LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

desigualdades de triángulos son desigualdades que involucran los parámetros de triángulos , que se mantienen para cada triángulo o para cada triángulo que cumple ciertas condiciones. Las desigualdades dan un orden de dos valores diferentes: son de la forma "menor que", "menor o igual que", "mayor que" o "mayor o igual que". Los parámetros en la desigualdad de un triángulo pueden ser las longitudes de los lados, el semiperímetro , las medidas de los ángulos , los valores de las funciones trigonométricas de esos ángulos, el área del triángulo, las medianas de los lados, las altitudes, las longitudes de las bisectrices de ángulo interno desde cada ángulo al lado opuesto, las bisectrices perpendiculares de los lados, la distancia desde un punto arbitrario a otro punto, el inradius , el exradii , el circumradius y / u otras cantidades.

A menos que se especifique lo contrario, este artículo trata sobre triángulos en el plano euclidiano .

Parámetros principales y notación [ editar ]

Los parámetros que aparecen más comúnmente en las desigualdades de triángulos son:

• el lado de longitudes de un , b , y c ;
• el semiperímetro s = ( a  +  b  +  c ) / 2 (la mitad del perímetro p );
• los angulares medidas A , B , y C de los ángulos de los vértices opuestos a los lados respectivos de un , b , y c (con los vértices denotados con los mismos símbolos que sus medidas de los ángulos);
• los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos;
• el área T del triángulo;
• las medianas m _a , m _b y m _c de los lados (siendo cada una la longitud del segmento de línea desde el punto medio del lado hasta el vértice opuesto);
• las altitudes h _a , h _b y h _c (cada una de las cuales es la longitud de un segmento perpendicular a un lado y se extiende desde ese lado (o posiblemente la extensión de ese lado) hasta el vértice opuesto);
• las longitudes de las bisectrices de ángulo interno t _a , t _b y t _c (cada una de las cuales es un segmento desde un vértice al lado opuesto y biseca el ángulo del vértice);
• las bisectrices perpendiculares p _a , p _b y p _c de los lados (cada una de las cuales es la longitud de un segmento perpendicular a un lado en su punto medio y llega a uno de los otros lados);
• las longitudes de los segmentos de línea con un punto final en un punto arbitrario P en el plano (por ejemplo, la longitud del segmento desde P hasta el vértice A se denota PA o AP );
• el inradius r (radio del círculo inscrito en el triángulo, tangente a los tres lados), el exradio r _a , r _b y r _c (cada uno de los cuales es el radio de un círculo tangente al lado a , b , o c respectivamente y tangente a las extensiones de los otros dos lados), y el circunradio R (radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo y pasando por los tres vértices).

Longitudes laterales [ editar ]

La desigualdad básica del triángulo es

{\ displaystyle a

o equivalente

{\ displaystyle {\ text {max}} (a, b, c)

Adicionalmente,

{\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ leq {\ frac {a} {b + c}} + {\ frac {b} {a + c}} + {\ frac {c} {a + b}} <2 font="">

donde el valor del lado derecho es el límite más bajo posible, ^{[1] : p. 259 se} acercó asintóticamente a medida que ciertas clases de triángulos se acercan al caso degenerado del área cero. La desigualdad de la izquierda, que es válida para todos los positivos a, b, c , es la desigualdad de Nesbitt .

Tenemos

$${\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} \ right) \ geq 2 \ left ({\ frac {b} {a}} + {\ frac {c} {b}} + {\ frac {a} {c}} \ right) +3.}^{[2] : p.250, # 82}

$${\ displaystyle abc \ geq (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c). \ quad}^{[1] : pág. 260}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ leq {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {(a + b + c) ^ {2}} } \ leq {\ frac {1} {2}}. \ quad}^{[1] : pág. 261}

$${\ displaystyle {\ sqrt {a + bc}} + {\ sqrt {a-b + c}} + {\ sqrt {-a + b + c}} \ leq {\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {c}}.}^{[1] : pág. 261}

$${\ displaystyle a ^ {2} b (ab) + b ^ {2} c (bc) + c ^ {2} a (ca) \ geq 0.}^{[1] : pág. 261}

Si el ángulo C es obtuso (mayor que 90 °), entonces

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}

si C es aguda (menos de 90 °) entonces

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> c ^ {2}.}

El caso intermedio de igualdad cuando C es un ángulo recto es el teorema de Pitágoras .

En general, ^{[2] : p.1, # 74}

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> {\ frac {c ^ {2}} {2}},}

con la igualdad en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se aproxima a 180 °.

Si el centroide del triángulo está dentro del círculo del triángulo , entonces ^{[3] : p. 153}

{\ displaystyle a ^ {2} <4bc ab.="" ac="" b="" c="" font="" quad="">

Si bien todas las desigualdades anteriores son verdad porque una , b , y c debe seguir la desigualdad básica triángulo que el lado más largo es menos de la mitad del perímetro, las siguientes relaciones son válidas para todos positivos una , b , y c : ^{[1] : p.267}

$${\ displaystyle {\ frac {3abc} {ab + bc + ca}} \ leq {\ sqrt [{3}] {abc}} \ leq {\ frac {a + b + c} {3}},}

cada una con igualdad solo cuando a = b = c . Esto dice que en el caso no equilátero, la media armónica de los lados es menor que su media geométrica, que a su vez es menor que su media aritmética .

