ {2} -2n ^ {2}), \,}

dónde $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n} son enteros tales que {\ displaystyle {\ sqrt {2}} n .

Todos los triángulos con B = 3A (ya sea con lados enteros o no) satisfacen $${\ displaystyle ac ^ {2} = (ba) ^ {2} (b + a)}.

Triángulos enteros con tres ángulos racionales [ editar ]

El único triángulo entero con tres ángulos racionales (números racionales de grados, o fracciones equivalentemente racionales de una vuelta completa) es el triángulo equilátero . ^[3] Esto se debe a que los lados enteros implican tres cosenos racionales según la ley de los cosenos , y según el teorema de Niven, un coseno racional coincide con un ángulo racional si y solo si el coseno es igual a 0, ± 1/2 o ± 1. Los únicos que dan un ángulo estrictamente entre 0 ° y 180 ° son el valor del coseno 1/2 con el ángulo 60 °, el valor del coseno –1/2 con el ángulo 120 ° y el valor del coseno 0 con el ángulo 90 °. La única combinación de tres de estos, que permite el uso múltiple de cualquiera de ellos y suma 180 °, es tres ángulos de 60 °.

Triángulos enteros con una relación entera de circunradio a inradio [ editar ]

Las condiciones se conocen en términos de curvas elípticas para que un triángulo entero tenga una relación entera N del circunradio al inradio . ^[36] [37] El caso más pequeño, el del triángulo equilátero , tiene N = 2. En todos los casos conocidos, N ≡ 2 (mod 8), es decir, N –2 es divisible por 8.

5-Con pares de triángulos [ editar ]

Artículo principal: triángulos 5-Con

Un par de triángulos 5-Con es un par de triángulos que son similares pero no congruentes y que comparten tres ángulos y dos longitudes laterales. Los primitivos triángulos enteros 5-Con, en los que los cuatro lados enteros distintos (dos lados que aparecen cada uno en ambos triángulos y otro lado en cada triángulo) no comparten factor primo, tienen triples de lados

$${\ displaystyle (x ^ {3}, x ^ {2} y, xy ^ {2})} y $${\ displaystyle (x ^ {2} y, xy ^ {2}, y ^ {3})}

para enteros coprimos positivos x e y . El ejemplo más pequeño es el par (8, 12, 18), (12, 18, 27), generado por x = 2, y = 3.

Triángulos enteros particulares [ editar ]

• El único triángulo con enteros consecutivos para lados y área tiene lados (3, 4, 5) y área 6.
• El único triángulo con enteros consecutivos para una altitud y los lados tiene lados (13, 14, 15) y una altitud desde el lado 14 igual a 12.
• El triángulo (2, 3, 4) y sus múltiplos son los únicos triángulos con lados enteros en progresión aritmética y que tienen la propiedad de ángulo exterior complementario. ^{[38] [39] [40]} Esta propiedad indica que si el ángulo C es obtuso y si un segmento se cae de B y se encuentra perpendicularmente AC extendido en P, entonces ∠CAB = 2∠CBP.
• El triángulo (3, 4, 5) y sus múltiplos son los únicos triángulos rectángulos enteros que tienen lados en progresión aritmética ^[40]
• El triángulo (4, 5, 6) y sus múltiplos son los únicos triángulos con un ángulo que es dos veces otro y tiene lados enteros en progresión aritmética. ^[40]
• El triángulo (3, 5, 7) y sus múltiplos son los únicos triángulos con un ángulo de 120 ° y que tienen lados enteros en progresión aritmética. ^[40]
• El único triángulo entero con área = semiperímetro ^[41] tiene lados (3, 4, 5).
• Los únicos triángulos enteros con área = perímetro tienen lados ^[41] [42] (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) y ( 9, 10, 17). De estos, los dos primeros, pero no los últimos tres, son triángulos rectángulos.
• Existen triángulos enteros con tres medianas racionales . ^{[10] : pág. 64} El más pequeño tiene lados (68, 85, 87). Otros incluyen (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) y (327, 386, 409).
• No hay triángulos pitagóricos isósceles. ^[dieciséis]
• Los únicos triángulos pitagóricos primitivos para los cuales el cuadrado del perímetro es igual a un múltiplo entero del área son (3, 4, 5) con el perímetro 12 y el área 6 y con una relación de perímetro cuadrado al área de 24; (5, 12, 13) con el perímetro 30 y el área 30 y con una relación del perímetro cuadrado al área de 30; y (9, 40, 41) con el perímetro 90 y el área 180 y con una relación del perímetro cuadrado al área de 45. ^[43]
• Existe un par único (hasta similitud) de un triángulo rectángulo racional y un triángulo isósceles racional que tienen el mismo perímetro y la misma área. El par único consiste en el triángulo (377, 135, 352) y el triángulo (366, 366, 132). ^[44] No hay un par de tales triángulos si también se requiere que los triángulos sean triángulos integrales primitivos.