LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

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Ejemplo de inellipse

En geometría de triángulo , un inellipse es una elipse que toca los tres lados de un triángulo . El ejemplo más simple es el incircle . Otros inellipses importantes son el inellipse Steiner , que toca el triángulo en los puntos medios de sus lados, el inellipse Mandart y el inellipse Brocard (ver ejemplos de sección ). Para cualquier triángulo existe un número infinito de inellipses.

El inellipse Steiner juega un papel especial: su área es la más grande de todas las inellipses.

Debido a que una sección cónica no degenerada está determinada únicamente por cinco vértices y tangentes, en un triángulo a cuyos tres vértices se les da uno solo se pueden especificar los puntos de contacto en dos lados. El tercer punto de contacto se determina entonces de manera única.

Representaciones paramétricas, centro, diámetros conjugados [ editar ]

Un inelipse de un triángulo está determinado únicamente por los vértices del triángulo y dos puntos de contacto. $${\ displaystyle U, V}.

El inellipse del triángulo con vértices.

$${\ displaystyle O = (0,0), \; A = (a_ {1}, a_ {2}), \; B = (b_ {1}, b_ {2})}

y puntos de contacto

$${\ displaystyle U = (u_ {1}, u_ {2}), \; V = (v_ {1}, v_ {2})}

en $${\ displaystyle OA} y $${\ displaystyle OB}respectivamente puede ser descrito por la representación paramétrica racional

• {\ displaystyle \ left ({\ frac {4u_ {1} \ xi ^ {2} + v_ {1} ab} {4 \ xi ^ {2} +4 \ xi + ab}}, {\ frac {4u_ { 2} \ xi ^ {2} + v_ {2} ab} {4 \ xi ^ {2} +4 \ xi + ab}} \ right) \, \ - \ infty <\ xi <\ infty \,}

dónde $${\ displaystyle a, b} están determinados únicamente por la elección de los puntos de contacto:

{\ displaystyle a = {\ frac {1} {s-1}}, \ u_ {i} = sa_ {i}, \ quad b = {\ frac {1} {t-1}}, \ v_ {i } = tb_ {i} \;, \ 0

El tercer punto de contacto es

$${\ displaystyle W = \ left ({\ frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 2}} \;, \; {\ frac {u_ {2} a + v_ {2 } b} {a + b + 2}} \ right) \ ;.}

El centro del inellipse es

$${\ displaystyle M = {\ frac {ab} {ab-1}} \ left ({\ frac {u_ {1} + v_ {1}} {2}}, {\ frac {u_ {2} + v_ { 2}} {2}} \ right) \ ;.}

Los vectores

$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt {ab}} {ab-1}} \; (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2})}

$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {ab} {ab-1}}} \; (u_ {1} -v_ {1}, u_ {2} -v_ {2}) \;}

son dos medios diámetros conjugados y el inelipse tiene la representación paramétrica trigonométrica más común

• $${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {OM}} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos \ varphi + {\ vec {f}} _ {2} \ sin \ varphi \ ;.}

Punto de Brianchon $${\ displaystyle K}

El punto de Brianchon del inellipse (punto común$${\ displaystyle K} de las lineas $${\ displaystyle {\ overline {AV}}, {\ overline {BU}}, {\ overline {OW}}}) es

$${\ displaystyle K: \ left ({\ frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 1}} \;, \; {\ frac {u_ {2} a + v_ {2 } b} {a + b + 1}} \ right) \.}

Variar $${\ displaystyle s, t} es una opción fácil para prescribir los dos puntos de contacto $${\ displaystyle U, V}. Los límites dados para$${\ displaystyle s, t}garantice que los puntos de contacto estén ubicados a los lados del triángulo. Proporcionan para$${\ displaystyle a, b} los límites {\ displaystyle - \ infty .

Observación: los parámetros$${\ displaystyle a, b} no son los semiejes del inellipse ni las longitudes de dos lados.

Ejemplos [ editar ]

Mandart inellipse

Steiner inellipse [ editar ]

por $${\ displaystyle s = t = {\ tfrac {1} {2}}} los puntos de contacto $${\ displaystyle U, V, W}son los puntos medios de los lados y el inellipse es el inellipse de Steiner (su centro es el centroide del triángulo).

