LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

"Ortocentro" y "Ortocentro" redirigen aquí. Para el sistema ortocéntrico , vea Sistema ortocéntrico .

Las tres altitudes de un triángulo se cruzan en el ortocentro, que para un triángulo agudo está dentro del triángulo.

En geometría , la altitud de un triángulo es un segmento de línea a través de un vértice y perpendicular a (es decir, formando un ángulo recto con) una línea que contiene la base (el lado opuesto al vértice). Esta línea que contiene el lado opuesto se llama la base extendida de la altitud. La intersección de la base extendida y la altitud se llama piede la altitud. La longitud de la altitud, a menudo simplemente llamada "la altitud", es la distancia entre la base extendida y el vértice. El proceso de dibujar la altitud desde el vértice hasta el pie se conoce como soltar la altitud en ese vértice. Es un caso especial de proyección ortogonal .

Las altitudes se pueden usar en el cálculo del área de un triángulo: la mitad del producto de la longitud de una altitud y la longitud de su base es igual al área del triángulo. Por lo tanto, la altitud más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo. Las altitudes también están relacionadas con los lados del triángulo a través de las funciones trigonométricas .

En un triángulo rectángulo, la altitud de cada ángulo agudo coincide con una pata e intersecta el lado opuesto en (tiene su pie en) el vértice en ángulo recto, que es el ortocentro.

En un triángulo isósceles (un triángulo con dos lados congruentes ), la altitud que tiene el lado incongruente como su base tendrá el punto medio de ese lado como su pie. Además, la altitud que tiene el lado incongruente como base será la bisectriz angular del ángulo del vértice.

Es común marcar la altitud con la letra h (como en altura ), a menudo con el nombre del lado al que se dibuja la altitud.

En un triángulo rectángulo , la altitud dibujada a la hipotenusa c divide la hipotenusa en dos segmentos de longitudes p y q . Si denotamos la longitud de la altitud por h _c , entonces tenemos la relación

$${\ displaystyle h_ {c} = {\ sqrt {pq}}}  ( Teorema de la media geométrica )

Las altitudes desde cada uno de los ángulos agudos de un triángulo obtuso se encuentran completamente fuera del triángulo, al igual que el ortocentro H.

Para los triángulos agudos y rectos, los pies de las altitudes caen en los lados del triángulo (no extendidos). En un triángulo obtuso (uno con un ángulo obtuso ), el pie de la altitud al vértice de ángulo obtuso cae en el interior del lado opuesto, pero los pies de las altitudes a los vértices de ángulo agudo caen en el lado extendido opuesto , exterior al triángulo. Esto se ilustra en el diagrama adyacente: en este triángulo obtuso, una altitud caída perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, intersecta el lado horizontal extendido fuera del triángulo.

Ortocentro [ editar ]

Ver también: sistema ortocéntrico

Tres altitudes que se cruzan en el ortocentro

Los tres (posiblemente extendida) altitudes de intersección en un solo punto, llamado el ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H . ^[1] [2] El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo (es decir, no tiene un ángulo mayor o igual que un ángulo recto). Si un ángulo es un ángulo recto, el ortocentro coincide con el vértice en el ángulo recto. ^[2]

Deje A , B , C denotar los vértices y también los ángulos del triángulo, y deje a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | ser las longitudes laterales. El ortocentro tiene coordenadas trilineales ^[3]

$${\ displaystyle \ sec A: \ sec B: \ sec C = \ cos A- \ sin B \ sin C: \ cos B- \ sin C \ sin A: \ cos C- \ sin A \ sin B,}

y coordenadas barcéntricas

$${\ displaystyle \ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ { 2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}

$${\ displaystyle = \ tan A: \ tan B: \ tan C.}

Como las coordenadas barcéntricas son todas positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas barcéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas barcéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo agudo , en el vértice en ángulo recto de un triángulo rectángulo y exterior a un triángulo obtuso .

En el plano complejo , deje que los puntos A , B y C representen los números. $${\ displaystyle z_ {A}}, $${\ displaystyle z_ {B}} y, respectivamente, $${\ displaystyle z_ {C}}y supongamos que el circuncentro del triángulo ABC está ubicado en el origen del plano. Entonces, el número complejo

$${\ displaystyle z_ {H} = z_ {A} + z_ {B} + z_ {C}}

está representado por el punto H , es decir, el ortocentro del triángulo ABC . ^[4] A partir de esto, se pueden establecer directamente las siguientes caracterizaciones del ortocentro H por medio de vectores libres :

$${\ displaystyle {\ vec {OH}} = \ sum \ limits _ {\ scriptstyle {\ rm {cyclic}}} {\ vec {OA}}, \ qquad 2 \ cdot {\ vec {HO}} = \ sum \ límites _ {\ scriptstyle {\ rm {cíclico}}} {\ vec {HA}}.}