Ángulos [ editar ]

$${\ displaystyle \ cos A + \ cos B + \ cos C \ leq {\ frac {3} {2}}.} ^{[1] : pág. 286}

$${\ displaystyle (1- \ cos A) (1- \ cos B) (1- \ cos C) \ geq \ cos A \ cdot \ cos B \ cdot \ cos C.}^{[2] : p.21, # 836}

$${\ displaystyle \ cos ^ {4} {\ frac {A} {2}} + \ cos ^ {4} {\ frac {B} {2}} + \ cos ^ {4} {\ frac {C} { 2}} \ leq {\ frac {s ^ {3}} {2abc}}}

para semiperimetro s , con igualdad solo en el caso equilátero. ^{[2] : p.13, n. ° 608}

$${\ displaystyle a + b + c \ geq 2 {\ sqrt {bc}} \ cos A + 2 {\ sqrt {ca}} \ cos B + 2 {\ sqrt {ab}} \ cos C.} ^{[4] : Thm.1}

$${\ displaystyle \ sin A + \ sin B + \ sin C \ leq {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}.} ^{[1] : p.286}

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C \ leq {\ frac {9} {4}}.} ^{[1] : pág. 286}

$${\ displaystyle \ sin A \ cdot \ sin B \ cdot \ sin C \ leq \ left ({\ frac {\ sin A + \ sin B + \ sin C} {3}} \ right) ^ {3} \ leq \ left (\ sin {\ frac {A + B + C} {3}} \ right) ^ {3} = \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right) = { \ frac {3 {\ sqrt {3}}} {8}}.} ^{[5] : pág. 203}

$${\ displaystyle \ sin A + \ sin B \ cdot \ sin C \ leq \ varphi}^{[2] : p.149, n.º 3297}

dónde $${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}},}La proporción áurea .

$${\ displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {B} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {C} {2}} \ leq {\ frac {1 } {8}}.} ^{[1] : pág. 286}

$${\ displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {A} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {B} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {C} { 2}} \ geq 1.} ^{[1] : pág. 286}

$${\ displaystyle \ cot A + \ cot B + \ cot C \ geq {\ sqrt {3}}.} ^[6]

$${\ displaystyle \ sin A \ cdot \ cos B + \ sin B \ cdot \ cos C + \ sin C \ cdot \ cos A \ leq {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}}.}^{[2] : p.187, # 309.2}

Para circunradio R e inradio r tenemos

$${\ displaystyle \ max \ left (\ sin {\ frac {A} {2}}, \ sin {\ frac {B} {2}}, \ sin {\ frac {C} {2}} \ right) \ leq {\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}} \ right),}

con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con ángulo de ápice mayor o igual a 60 °; ^{[7] : Cor. 3} y

$${\ displaystyle \ min \ left (\ sin {\ frac {A} {2}}, \ sin {\ frac {B} {2}}, \ sin {\ frac {C} {2}} \ right) \ geq {\ frac {1} {2}} \ left (1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}} \ right),}

con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con ángulo de ápice menor o igual a 60 °. ^{[7] : Cor. 3}

También tenemos

$${\ displaystyle {\ frac {r} {R}} - {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}} \ leq \ cos A \ leq {\ frac {r} {R}} + {\ sqrt {1 - {\ frac {2r} {R}}}}}

e igualmente para los ángulos B, C , con igualdad en la primera parte si el triángulo es isósceles y el ángulo del ápice es de al menos 60 ° e igualdad en la segunda parte si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo del ápice no mayor de 60 ° . ^{[7] : Prop. 5}

Además, cualquier ángulo dos medidas A y B lados opuestos a y b, respectivamente, están relacionados de acuerdo con ^{[1] : p. 264}

{\ displaystyle A> B \ quad {\ text {if and only if}} \ quad a> b,}

que está relacionado con el teorema del triángulo isósceles y su inverso, que establece que A = B si y solo si a = b .

Por Euclides 's teorema ángulo exterior , cualquier ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores en los vértices opuestos: ^{[1] : p. 261}

{\ displaystyle 180 {\ text {°}} - A> \ max (B, C).}

Si un punto D está en el interior del triángulo ABC , entonces

{\ displaystyle \ angle BDC> \ angle A}^{[1] : pág. 263}

Para un triángulo agudo tenemos ^{[2] : p.26, # 954}

{\ displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C <1 font="">

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Además, para triángulos no obtusos tenemos ^{[8] : Corolario 3}

$${\ displaystyle {\ frac {2R + r} {R}} \ leq {\ sqrt {2}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {AC} {2}} \ right) + \ cos \ left ({\ frac {B} {2}} \ right) \ right)}

con igualdad si y solo si es un triángulo rectángulo con hipotenusa AC.