Incircle [ editar ]

por $${\ displaystyle s = {\ tfrac {| OA | + | OB | - | AB |} {2 | OA |}}, \; t = {\ tfrac {| OA | + | OB | - | AB |} { 2 | OB |}}} uno obtiene el círculo del triángulo con el centro

$${\ displaystyle {\ vec {OM}} = {\ frac {| OB | {\ vec {OA}} + | OA | {\ vec {OB}}} {| OA | + | OB | + | AB |} } \ ;.}

Mandart inellipse [ editar ]

por $${\ displaystyle s = {\ tfrac {| OA | - | OB | + | AB |} {2 | OA |}}, \; t = {\ tfrac {- | OA | + | OB | + | AB |} {2 | OB |}}} el inellipse es el inelipse Mandart del triángulo. Toca los lados en los puntos de contacto de los círculos (ver diagrama).

Brocard inellipse

Brocard inellipse [ editar ]

por $${\ displaystyle \ s = {\ tfrac {| OB | ^ {2}} {| OB | ^ {2} + | AB | ^ {2}}} \;, \ quad t = {\ tfrac {| OA | ^ {2}} {| OA | ^ {2} + | AB | ^ {2}}} \;} uno recibe el inellipse Brocard . Está determinado únicamente por su punto Brianchon dado en coordenadas trilineales. $${\ displaystyle \ K: (| OB |: | OA |: | AB |) \}.

Derivaciones de las declaraciones [ editar ]

Determinación del inellipse resolviendo el problema de una hipérbola en un $${\ displaystyle \ xi}-$${\ displaystyle \ eta}-plane y una transformación adicional de la solución en el plano x - y . $${\ displaystyle M} es el centro del inellipse buscado y $${\ displaystyle D_ {1} D_ {2}, \; E_ {1} E_ {2}}Dos diámetros conjugados. En ambos planos, los puntos esenciales se asignan con los mismos símbolos.$${\ displaystyle g _ {\ infty}}es la línea en el infinito del plano x - y .

Nuevas coordenadas

Para la prueba de las declaraciones, uno considera la tarea proyectivamente e introduce un nuevo inhomogene conveniente$${\ displaystyle \ xi}-$${\ displaystyle \ eta}-coordina de modo que la sección cónica deseada aparezca como una hipérbola y los puntos$${\ displaystyle U, V}se convierten en los puntos en el infinito de los nuevos ejes de coordenadas. Los puntos$${\ displaystyle A = (a_ {1}, a_ {2}), \; B = (b_ {1}, b_ {2})} será descrito en el nuevo sistema de coordenadas por $${\ displaystyle A = [a, 0], B = [0, b]} y la línea correspondiente tiene la ecuación $${\ displaystyle {\ frac {\ xi} {a}} + {\ frac {\ eta} {b}} = 1}. (A continuación resultará que$${\ displaystyle a, b} tienen el mismo significado introducido en la declaración anterior.) Ahora se busca una hipérbola con los ejes de coordenadas como asíntotas, que toca la línea $${\ displaystyle {\ overline {AB}}}. Esta es una tarea fácil. Por un simple cálculo se obtiene la hipérbola con la ecuación$${\ displaystyle \ eta = {\ frac {ab} {4 \ xi}}}. Toca la linea$${\ displaystyle {\ overline {AB}}} en el punto $${\ displaystyle W = [{\ tfrac {a} {2}}, {\ tfrac {b} {2}}]}.

Transformación coordinada

La transformación de la solución en el plano x - y se realizará utilizando coordenadas homogéneas y la matriz.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u_ {1} y v_ {1} y 0 \\ u_ {2} y v_ {2} y 0 \\ 1 y 1 y 1 \ end {bmatrix}} \ quad}.