La primera de las identidades vectoriales anteriores también se conoce como el problema de Sylvester , propuesta por James Joseph Sylvester . ^[5]

Propiedades [ editar ]

Deje D , E y F denotar los pies de las altitudes de A , B y C, respectivamente. Entonces:

• El producto de las longitudes de los segmentos en los que el ortocentro divide una altitud es el mismo para las tres altitudes: ^[6] [7]

$${\ displaystyle AH \ cdot HD = BH \ cdot HE = CH \ cdot HF.}

El círculo centrado en H con radio de la raíz cuadrada de esta constante es el círculo polar del triángulo . ^[8]

• La suma de las razones en las tres altitudes de la distancia del ortocentro desde la base hasta la longitud de la altitud es 1: ^[9] (Esta propiedad y la siguiente son aplicaciones de una propiedad más general de cualquier punto interior y el tres cevians a través de él.)

$${\ displaystyle {\ frac {HD} {AD}} + {\ frac {HE} {BE}} + {\ frac {HF} {CF}} = 1.}

• La suma de las razones en las tres altitudes de la distancia del ortocentro desde el vértice hasta la longitud de la altitud es 2: ^[9]

$${\ displaystyle {\ frac {AH} {AD}} + {\ frac {BH} {BE}} + {\ frac {CH} {CF}} = 2.}

• El conjugado isogonal del ortocentro es el circuncentro del triángulo. ^[10]

• El conjugado isotómico del ortocentro es el punto simétrico del triángulo anticomplementario . ^[11]

• Cuatro puntos en el plano, de modo que uno de ellos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres, se llama sistema ortocéntrico o cuadrángulo ortocéntrico.

Relación con círculos y cónicas [ editar ]

Denotan la circunferencia circunscrita del triángulo por R . Entonces ^[12] [13]

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} = 12R ^ {2}.}

Además, denotando r como el radio del círculo del triángulo , r _a , r _b y r _c como el radio de sus círculos , y R nuevamente como el radio de su círculo, las siguientes relaciones se mantienen con respecto a las distancias del ortocentro desde los vértices: ^[14]

$${\ displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r = AH + BH + CH + 2R,}

$${\ displaystyle r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}.}

Si alguna altitud, por ejemplo, AD , se extiende para intersecar el círculo circunferencial en P , de modo que AP es un acorde del círculo circunferencial, entonces el pie D divide el segmento HP : ^[7]

$${\ displaystyle HD = DP.}

Las directrices de todas las parábolas que son externamente tangentes a un lado de un triángulo y tangentes a las extensiones de los otros lados pasan a través del ortocentro. ^[15]

Un paso circuncónico a través del ortocentro de un triángulo es una hipérbola rectangular . ^[dieciséis]

Relación con otros centros, el círculo de nueve puntos [ editar ]

Artículo principal: círculo de nueve puntos

El ortocentro H , el centroide G , el circuncentro O y el centro N del círculo de nueve puntos se encuentran en una sola línea, conocida como la línea de Euler . ^[17] El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio de la línea de Euler, entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad que entre el centroide y el ortocentro: ^[18]

$${\ displaystyle OH = 2NH,}

$${\ displaystyle 2OG = GH.}

El ortocentro está más cerca del incentro I que del centroide, y el ortocentro está más lejos que el incentro del centroide:

{\ displaystyle HI

{\ displaystyle HG> IG.}

En términos de los lados a, b, c , inradius r y circumradius R , ^[19]

$${\ displaystyle OH ^ {2} = R ^ {2} -8R ^ {2} \ cos A \ cos B \ cos C = 9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}),}^{[20] : pág. 449}

$${\ displaystyle HI ^ {2} = 2r ^ {2} -4R ^ {2} \ cos A \ cos B \ cos C.}

Triángulo ortico [ editar ]

Triangle abc (respectivamente, DEF en el texto) es el triángulo ortético del triángulo ABC

Si el triángulo ABC es oblicuo (no contiene un ángulo recto), el triángulo del pedal del ortocentro del triángulo original se llama triángulo órtico o triángulo de altitud . Es decir, los pies de las altitudes de un triángulo oblicuo forman el triángulo órtico, DEF . Además, el incentro (el centro del círculo inscrito) del triángulo órtico DEF es el ortocentro del triángulo original ABC . ^[21]

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo órtico están dadas por

• D = 0: seg B  : seg C
• E = seg A  : 0: seg C
• F = seg. A  : seg. B  : 0 .