Área [ editar ]

La desigualdad de Weitzenböck es, en términos del área T , ^{[1] : p. 290}

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq 4 {\ sqrt {3}} \ cdot T,}

con igualdad solo en el caso equilátero. Este es un corolario de la desigualdad de Hadwiger-Finsler , que es

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} +4 {\ sqrt {3}} \ cdot T.}

También,

$${\ displaystyle ab + bc + ca \ geq 4 {\ sqrt {3}} \ cdot T}^{[9] : pág. 138}

y ^{[2] : p.192, # 340.3 [5] : p. 204 204}

$${\ displaystyle T \ leq {\ frac {abc} {2}} {\ sqrt {\ frac {a + b + c} {a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + abc} }} \ leq {\ frac {1} {4}} {\ sqrt [{6}] {\ frac {3 (a + b + c) ^ {3} (abc) ^ {4}} {a ^ { 3} + b ^ {3} + c ^ {3}}}} \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {2/3}.}

Del límite superior derecho en T , usando la desigualdad media aritmética-geométrica , se obtiene la desigualdad isoperimétrica para triángulos :

$${\ displaystyle T \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {36}} (a + b + c) ^ {2} = {\ frac {\ sqrt {3}} {9}} s ^ {2 }} ^{[5] : pág. 203}

para semiperimetro s . Esto a veces se afirma en términos de perímetro p como

$${\ displaystyle p ^ {2} \ geq 12 {\ sqrt {3}} \ cdot T,}

con igualdad para el triángulo equilátero . ^[10] Esto se ve reforzado por

$${\ displaystyle T \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {2/3}.}

La desigualdad de Bonnesen también fortalece la desigualdad isoperimétrica:

$${\ displaystyle \ pi ^ {2} (Rr) ^ {2} \ leq (a + b + c) ^ {2} -4 \ pi T.}

También tenemos

$${\ displaystyle {\ frac {9abc} {a + b + c}} \ geq 4 {\ sqrt {3}} \ cdot T} ^{[1] : pág. 290 [9] : pág. 138}

con igualdad solo en el caso equilátero;

$${\ displaystyle 38T ^ {2} \ leq 2s ^ {4} -a ^ {4} -b ^ {4} -c ^ {4}}^{[2] : p.111, # 2807}

para semiperímetro s ; y

{\ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} <{\ frac {s} {T}}.}^{[2] : p.88, # 2188}

La desigualdad de Ono para triángulos agudos (aquellos con todos los ángulos menores de 90 °) es

$${\ displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} \ leq (4T) ^ {6}.}

El área del triángulo se puede comparar con el área del círculo :

$${\ displaystyle {\ frac {\ text {Área de incircle}} {\ text {Área de triángulo}}} \ leq {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}

con igualdad solo para el triángulo equilátero. ^[11]

Si un triángulo interno está inscrito en un triángulo de referencia de modo que los vértices del triángulo interno dividen el perímetro del triángulo de referencia en segmentos de igual longitud, la razón de sus áreas está limitada por ^{[9] : p. 138}

$${\ displaystyle {\ frac {\ text {Área del triángulo inscrito}} {\ text {Área del triángulo de referencia}}} \ leq {\ frac {1} {4}}.}

Que las bisectrices de los ángulos interiores de A , B , y C cumple con los lados opuestos en D , E , y F . Entonces ^{[2] : p.18, # 762}

$${\ displaystyle {\ frac {3abc} {4 (a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3})}} \ leq {\ frac {{\ text {Área del triángulo}} \, DEF } {{\ text {Área del triángulo}} \, ABC}} \ leq {\ frac {1} {4}}.}

Una línea a través de la mediana de un triángulo divide el área de tal manera que la proporción de la subárea más pequeña al área del triángulo original es al menos 4/9. ^[12]

Medianas y centroide [ editar ]

Las tres medianas $${\ displaystyle m_ {a}, \, m_ {b}, \, m_ {c}}de un triángulo cada uno conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto, y la suma de sus longitudes satisface ^{[1] : p. 271}

{\ displaystyle {\ frac {3} {4}} (a + b + c)

Además, ^{[2] : p.12, # 589}

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {m_ {a}} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m_ {b}} {b}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m_ {c}} {c}} \ right) ^ {2} \ geq {\ frac {9} {4}},}

con igualdad solo en el caso equilátero, y para inradius r , ^{[2] : p.22, # 846}

$${\ displaystyle {\ frac {m_ {a} m_ {b} m_ {c}} {m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}}} \ geq r.}

Si además denotamos las longitudes de las medianas extendidas a sus intersecciones con el círculo como M _a , M _b y M _c , entonces ^{[2] : p.16, # 689}

$${\ displaystyle {\ frac {M_ {a}} {m_ {a}}} + {\ frac {M_ {b}} {m_ {b}}} + {\ frac {M_ {c}} {m_ {c }}} \ geq 4.}

El centroide G es la intersección de las medianas. Deje que AG , BG y CG se encuentren con el círculo en U , V y W, respectivamente. Entonces ambos ^{[2] : p.17 # 723}

$${\ displaystyle GU + GV + GW \ geq AG + BG + CG}

y

$${\ displaystyle GU \ cdot GV \ cdot GW \ geq AG \ cdot BG \ cdot CG;}

Además, ^{[2] : p.156, # S56}

$${\ displaystyle \ sin GBC + \ sin GCA + \ sin GAB \ leq {\ frac {3} {2}}.}

Para un triángulo agudo tenemos ^{[2] : p.26, # 954}

{\ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}

en términos del circunradio R , mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.