Un punto $${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]} está mapeado en

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u_ {1} & v_ {1} & 0 \\ u_ {2} & v_ {2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {pmatrix} u_ {1} x_ {1} + v_ {1} x_ {2} \\ u_ {2} x_ {1} + v_ {2} x_ {2} \\ x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ end {pmatrix}} \ rightarrow \ left ({\ frac {u_ {1} x_ {1} + v_ {1} x_ {2}} {x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}}} \;, \; {\ frac {u_ {2} x_ {1} + v_ {2} x_ {2 }} {x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}}} \ right), \ quad {\ text {if}} x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ neq 0. }

Un punto $${\ displaystyle [\ xi, \ eta]} del $${\ displaystyle \ xi}-$${\ displaystyle \ eta}-plano está representado por el vector de columna $${\ displaystyle [\ xi, \ eta, 1] ^ {T}}(Ver coordenadas homogéneas ). Un punto en el infinito está representado por$${\ displaystyle [\ cdots, \ cdots, 0] ^ {T}}.

Transformación coordinada de puntos esenciales.

$${\ displaystyle U: \ [1,0,0] ^ {T} \ \ rightarrow \ (u_ {1}, u_ {2}) \, \ quad V: \ [0,1,0] ^ {T} \ \ rightarrow \ (v_ {1}, v_ {2}) \,}

$${\ displaystyle O: \ [0,0] \ \ rightarrow \ (0,0) \, \ quad A: \ [a, 0] \ rightarrow \ (a_ {1}, a_ {2}) \, \ quad B: \ [0, b] \ rightarrow \ (b_ {1}, b_ {2}) \,}

(Uno debe considerar: $${\ displaystyle \ a = {\ tfrac {1} {s-1}}, \ u_ {i} = sa_ {i}, \ quad b = {\ tfrac {1} {t-1}}, \ v_ { i} = tb_ {i} \;}; véase más arriba.)

$${\ displaystyle g _ {\ infty}: \ xi + \ eta + 1 = 0 \}es la ecuación de la línea en el infinito del plano x - y ; su punto en el infinito es$${\ displaystyle [1, -1,0] ^ {T}}.

$${\ displaystyle [1, -1, {\ color {red} 0}] ^ {T} \ \ rightarrow \ (u_ {1} -v_ {1}, u_ {2} -v_ {2}, {\ color {rojo} 0}) ^ {T}}

De ahí el punto en el infinito de $${\ displaystyle g _ {\ infty}} (en $${\ displaystyle \ xi}-$${\ displaystyle \ eta}-plane) se asigna a un punto en el infinito del plano x - y . Eso significa: las dos tangentes de la hipérbola, que son paralelas a $${\ displaystyle g _ {\ infty}}, también son paralelos en el plano x - y . Sus puntos de contacto son

$${\ displaystyle D_ {i}: \ left [{\ frac {\ pm {\ sqrt {ab}}} {2}}, {\ frac {\ pm {\ sqrt {ab}}} {2}} \ right ] \ \ rightarrow \ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ pm {\ sqrt {ab}}} {1 \ pm {\ sqrt {ab}}}} \; (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2}), \;}

Porque las tangentes de elipse en los puntos $${\ displaystyle D_ {1}, D_ {2}} son paralelos, el acorde $${\ displaystyle D_ {1} D_ {2}}es un diámetro y su punto medio es el centro $${\ displaystyle M} de la elipse

$${\ displaystyle M: ​​\ {\ frac {1} {2}} {\ frac {ab} {ab-1}} \ left (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2} \derecho)\;.}

Uno comprueba fácilmente que $${\ displaystyle M} tiene el $${\ displaystyle \ xi}-$${\ displaystyle \ eta}-coordenadas

$${\ displaystyle \ M: \; \ left [{\ frac {-ab} {2}}, {\ frac {-ab} {2}} \ right] \ ;.}

Para determinar el diámetro de la elipse, que se conjuga con $${\ displaystyle D_ {1} D_ {2}}, en el $${\ displaystyle \ xi}-$${\ displaystyle \ eta}-plano uno tiene que determinar los puntos comunes $${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}} de la hipérbola con la línea a través $${\ displaystyle M} paralela a las tangentes (su ecuación es $${\ displaystyle \ xi + \ eta + ab = 0}) Uno consigue $${\ displaystyle E_ {i}: \ left [{\ tfrac {-ab \ pm {\ sqrt {ab (ab-1)}}} {2}}, {\ tfrac {-ab \ mp {\ sqrt {ab (ab-1)}}} {2}} \ right]}. Y en x - y -coordenadas:

$${\ displaystyle \ E_ {i} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {ab} {ab-1}} \ left (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2} \ right) \ pm {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt {ab (ab-1)}} {ab-1}} \ left (u_ {1} -v_ {1 }, u_ {2} -v_ {2} \ right) \ ;,}