Los lados extendidos del triángulo órtico se encuentran con los lados extendidos opuestos de su triángulo de referencia en tres puntos colineales . ^{[22] [23] [21]}

En cualquier triángulo agudo , el triángulo inscrito con el perímetro más pequeño es el triángulo órtico. ^[24] Esta es la solución al problema de Fagnano , planteada en 1775. ^[25] Los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes al círculo en los vértices del triángulo original. ^[26]

El triángulo ortico de un triángulo agudo da una ruta de luz triangular. ^[27]

Las líneas tangentes del círculo de nueve puntos en los puntos medios de los lados de ABC son paralelas a los lados del triángulo órtico, formando un triángulo similar al triángulo órtico. ^[28]

El triángulo órtico está estrechamente relacionado con el triángulo tangencial , construido de la siguiente manera: deje que L _A sea ​​la línea tangente al círculo del triángulo ABC en el vértice A , y defina L _B y L _{C de forma} análoga. Sea A " = L _B  ∩  L _C , B" = L _C  ∩  L _A , C " = L _C  ∩  L _A. El triángulo tangencial es A" B "C", cuyos lados son las tangentes al triángulo del círculo de ABC en sus vértices; Es homotético al triángulo ortico. El circuncentro del triángulo tangencial y el centro de similitud de los triángulos ortogénico y tangencial están en la línea de Euler . ^{[20] : pág. 447}

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo tangencial están dadas por

• A " = - a  : b  : c
• B " = a  : - b  : c
• C " = a  : b  : - c .

Para obtener más información sobre el triángulo ortético, consulte aquí .

Algunos teoremas de altitud adicionales [ editar ]

Altitud en términos de los lados [ editar ]

Para cualquier triángulo con lados a, b, c y semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2 , la altitud desde el lado a viene dada por

$${\ displaystyle h_ {a} = {\ frac {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}} {a}}.}

Esto se deduce de la combinación de la fórmula de Heron para el área de un triángulo en términos de los lados con la fórmula del área (1/2) × × base de altura, donde la base se toma como lado una y la altura es la altura de A .

Teoremas de Inradius [ editar ]

Considere un triángulo arbitrario con lados a, b, c y con las altitudes correspondientes h _a , h _b y h _c . Las altitudes y el radio del incircle r están relacionados por ^{[29] : Lema 1}

$${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c}}}.}

Teorema de Circunradio [ editar ]

Denotando la altitud desde un lado de un triángulo como h _una , los otros dos lados como b y c , y del triángulo circunradio (radio de círculo circunscrito del triángulo) como R , la altura viene dada por ^[30]

$${\ displaystyle h_ {a} = {\ frac {bc} {2R}}.}

Punto interior [ editar ]

Si p ₁ , p ₂ y p ₃ son las distancias perpendiculares desde cualquier punto P a los lados, y h ₁ , h ₂ y h ₃ son las altitudes a los lados respectivos, entonces ^[31]

$${\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {h_ {1}}} + {\ frac {p_ {2}} {h_ {2}}} + {\ frac {p_ {3}} {h_ {3 }}} = 1.}

Teorema del área [ editar ]

Denotando las altitudes de cualquier triángulo de lados a , b , y c , respectivamente, como$${\ displaystyle h_ {a}}, $${\ displaystyle h_ {b}}y $${\ displaystyle h_ {c}}, y denotando la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como $${\ displaystyle H = (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1} + h_ {c} ^ {- 1}) / 2}tenemos ^[32]

$${\ displaystyle \ mathrm {Area} ^ {- 1} = 4 {\ sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {- 1})}}.}

Punto general en una altitud [ editar ]

Si E es cualquier punto en una altitud AD de cualquier triángulo ABC , entonces ^{[33] : 77–78}

$${\ displaystyle AC ^ {2} + EB ^ {2} = AB ^ {2} + CE ^ {2}.}

Triángulos de casos especiales [ editar ]

Triángulo equilátero [ editar ]

Para cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero , la suma de los perpendiculares a los tres lados es igual a la altitud del triángulo. Este es el teorema de Viviani .

Triángulo rectángulo [ editar ]

La altitud de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en los que se divide la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras en los 3 triángulos de lados ( p  +  q , r , s ) , ( r , h , p ) y ( s , h , q ) ,
{\ displaystyle {\ begin {alineado} (p + q) ^ {2} \ quad & = \ quad \; \, r ^ {2} \ quad + \ quad s ^ {2} \\ p ^ {2} \! + 2pq + q ^ {2} & = \ left (h ^ {2} \! \! + \! P ^ {2} \ right) \! + \! \ Left (h ^ {2} \! \! + \! q ^ {2} \ right) \\ 2pq \ qquad \, & = 2h ^ {2} \ quad \ por lo tanto h = {\ sqrt {pq}} \\\ end {alineado}}}

En un triángulo rectángulo las tres alturas h _una , h _b y h _c (los dos primeros de los cuales son iguales a la longitud de las piernas b y un respectivamente) están relacionados de acuerdo con ^[34] [35]

$${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {a} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {b} ^ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {c} ^ {2}}}.}