Denotando como IA, IB, IC las distancias del incentro desde los vértices, se cumple lo siguiente: ^{[2] : p.192, # 339.3}

$${\ displaystyle {\ frac {IA ^ {2}} {m_ {a} ^ {2}}} + {\ frac {IB ^ {2}} {m_ {b} ^ {2}}} + {\ frac {IC ^ {2}} {m_ {c} ^ {2}}} \ leq {\ frac {3} {4}}.}

Las tres medianas de cualquier triángulo pueden formar los lados de otro triángulo: ^{[13] : p. 592}

{\ displaystyle m_ {a}

Además, ^{[14] : Coro. 6 6}

$${\ displaystyle \ max \ {bm_ {c} + cm_ {b}, \ quad cm_ {a} + am_ {c}, \ quad am_ {b} + bm_ {a} \} \ leq {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {\ sqrt {3}}}.}

Altitudes [ editar ]

Las altitudes h _a , etc. conectan cada una un vértice al lado opuesto y son perpendiculares a ese lado. Satisfacen ambos ^{[1] : p. 274}

$${\ displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (a + b + c)}

y

$${\ displaystyle h_ {a} ^ {2} + h_ {b} ^ {2} + h_ {c} ^ {2} \ leq {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}

Además, si $${\ displaystyle a \ geq b \ geq c,}entonces ^{[2] : 222, # 67}

$${\ displaystyle a + h_ {a} \ geq b + h_ {b} \ geq c + h_ {c}.}

También tenemos ^{[2] : p.140, # 3150}

$${\ displaystyle {\ frac {h_ {a} ^ {2}} {(b ^ {2} + c ^ {2})}} \ cdot {\ frac {h_ {b} ^ {2}} {(c ^ {2} + a ^ {2})}} \ cdot {\ frac {h_ {c} ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2})}} \ leq \ left ({ \ frac {3} {8}} \ right) ^ {3}.}

Para las bisectrices de ángulo interno t _a , t _b , t _c de los vértices A, B, C y circuncentro R e incentro r , tenemos ^{[2] : p.125, # 3005}

$${\ displaystyle {\ frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {\ frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {\ frac {h_ {c}} {t_ {c }}} \ geq {\ frac {R + 4r} {R}}.}

Los recíprocos de las altitudes de cualquier triángulo pueden formar un triángulo: ^[15]

{\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {a}}} <{\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c}}}, \ quad {\ frac {1} {h_ {b}}} <{\ frac {1} {h_ {c}}} + {\ frac {1} {h_ {a}}}, \ quad {\ frac {1} {h_ { c}}} <{\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}}.}

Ángulo interno bisectrices e incentro [ editar ]

Las bisectrices de ángulo interno son segmentos en el interior del triángulo que se extienden desde un vértice al lado opuesto y seccionan el ángulo del vértice en dos ángulos iguales. Las bisectrices de ángulo t _a etc. satisfacen

$${\ displaystyle t_ {a} + t_ {b} + t_ {c} \ leq {\ frac {3} {2}} (a + b + c)}

en términos de los lados, y

$${\ displaystyle h_ {a} \ leq t_ {a} \ leq m_ {a}}

en términos de altitudes y medianas, y también para t _b y t _c . ^{[1] : pp. 271–3} Además, ^{[2] : p.224, # 132}

$${\ displaystyle {\ sqrt {m_ {a}}} + {\ sqrt {m_ {b}}} + {\ sqrt {m_ {c}}} \ geq {\ sqrt {t_ {a}}} + {\ sqrt {t_ {b}}} + {\ sqrt {t_ {c}}}}

en términos de las medianas, y ^{[2] : p.125, # 3005}

$${\ displaystyle {\ frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {\ frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {\ frac {h_ {c}} {t_ {c }}} \ geq 1 + {\ frac {4r} {R}}}

en términos de la altitudes, inradio r y circunradio R .