De los dos diámetros conjugados $${\ displaystyle D_ {1} D_ {2}, E_ {1} E_ {2}}se pueden recuperar los dos medios diámetros conjugados vectoriales

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {f}} _ {1} & = {\ vec {MD_ {1}}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt { ab}} {ab-1}} \; (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2}) \\ [6pt] {\ vec {f}} _ {2} & = {\ vec {ME_ {1}}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {ab} {ab-1}}} \; (u_ {1} -v_ {1}, u_ {2} -v_ {2}) \; \ end {alineado}}}

y al menos la representación paramétrica trigonométrica del inellipse:

$${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {OM}} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos \ varphi + {\ vec {f}} _ {2} \ sin \ varphi \ ;.}

Análogamente al caso de una elipse de Steiner, se pueden determinar semiejes, excentricidad, vértices, una ecuación en coordenadas x - y y el área del inelipse.

El tercer punto de contacto $${\ displaystyle W} en $${\ displaystyle AB} es:

$${\ displaystyle W: \ left [{\ frac {a} {2}}, {\ frac {b} {2}} \ right] \ \ rightarrow \ \ left ({\ frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 2}} \;, \; {\ frac {u_ {2} a + v_ {2} b} {a + b + 2}} \ right) \ ;.}

El punto Brianchon del inellipse es el punto común.$${\ displaystyle K} de las tres líneas $${\ displaystyle {\ overline {AV}}, {\ overline {BU}}, {\ overline {OW}}}. En el$${\ displaystyle \ xi}-$${\ displaystyle \ eta}-plano estas líneas tienen las ecuaciones: $${\ displaystyle \ xi = a \;, \; \ eta = b \;, \; a \ eta -b \ xi = 0}. De ahí el punto$${\ displaystyle K} tiene las coordenadas:

$${\ displaystyle K: \ [a, b] \ \ rightarrow \ \ left ({\ frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 1}} \;, \; {\ frac {u_ {2} a + v_ {2} b} {a + b + 1}} \ right) \.}

Transformando la hipérbola $${\ displaystyle \ \ eta = {\ frac {ab} {4 \ xi}}}produce la representación paramétrica racional del inellipse:

{\ displaystyle \ left [\ xi, {\ frac {ab} {4 \ xi}} \ right] \ \ rightarrow \ \ left ({\ frac {4u_ {1} \ xi ^ {2} + v_ {1} ab} {4 \ xi ^ {2} +4 \ xi + ab}}, {\ frac {4u_ {2} \ xi ^ {2} + v_ {2} ab} {4 \ xi ^ {2} +4 \ xi + ab}} \ right) \, \ - \ infty <\ xi <\ infty \.}

Rodear

Circulo de un triangulo

Para el incircle hay $${\ displaystyle | OU | = | OV |}, que es equivalente a

(1)$${\ displaystyle \; s | OA | = t | OB | \;. \} Adicionalmente

(2)$${\ displaystyle \; (1-s) | OA | + (1-t) | OB | = | AB |}. (ver diagrama)

Resolviendo estas dos ecuaciones para $${\ displaystyle s, t} uno consigue

(3)$${\ displaystyle \; s = {\ frac {| OA | + | OB | - | AB |} {2 | OA |}}, \; t = {\ frac {| OA | + | OB | - | AB | } {2 | OB |}} \ ;.}

Para obtener las coordenadas del centro, primero se calcula usando (1) y (3)

$${\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {ab}} = 1- (s-1) (t-1) = - st + s + t = \ cdots = {\ frac {s} {2 (| OB |}} (| OA | + | OB | + | AB |) \ ;.}

Por lo tanto

$${\ displaystyle {\ vec {OM}} = {\ frac {| OB |} {s (| OA | + | OB | + | AB |)}} \; (s {\ vec {OA}} + t { \ vec {OB}}) = \ cdots = {\ frac {| OB | {\ vec {OA}} + | OA | {\ vec {OB}}} {| OA | + | OB | + | AB |} } \ ;.}

Mandart inellipse

Los parametros $${\ displaystyle s, t}para el inelipse Mandart se puede recuperar de las propiedades de los puntos de contacto (ver de: Ankreis ).

