LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

 triángulo hiperbólico es un triángulo en el plano hiperbólico . Consiste en tres segmentos de línea llamados lados o bordes y tres puntos llamados ángulos o vértices .

Al igual que en el caso euclidiano , tres puntos de un espacio hiperbólico de una dimensión arbitraria siempre se encuentran en el mismo plano. Por lo tanto, los triángulos hiperbólicos planos también describen triángulos posibles en cualquier dimensión superior de espacios hiperbólicos.

Un triángulo hiperbólico incrustado en una superficie en forma de silla de montar

Un mosaico triangular de orden 7 tiene triángulos equiláteros con ángulos internos de 2π / 7 radianes

Definición [ editar ]

Un triángulo hiperbólico consta de tres puntos no colineales y los tres segmentos entre ellos. ^[1]

Propiedades [ editar ]

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades que son análogas a las de los triángulos en geometría euclidiana :

• Cada triángulo hiperbólico tiene un círculo inscrito, pero no todos los triángulos hiperbólicos tienen un círculo circunscrito (ver más abajo). Sus vértices pueden estar en un horociclo o hiperciclo .

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades que son análogas a las de los triángulos en geometría esférica o elíptica :

• Dos triángulos con la misma suma de ángulos son iguales en área.
• Hay un límite superior para el área de triángulos.
• Hay un límite superior para el radio del círculo inscrito .
• Dos triángulos son congruentes si y solo si corresponden bajo un producto finito de reflexiones lineales.
• Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son congruentes (es decir, todos los triángulos similares son congruentes).

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades que son opuestas a las propiedades de los triángulos en geometría esférica o elíptica:

• La suma angular de un triángulo es inferior a 180 °.
• El área de un triángulo es proporcional al déficit de la suma de su ángulo desde 180 °.

Los triángulos hiperbólicos también tienen algunas propiedades que no se encuentran en otras geometrías:

• Algunos triángulos hiperbólicos no tienen un círculo circunscrito , este es el caso cuando al menos uno de sus vértices es un punto ideal o cuando todos sus vértices se encuentran en un horociclo o en un hiperciclo unilateral .
• Los triángulos hiperbólicos son delgados , hay una distancia máxima δ desde un punto en un borde a uno de los otros dos bordes. Este principio dio lugar al espacio δ-hiperbólico .

Triángulos con vértices ideales [ editar ]

Tres triángulos ideales en el modelo de disco Poincaré

La definición de un triángulo puede generalizarse, permitiendo vértices en el límite ideal del plano mientras se mantienen los lados dentro del plano. Si un par de lados está limitando en paralelo (es decir, la distancia entre ellos se aproxima a cero cuando tienden al punto ideal , pero no se cruzan), entonces terminan en un vértice ideal representado como un punto omega .

Tal par de lados también se puede decir que forman un ángulo de cero .

Un triángulo con un ángulo cero es imposible en la geometría euclidiana para lados rectos que se encuentran en líneas distintas. Sin embargo, tales ángulos cero son posibles con círculos tangentes .

Un triángulo con un vértice ideal se llama triángulo omega .

Triángulos especiales con vértices ideales son:

Triángulo de paralelismo [ editar ]

Un triángulo donde un vértice es un punto ideal, un ángulo es recto: el tercer ángulo es el ángulo de paralelismo para la longitud del lado entre el derecho y el tercer ángulo.

Triángulo de Schweikart [ editar ]

El triángulo donde dos vértices son puntos ideales y el ángulo restante es recto , uno de los primeros triángulos hiperbólicos (1818) descrito por Ferdinand Karl Schweikart .

Triángulo ideal [ editar ]

Artículo principal: triángulo ideal

El triángulo donde todos los vértices son puntos ideales, un triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica debido a la suma cero de los ángulos.

Curvatura gaussiana estandarizada [ editar ]

Las relaciones entre los ángulos y los lados son análogas a las de la trigonometría esférica ; La escala de longitud para la geometría esférica y la geometría hiperbólica se puede definir, por ejemplo, como la longitud de un lado de un triángulo equilátero con ángulos fijos.

La escala de longitud es más conveniente si las longitudes se miden en términos de la longitud absoluta (una unidad especial de longitud análoga a las relaciones entre distancias en geometría esférica ). Esta elección para esta escala de longitud simplifica las fórmulas. ^[2]

En términos del modelo de medio plano de Poincaré, la longitud absoluta corresponde a la métrica infinitesimal $${\ displaystyle ds = {\ frac {| dz |} {\ operatorname {Im} (z)}}}y en el modelo de disco Poincaré para$${\ displaystyle ds = {\ frac {2 | dz |} {1- | z | ^ {2}}}}.

En términos de la curvatura gaussiana K (constante y negativa) de un plano hiperbólico, una unidad de longitud absoluta corresponde a una longitud de

$${\ displaystyle R = {\ frac {1} {\ sqrt {-K}}}}.