Deje que T _a , T _b y T _c sean las longitudes de las bisectrices de ángulo extendidas hasta el círculo circunferencial. Entonces ^{[2] : p.11, # 535}

$${\ displaystyle T_ {a} T_ {b} T_ {c} \ geq {\ frac {8 {\ sqrt {3}}} {9}} abc,}

con igualdad solo en el caso equilátero, y ^{[2] : p.14, # 628}

$${\ displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} \ leq 5R + 2r}

para circumradius R e inradius r , nuevamente con igualdad solo en el caso equilátero. Adicionalmente,. ^{[2] : p.20, n.º 795}

$${\ displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} \ geq {\ frac {4} {3}} (t_ {a} + t_ {b} + t_ {c}).}

Para el incentro I (la intersección de las bisectrices del ángulo interno), ^{[2] : p.127, # 3033}

$${\ displaystyle 6r \ leq AI + BI + CI \ leq {\ sqrt {12 (R ^ {2} -Rr + r ^ {2})}}.}

Para los puntos medios L, M, N de los lados, ^{[2] : p.152, # J53}

$${\ displaystyle IL ^ {2} + IM ^ {2} + IN ^ {2} \ geq r (R + r).}

Para el incentro I , el centroide G , el circuncentro O , el centro N de nueve puntos y el ortocentro H , tenemos para los triángulos no equiláteros las desigualdades de distancia ^{[16] : p.232}

{\ displaystyle IG

{\ displaystyle IH

{\ displaystyle IG

y

{\ displaystyle IN <{\ frac {1} {2}} IO;}

y tenemos la desigualdad angular ^{[16] : p.233}

{\ displaystyle \ angle IOH <{\ frac {\ pi} {6}}.}

Además, ^{[16] : p.233, Lema 3}

{\ displaystyle IG <{\ frac {1} {3}} v,}

donde v es la mediana más larga.

Tres triángulos con vértice en el incentro, OIH , GIH y OGI , son obtusos: ^{[16] : p.232}

$${\ displaystyle \ angle OIH} > $${\ displaystyle \ angle GIH} > 90 °, $${\ displaystyle \ angle OGI} > 90 °.

Como estos triángulos tienen los ángulos obtusos indicados, tenemos

{\ displaystyle OI ^ {2} + IH ^ {2}

y, de hecho, el segundo de estos es equivalente a un resultado más fuerte que el primero, mostrado por Euler : ^[17] [18]

{\ displaystyle OI ^ {2}

El mayor de dos ángulos de un triángulo tiene la bisectriz de ángulo interno más corta: ^{[19] : p.72, # 114}

{\ displaystyle {\ text {If}} \ quad A> B \ quad {\ text {then}} \ quad t_ {a}

Bisectrices perpendiculares de lados [ editar ]

Estas desigualdades se refieren a las longitudes p _a etc. de las porciones interiores del triángulo de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. Denotando los lados para que$${\ displaystyle a \ geq b \ geq c,}tenemos ^[20]

$${\ displaystyle p_ {a} \ geq p_ {b}}

y

$${\ displaystyle p_ {c} \ geq p_ {b}.}

Segmentos desde un punto arbitrario [ editar ]

Punto interior [ editar ]

Considere cualquier punto P en el interior del triángulo, con los vértices del triángulo denotados A , B y C y con las longitudes de los segmentos de línea denotados PA, etc. Tenemos ^{[1] : pp. 275–7}

{\ displaystyle 2 (PA + PB + PC)> AB + BC + CA> PA + PB + PC,}

y más fuertemente que la segunda de estas desigualdades es ^{[1] : p. 278}

$${\ displaystyle PA + PB + PC \ leq AC + BC, \ quad PA + PB + PC \ leq AB + BC, \ quad PA + PB + PC \ leq AB + AC.}

También tenemos la desigualdad de Ptolomeo ^{[2] : p.19, # 770}

{\ displaystyle PA \ cdot BC + PB \ cdot CA> PC \ cdot AB}

para el punto interior P e igualmente para permutaciones cíclicas de los vértices.

Si dibujamos perpendiculares desde el punto interior P a los lados del triángulo, intersectando los lados en D , E y F , tenemos ^{[1] : p. 278}

$${\ displaystyle PA \ cdot PB \ cdot PC \ geq (PD + PE) (PE + PF) (PF + PD).}

Además, la desigualdad Erdős-Mordell establece que ^[21] [22]

$${\ displaystyle {\ frac {PA + PB + PC} {PD + PE + PF}} \ geq 2}

con igualdad en el caso equilátero. Más fuertemente, la desigualdad de Barrow establece que si las bisectrices interiores de los ángulos en el punto interior P (es decir, de ∠ APB , ∠ BPC y ∠ CPA ) se cruzan con los lados del triángulo en U , V y W , entonces ^[23]

$${\ displaystyle {\ frac {PA + PB + PC} {PU + PV + PW}} \ geq 2.}

También es más fuerte que la desigualdad de Erdős-Mordell lo siguiente: ^[24] Sea D, E, F las proyecciones ortogonales de P sobre BC, CA, AB respectivamente, y H, K, L las proyecciones ortogonales de P sobre las tangentes. a la circunferencia circunscrita del triángulo en A, B, C respectivamente. Entonces

$${\ displaystyle PH + PK + PL \ geq 2 (PD + PE + PF).}

Con las proyecciones ortogonales H, K, L desde P hacia las tangentes hasta el círculo circunferencial del triángulo en A, B, C respectivamente, tenemos ^[25]

$${\ displaystyle {\ frac {PH} {a ^ {2}}} + {\ frac {PK} {b ^ {2}}} + {\ frac {PL} {c ^ {2}}} \ geq { \ frac {1} {R}}}

donde R es el circunradio.