Brocard inellipse

El inelipse Brocard de un triángulo está determinado únicamente por su punto Brianchon dado en coordenadas trilineales. $${\ displaystyle \ K: (| OB |: | OA |: | AB |) \}. ^[1] Cambiar las coordenadas trilineales en la representación más conveniente$${\ displaystyle \ K: k_ {1} {\ vec {OA}} + k_ {2} {\ vec {OB}} \}(ver coordenadas trilineales ) rendimientos$${\ displaystyle \ k_ {1} = {\ tfrac {| OB | ^ {2}} {| OB | ^ {2} + | OA | ^ {2} + | AB | ^ {2}}}, \; k_ {2} = {\ tfrac {| OA | ^ {2}} {| OB | ^ {2} + | OA | ^ {2} + | AB | ^ {2}}}}}. Por otro lado, si los parámetros$${\ displaystyle s, t} de un inellipse, se calcula a partir de la fórmula anterior para $${\ displaystyle K}: $${\ displaystyle \ k_ {1} = {\ tfrac {s (t-1)} {st-1}}, \; k_ {2} = {\ tfrac {t (s-1)} {st-1} } \}. Igualar ambas expresiones para$${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}} y resolviendo para $${\ displaystyle s, t} rendimientos

$${\ displaystyle s = {\ frac {| OB | ^ {2}} {| OB | ^ {2} + | AB | ^ {2}}} \;, \ quad t = {\ frac {| OA | ^ {2}} {| OA | ^ {2} + | AB | ^ {2}}} \ ;.}

Inellipse con la mayor área [ editar ]

• El inellipse Steiner tiene el área más grande de todos los inellipses de un triángulo.

Prueba

Del teorema de Apollonios sobre las propiedades de los semi-diámetros conjugados$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}} de una elipse se obtiene:

$${\ displaystyle F = \ pi \ left | \ det ({\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}) \ right | \ quad}(Ver artículo sobre elipse Steiner ).

Para el inellipse con parámetros $${\ displaystyle s, t} uno consigue

$${\ displaystyle \ det ({\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}) = {\ frac {1} {4}} {\ frac {ab} {(ab -1) ^ {3/2}}} \ det (s {\ vec {a}} + t {\ vec {b}}, s {\ vec {a}} - t {\ vec {b}}) }

$${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} {\ frac {s {\ sqrt {s-1}} \; t {\ sqrt {t-1}}} {(1- (s-1) (t-1)) ^ {3/2}}} \ det ({\ vec {b}}, {\ vec {a}}) \ ;,}

dónde $${\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}), \; {\ vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2}), \; {\ vec {u}} = (u_ {1}, u_ {2}), {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}), \; {\ vec {u}} = s {\ vec {a}}, \; {\ vec {v}} = t {\ vec {b}}}.
Para omitir las raíces, es suficiente investigar los extremos de la función$${\ displaystyle G (s, t) = {\ tfrac {s ^ {2} (s-1) \; t ^ {2} (t-1)} {(1- (s-1) (t-1 )) ^ {3}}}}:

$${\ displaystyle G_ {s} = 0 \ \ rightarrow \ 3s-2 + 2 (s-1) (t-1) = 0 \ ;.}

Porque $${\ displaystyle G (s, t) = G (t, s)}se obtiene a partir del intercambio de s y t :

$${\ displaystyle G_ {t} = 0 \ \ rightarrow \ 3t-2 + 2 (s-1) (t-1) = 0 \ ;.}

Solución de ambos equatiions para s y t rendimientos

$${\ displaystyle s = t = {\ frac {1} {2}} \;, \ quad} cuales son los parámetros del Steel inellipse.