En un triángulo hiperbólico, la suma de los ángulos A , B , C (respectivamente opuestos al lado con la letra correspondiente) es estrictamente menor que un ángulo recto . La diferencia entre la medida de un ángulo recto y la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo se llama defecto del triángulo. El área de un triángulo hiperbólico es igual a su defecto multiplicado por el cuadrado de  R :

$${\ displaystyle (\ pi -ABC) R ^ {2} {} {} \!}.

Este teorema, probado por primera vez por Johann Heinrich Lambert , ^[3] está relacionado con el teorema de Girard en geometría esférica.

Trigonometría [ editar ]

En todas las fórmulas indicadas a continuación los lados un , b , y c se deben medir en longitud absoluta , una unidad de manera que la curvatura gaussiana K del plano es -1. En otras palabras, se supone que la cantidad R en el párrafo anterior es igual a 1.

Las fórmulas trigonométricas para triángulos hiperbólicos dependen de las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh.

Trigonometría de triángulos rectángulos [ editar ]

Si C es un ángulo recto, entonces:

• El seno del ángulo A es el seno hiperbólico del lado opuesto al ángulo dividido por el seno hiperbólico de la hipotenusa .

$${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ textrm {sinh (opuesto)}} {\ textrm {sinh (hipotenusa)}}} = {\ frac {\ sinh a} {\, \ sinh c \,}} . \,}

• El coseno del ángulo A es la tangente hiperbólica de la pierna adyacente dividida por la tangente hiperbólica de la hipotenusa.

$${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {\ textrm {tanh (adyacente)}} {\ textrm {tanh (hipotenusa)}}} = {\ frac {\ tanh b} {\, \ tanh c \,}} . \,}

• La tangente del ángulo A es la tangente hiperbólica de la pierna opuesta dividida por el seno hiperbólico de la pierna adyacente.

$${\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ textrm {tanh (opuesto)}} {\ textrm {sinh (adyacente)}}} = {\ frac {\ tanh a} {\, \ sinh b \,}} }.

• El coseno hiperbólico de la pata adyacente al ángulo A es el coseno del ángulo B dividido por el seno del ángulo A.

$${\ displaystyle {\ textrm {cosh (adyacente)}} = {\ frac {\ cos B} {\ sin A}}}.

• El coseno hiperbólico de la hipotenusa es el producto de los cosenos hiperbólicos de las piernas.

$${\ displaystyle {\ textrm {cosh (hypotenuse)}} = {\ textrm {cosh (adyacente)}} {\ textrm {cosh (opuesto)}}}.

• El coseno hiperbólico de la hipotenusa es también el producto de los cosenos de los ángulos divididos por el producto de sus senos . ^[4]

$${\ displaystyle {\ textrm {cosh (hypotenuse)}} = {\ frac {\ cos A \ cos B} {\ sin A \ sin B}} = \ cot A \ cot B}

Relaciones entre ángulos [ editar ]

También tenemos las siguientes ecuaciones: ^[5]

$${\ displaystyle \ cos A = \ cosh a \ sin B}

$${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ cos B} {\ cosh b}}}

$${\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ cot B} {\ cosh c}}}

$${\ displaystyle \ cos B = \ cosh b \ sin A}

$${\ displaystyle \ cosh c = \ cot A \ cot B}

Área [ editar ]

El área de un triángulo rectángulo es:

$${\ displaystyle {\ textrm {Area}} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ angle A- \ angle B}

además

$${\ displaystyle {\ textrm {Area}} = 2 \ arctan (\ tanh ({\ frac {a} {2}}) \ tanh ({\ frac {b} {2}}))}^{[ cita requerida ] [6]}

Ángulo de paralelismo [ editar ]

La instancia de un triángulo omega con un ángulo recto proporciona la configuración para examinar el ángulo de paralelismo en el triángulo.

En este caso, el ángulo B = 0, a = c =$${\ displaystyle \ infty} y $${\ displaystyle {\ textrm {tanh}} (\ infty) = 1}, Resultando en $${\ displaystyle \ cos A = {\ textrm {tanh (adyacente)}}}.

Triángulo equilátero [ editar ]

Las fórmulas de trigonometría de los triángulos rectángulos también dan las relaciones entre los lados sy los ángulos A de un triángulo equilátero (un triángulo donde todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos son iguales).