De nuevo con las distancias PD, PE, PF del punto interior P desde los lados tenemos estas tres desigualdades: ^{[2] : p.29, # 1045}

$${\ displaystyle {\ frac {PA ^ {2}} {PE \ cdot PF}} + {\ frac {PB ^ {2}} {PF \ cdot PD}} + {\ frac {PC ^ {2}} { PD \ cdot PE}} \ geq 12;}

$${\ displaystyle {\ frac {PA} {\ sqrt {PE \ cdot PF}}} + {\ frac {PB} {\ sqrt {PF \ cdot PD}}} + {\ frac {PC} {\ sqrt {PD \ cdot PE}}} \ geq 6;}

$${\ displaystyle {\ frac {PA} {PE + PF}} + {\ frac {PB} {PF + PD}} + {\ frac {PC} {PD + PE}} \ geq 3.}

Para el punto interior P con distancias PA, PB, PC desde los vértices y con el área triangular T , ^{[2] : p.37, # 1159}

$${\ displaystyle (b + c) PA + (c + a) PB + (a + b) PC \ geq 8T}

y ^{[2] : p.26, # 965}

$${\ displaystyle {\ frac {PA} {a}} + {\ frac {PB} {b}} + {\ frac {PC} {c}} \ geq {\ sqrt {3}}.}

Para un punto interior P , centroide G , puntos medios L, M, N de los lados y semiperímetro s , ^{[2] : p.140, # 3164 [2] : p.130, # 3052}

$${\ displaystyle 2 (PL + PM + PN) \ leq 3PG + PA + PB + PC \ leq s + 2 (PL + PM + PN).}

Por otra parte, para los números positivos k ₁ , k ₂ , k ₃ , y t con t menor que o igual a 1: ^{[26] : Thm.1}

$${\ displaystyle k_ {1} \ cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} \ cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} \ cdot (PC) ^ {t} \ geq 2 ^ {t } {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} k_ {3}}} \ left ({\ frac {(PD) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {1}}}} + {\ frac { (PE) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {2}}}} + {\ frac {(PF) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {3}}}} \ right),}

mientras que para t > 1 tenemos ^{[26] : Thm.2}

$${\ displaystyle k_ {1} \ cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} \ cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} \ cdot (PC) ^ {t} \ geq 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} k_ {3}}} \ left ({\ frac {(PD) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {1}}}} + {\ frac {(PE) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {2}}}} + {\ frac {(PF) ^ {t}} {\ sqrt {k_ {3}}}} \ right).}

Punto interior o exterior [ editar ]

Existen diversas desigualdades para un punto arbitrario interior o exterior en el plano en términos del radio r del círculo inscrito del triángulo. Por ejemplo, ^{[27] : p. 109}

$${\ displaystyle PA + PB + PC \ geq 6r.}

Otros incluyen: ^{[28] : págs. 180–1}

$${\ displaystyle PA ^ {3} + PB ^ {3} + PC ^ {3} + k \ cdot (PA \ cdot PB \ cdot PC) \ geq 8 (k + 3) r ^ {3}}

para k = 0, 1, ..., 6;

$${\ displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} + (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {2/3} \ geq 16r ^ {2};}

$${\ displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} +2 (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {2/3} \ geq 20r ^ {2};}

y

$${\ displaystyle PA ^ {4} + PB ^ {4} + PC ^ {4} + k (PA \ cdot PB \ cdot PC) ^ {4/3} \ geq 16 (k + 3) r ^ {4} }

para k = 0, 1, ..., 9.

Además, para circunradio R ,

$${\ displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {3/2} + (PB \ cdot PC) ^ {3/2} + (PC \ cdot PA) ^ {3/2} \ geq 12Rr ^ {2};}^{[29] : pág. 227}

$${\ displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 8 (R + r) Rr ^ {2};}^{[29] : pág. 233}

$${\ displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 48r ^ {4};}^{[29] : pág. 233}

$${\ displaystyle (PA \ cdot PB) ^ {2} + (PB \ cdot PC) ^ {2} + (PC \ cdot PA) ^ {2} \ geq 6 (7R-6r) r ^ {3}.}^{[29] : pág. 233}

Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y D , E y F sean los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC :

$${\ displaystyle PA + PB + PC \ leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}^[30]

Inradius, exradii y circumradius [ editar ]

Inradius y circumradius [ editar ]

La desigualdad de Euler para el circunradio R y el inradio r establece que

$${\ displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq 2,}

con igualdad solo en el caso equilátero . ^{[31] : pág. 198}

Una versión más fuerte ^{[5] : p. 198} es

$${\ displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} \ geq {\ frac {a } {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} - 1 \ geq {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {a}} \ right) \ geq 2.}

En comparación, ^{[2] : p.183, # 276.2}

$${\ displaystyle {\ frac {r} {R}} \ geq {\ frac {4abc-a ^ ​​{3} -b ^ {3} -c ^ {3}} {2abc}},}

donde el lado derecho podría ser positivo o negativo.

Otros dos refinamientos de la desigualdad de Euler son ^{[2] : p.134, # 3087}

$${\ displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {(b + c)} {3a}} + {\ frac {(c + a)} {3b}} + {\ frac {( a + b)} {3c}} \ geq 2}

y

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {R} {r}} \ right) ^ {3} \ geq \ left ({\ frac {a} {b}} + {\ frac {b} {a}} \ derecha) \ izquierda ({\ frac {b} {c}} + {\ frac {c} {b}} \ derecha) \ left ({\ frac {c} {a}} + {\ frac {a} { c}} \ right) \ geq 8.}

Otra desigualdad simétrica es ^{[2] : p.125, # 3004}

$${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ sqrt {b}} - {\ sqrt {c} } \ right) ^ {2} + \ left ({\ sqrt {c}} - {\ sqrt {a}} \ right) ^ {2}} {\ left ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {c}} \ right) ^ {2}}} \ leq {\ frac {4} {9}} \ left ({\ frac {R} {r}} - 2 \ right ).}

Además,

$${\ displaystyle {\ frac {R} {r}} \ geq {\ frac {2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})} {ab + bc + ca}};}^[1] : 288

$${\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} \ leq 8s (R ^ {2} -r ^ {2})}

en términos del semiperímetro s ; ^{[2] : p.20, n.º 816}

$${\ displaystyle r (r + 4R) \ geq {\ sqrt {3}} \ cdot T}

en términos del área T ; ^{[5] : pág. 201}

$${\ displaystyle s {\ sqrt {3}} \ leq r + 4R} ^{[5] : pág. 201}

y

$${\ displaystyle s ^ {2} \ geq 16Rr-5r ^ {2}} ^{[2] : p.17 # 708}

en términos del semiperímetro s ; y

$${\ displaystyle 2R ^ {2} + 10Rr-r ^ {2} -2 (R-2r) {\ sqrt {R ^ {2} -2Rr}} \ leq s ^ {2}}

$${\ displaystyle \ leq 2R ^ {2} + 10Rr-r ^ {2} +2 (R-2r) {\ sqrt {R ^ {2} -2Rr}}}

También en términos del semiperímetro. ^{[5] : pág. 206 [7] : pág. 99} Aquí la expresión$${\ displaystyle {\ sqrt {R ^ {2} -2Rr}} = d}donde d es la distancia entre el incentro y el circuncentro. En la última doble desigualdad, la primera parte se sostiene con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo de vértice de al menos 60 °, y la última parte se sostiene con igualdad si y solo si el triángulo es isósceles con un ángulo de vértice de a lo sumo 60 °. Por lo tanto, ambas son igualdades si y solo si el triángulo es equilátero. ^{[7] : Thm. 1}

También tenemos para cualquier lado un ^[32]

$${\ displaystyle (Rd) ^ {2} -r ^ {2} \ leq 4R ^ {2} r ^ {2} \ left ({\ frac {(R + d) ^ {2} -r ^ {2} } {(R + d) ^ {4}}} \ right) \ leq {\ frac {a ^ {2}} {4}} \ leq Q \ leq (R + d) ^ {2} -r ^ { 2},}

dónde $${\ displaystyle Q = R ^ {2}}si el circuncentro está dentro o fuera del círculo y$${\ displaystyle Q = 4R ^ {2} r ^ {2} \ left ({\ frac {(Rd) ^ {2} -r ^ {2}} {(Rd) ^ {4}}} \ right)}si el circuncentro está dentro del incircle. El circuncentro está dentro del círculo si y solo si ^[32]

{\ displaystyle {\ frac {R} {r}} <{\ sqrt {2}} + 1.}

Promover, adicional,

$${\ displaystyle {\ frac {9r} {2T}} \ leq {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} \ leq { \ frac {9R} {4T}}.}^{[1] : pág. 291}

La desigualdad de Blundon establece que ^{[5] : p. 206; [33] [34]}

$${\ displaystyle s \ leq (3 {\ sqrt {3}} - 4) r + 2R.}

También tenemos, para todos los triángulos agudos, ^[35]

{\ displaystyle s> 2R + r.}

Para el centro del círculo I , deje que AI , BI y CI se extiendan más allá de I para intersecar el círculo en D , E y F, respectivamente. Entonces ^{[2] : p.14, # 644}

$${\ displaystyle {\ frac {AI} {ID}} + {\ frac {BI} {IE}} + {\ frac {CI} {IF}} \ geq 3.}

En términos de los ángulos de vértice tenemos ^{[2] : p.193, # 342.6}

$${\ displaystyle \ cos A \ cdot \ cos B \ cdot \ cos C \ leq \ left ({\ frac {r} {R {\ sqrt {2}}}} \ right) ^ {2}.}

Denotar como $${\ displaystyle R_ {A}, R_ {B}, R_ {C}}los radios de los círculos tangentes en los vértices al círculo circunferencial del triángulo y a los lados opuestos. Entonces ^{[36] : Thm. 4 4}

$${\ displaystyle {\ frac {4} {R}} \ leq {\ frac {1} {R_ {A}}} + {\ frac {1} {R_ {B}}} + {\ frac {1} { R_ {C}}} \ leq {\ frac {2} {r}}}

con igualdad solo en el caso equilátero, y ^{[36] : Thm. 6 6}

$${\ displaystyle {\ frac {9} {2}} r \ leq R_ {A} + R_ {B} + R_ {C} \ leq {\ frac {9} {4}} R}

con igualdad solo en el caso equilátero.