Las relaciones son:

$${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {{\ textrm {tanh}} {\ frac {1} {2}} s} {{\ textrm {tanh}} (s)}}}

$${\ displaystyle \ cosh {\ frac {1} {2}} s = {\ frac {\ cos ({\ frac {1} {2}} A)} {\ sin (A)}} = {\ frac { 1} {2 \ sin ({\ frac {1} {2}} A)}}}

Trigonometría general [ editar ]

Ya sea que C sea ​​un ángulo recto o no, las siguientes relaciones son válidas: la ley hiperbólica del coseno es la siguiente:

$${\ displaystyle \ cosh c = \ cosh a \ cosh b- \ sinh a \ sinh b \ cos C,}

Su doble teorema es

$${\ displaystyle \ cos C = - \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B \ cosh c,}

También hay una ley de los senos :

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sinh a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sinh b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sinh c}},}

y una fórmula de cuatro partes:

$${\ displaystyle \ cos C \ cosh a = \ sinh a \ coth b- \ sin C \ cot B}

que se deriva de la misma manera que la fórmula analógica en la trigonometría esférica .

hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo , el lado opuesto al ángulo recto . La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras , que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Por ejemplo, si uno de los otros lados tiene una longitud de 3 (cuando está al cuadrado, 9) y el otro tiene una longitud de 4 (cuando está al cuadrado, 16), entonces sus cuadrados suman 25. La longitud de la hipotenusa es el raíz cuadrada de 25, es decir, 5.

Un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

Etimología [ editar ]

Busque ὑποτείνουσα en Wiktionary, el diccionario gratuito.

La palabra hipotenusa se deriva de griego eta τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (sc. Γραμμή o πλευρά ), que significa "[lado] que subtiende el ángulo derecho" ( Apolodoro ), ^[1] ὑποτείνουσα hupoteinousa siendo el femenino participio presente activo del verbo ὑποτείνω hupo -teinō "estirar abajo, subtender", de τείνω teinō "estirar, extender". El participio nominalizado, ἡ ὑποτείνουσα , se usó para la hipotenusa de un triángulo en el siglo IV a. C. (atestiguado en Platón , Timeo54d). El término griego se prestó al latín tardío , como hypotēnūsa . ^{[2] [se necesita una mejor fuente ]} La ortografía en -e , como hipotenusa , es de origen francés ( Estienne de La Roche 1520). ^[3]

Cálculo de la hipotenusa [ editar ]

La longitud de la hipotenusa se calcula utilizando la función de raíz cuadrada implícita en el teorema de Pitágoras . Usando la notación común de que la longitud de las dos patas del triángulo (los lados perpendiculares entre sí) son a y by la de la hipotenusa es c , tenemos

$${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

El teorema de Pitágoras, y por lo tanto esta longitud, también se puede derivar de la ley de los cosenos al observar que el ángulo opuesto a la hipotenusa es de 90 ° y observar que su coseno es 0:

$${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos 90 ^ {\ circ} = a ^ {2} + b ^ {2} \ por lo tanto c = {\ sqrt { a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

Muchos lenguajes de computadora admiten la función estándar ISO C hypot ( x , y ), que devuelve el valor anterior. La función está diseñada para no fallar donde el cálculo directo puede desbordarse o desbordarse y puede ser un poco más preciso.

Algunas calculadoras científicas proporcionan una función para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares . Esto proporciona tanto la longitud de la hipotenusa como el ángulo que la hipotenusa forma con la línea base ( c ₁ arriba) al mismo tiempo cuando se le da x e y . El ángulo devuelto normalmente viene dado por atan2 ( y , x ).

Propiedades [ editar ]

En la figura, una es la hipotenusa y b y c son los catetos. La proyección ortográfica de b es m , y de c es n .

Proyecciones ortográficas :

• La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortográficas de ambos catheti.
• El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudes de su proyección ortográfica en la hipotenusa multiplicada por la longitud de este.

b² = a · m

c² = a · n

• Además, la longitud de un cathetus b es la media proporcional entre las longitudes de su proyección my la hipotenusa a .

a / b = b / m

a / c = c / n

Relaciones trigonométricas [ editar ]

Por medio de razones trigonométricas , se puede obtener el valor de dos ángulos agudos,$${\ displaystyle \ alpha \,}y $${\ displaystyle \ beta \,}, del triángulo rectángulo.

Dada la longitud de la hipotenusa $${\ displaystyle c \,}y de un cateto $${\ displaystyle b \,}, la relación es:

$${\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = \ sin (\ beta) \,}

La función inversa trigonométrica es:

$${\ displaystyle \ beta \ = \ arcsin \ left ({\ frac {b} {c}} \ right) \,}

en el cual $${\ displaystyle \ beta \,} es el ángulo opuesto al cateto $${\ displaystyle b \,}.

El ángulo adyacente de los catheti. $${\ displaystyle b \,} es $${\ displaystyle \ alpha \,} = 90 ° - $${\ displaystyle \ beta \,}

También se puede obtener el valor del ángulo $${\ displaystyle \ beta \,}por la ecuación:

$${\ displaystyle \ beta \ = \ arccos \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) \,}

en el cual $${\ displaystyle a \,} Es el otro cateto.