Circunradio y otras longitudes [ editar ]

Para el circumradius R tenemos ^{[2] : p.101, # 2625}

$${\ displaystyle 18R ^ {3} \ geq (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) R + abc {\ sqrt {3}}}

y ^{[2] : p.35, # 1130}

$${\ displaystyle a ^ {2/3} + b ^ {2/3} + c ^ {2/3} \ leq 3 ^ {7/4} R ^ {3/2}.}

También tenemos ^{[1] : págs. 287–90}

$${\ displaystyle a + b + c \ leq 3 {\ sqrt {3}} \ cdot R,}

$${\ displaystyle 9R ^ {2} \ geq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2},}

$${\ displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} \ leq 3 {\ sqrt {3}} \ cdot R}

en términos de altitudes,

$${\ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2} \ leq {\ frac {27} {4}} R ^ {2}}

en términos de las medianas, y ^{[2] : p.26, # 957}

$${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} + {\ frac {bc} {b + c}} + {\ frac {ca} {c + a}} \ geq {\ frac {2T} { R}}}

en cuanto a la zona.

Además, para el circuncentro O , deje que las líneas AO , BO y CO se crucen con los lados opuestos BC , CA y AB en U , V y W, respectivamente. Entonces ^{[2] : p.17, # 718}

$${\ displaystyle OU + OV + OW \ geq {\ frac {3} {2}} R.}

Para un triángulo agudo, la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface ^{[2] : p.26, # 954}

{\ displaystyle OH

con la desigualdad opuesta para un triángulo obtuso.

El circunradio es al menos el doble de la distancia entre el primer y el segundo punto de Brocard B ₁ y B ₂ : ^[37]

$${\ displaystyle R \ geq 2B_ {1} B_ {2}.}

Inradius, exradii y otras longitudes [ editar ]

Para el inradius r tenemos ^{[1] : pp. 289–90}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {2r} },}

$${\ displaystyle 9r \ leq h_ {a} + h_ {b} + h_ {c}}

en términos de altitudes, y

$${\ displaystyle {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2}}} \ geq 6r}

en términos de los radios de los círculos. Adicionalmente tenemos

$${\ displaystyle {\ sqrt {s}} ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {c}}) \ leq {\ sqrt {2}} (r_ {a} + r_ {b} + r_ {c})}^{[2] : p.66, # 1678}

y

$${\ displaystyle {\ frac {abc} {r}} \ geq {\ frac {a ^ {3}} {r_ {a}}} + {\ frac {b ^ {3}} {r_ {b}}} + {\ frac {c ^ {3}} {r_ {c}}}.}^{[2] : p.183, # 281.2}

Los exradii y las medianas están relacionados por ^{[2] : p.66, # 1680}

$${\ displaystyle {\ frac {r_ {a} r_ {b}} {m_ {a} m_ {b}}} + {\ frac {r_ {b} r_ {c}} {m_ {b} m_ {c} }} + {\ frac {r_ {c} r_ {a}} {m_ {c} m_ {a}}} \ geq 3.}

Además, para un triángulo agudo la distancia entre el centro del círculo I y el ortocentro H satisface ^{[2] : p.26, # 954}

{\ displaystyle IH

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Además, un triángulo agudo satisface ^{[2] : p.26, # 954}

{\ displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8r font="">

en términos del circunradio R , de nuevo con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Si las bisectrices de los ángulos internos de los ángulos A , B , C se encuentran con los lados opuestos en U , V , W , entonces ^{[2] : p.215,32nd IMO, # 1}

{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} <{\ frac {AI \ cdot BI \ cdot CI} {AU \ cdot BV \ cdot CW}} \ leq {\ frac {8} {27}}.}

Si las bisectrices del ángulo interno a través del incentro me extiendo para encontrar el círculo circunferencial en X , Y y Z entonces ^{[2] : p.181, # 264.4}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {IX}} + {\ frac {1} {IY}} + {\ frac {1} {IZ}} \ geq {\ frac {3} {R}}}

para circumradius R y ^{[2] : p.181, # 264.4 [2] : p.45, # 1282}

$${\ displaystyle 0 \ leq (IX-IA) + (IY-IB) + (IZ-IC) \ leq 2 (R-2r).}

Si el círculo es tangente a los lados en D , E , F , entonces ^{[2] : p.115, # 2875}

$${\ displaystyle EF ^ {2} + FD ^ {2} + DE ^ {2} \ leq {\ frac {s ^ {2}} {3}}}

para semiperimetro s .