LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

Heron .

Un triángulo con lados un , b , y c .

En geometría , la fórmula de Heron (a veces llamada fórmula de Hero), llamada así por Hero of Alexandria , ^[1] da el área de un triángulo cuando se conoce la longitud de los tres lados. A diferencia de otras fórmulas de área de triángulo, no es necesario calcular ángulos u otras distancias en el triángulo primero.

Formulación [ editar ]

La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes una , b , y c es

$${\ displaystyle A = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}},}

donde s es el semiperímetro del triángulo; es decir,

$${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}.}^[2]

La fórmula de Heron también se puede escribir como

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}}

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {4 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2}}}.}

Ejemplo [ editar ]

Sea △ ABC el triángulo con lados a = 4 , b = 13 y c = 15 . El semiperímetro es s = 1/2 ( un + b + c ) = 1/2 (4 + 13 + 15) = 16 , y la zona es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = {\ sqrt {s \ left (sa \ right) \ left (sb \ right) \ left (sc \ right)}} = {\ sqrt {16 \ cdot (16- 4) \ cdot (16-13) \ cdot (16-15)}} \\ & = {\ sqrt {16 \ cdot 12 \ cdot 3 \ cdot 1}} = {\ sqrt {576}} = 24. \ end {alineado}}}

En este ejemplo, las longitudes laterales y el área son todos enteros , lo que lo convierte en un triángulo heroniano . Sin embargo, la fórmula de Heron funciona igualmente bien en los casos en que uno o todos estos números no son un número entero.

Historia [ editar ]

La fórmula se acredita a Heron (o Héroe) de Alejandría , y se puede encontrar una prueba en su libro, Metrica , escrito c. CE 60. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, ^[3] y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo. ^[4]

Una fórmula equivalente a la de Heron, a saber

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} c ^ {2} - \ left ({\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2}} \ right) ^ {2}}}}

fue descubierto por los chinos independientemente ^{[ cita requerida ]} de los griegos. Fue publicado en Tratado matemático en nueve secciones ( Qin Jiushao , 1247). ^[5]

Pruebas [ editar ]

La prueba original de Heron hizo uso de cuadriláteros cíclicos , mientras que otros argumentos apelan a la trigonometría como se muestra a continuación, o al incentro y un círculo del triángulo [2] .

Prueba trigonométrica utilizando la ley de cosenos [ editar ]

Sigue una prueba moderna, que utiliza álgebra y es bastante diferente a la proporcionada por Heron (en su libro Metrica). ^[6] Sean a , b , c los lados del triángulo y α , β , γ los ángulos opuestos a esos lados. Aplicando la ley de cosenos obtenemos

$${\ displaystyle \ cos \ gamma = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}}

De esta prueba obtenemos la declaración algebraica de que

$${\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ gamma}} = {\ frac {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} {2ab}}.}

La altitud del triángulo en la base a tiene una longitud b sin γ , y sigue

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = {\ frac {1} {2}} ({\ mbox {base}}) ({\ mbox {altitud}}) \\ & = {\ frac {1} { 2}} ab \ sin \ gamma \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} - c ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(2ab- (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2 })) (2ab + (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}))}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(c ^ {2 } - (ab) ^ {2}) ((a + b) ^ {2} -c ^ {2})}} \\ & = {\ sqrt {\ frac {(c- (ab)) (c + ( ab)) ((a + b) -c) ((a + b) + c)} {16}}} \\ & = {\ sqrt {{\ frac {(b + ca)} {2}} { \ frac {(a + cb)} {2}} {\ frac {(a + bc)} {2}} {\ frac {(a + b + c)} {2}}}} \\ & = { \ sqrt {{\ frac {(a + b + c)} {2}} {\ frac {(b + ca)} {2}} {\ frac {(a + cb)} {2}} {\ frac {(a + bc)} {2}}}} \\ & = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}. \ end {alineado}}}

La diferencia de factorización de dos cuadrados se utilizó en dos pasos diferentes.

Prueba algebraica usando el teorema de Pitágoras [ editar ]

Triángulo con altitud h cortando la base c en d + ( c - d ) .

La siguiente prueba es muy similar a la dada por Raifaizen. ^[7] Según el teorema de Pitágoras tenemos b ² = h ² + d ² y a ² = h ² + ( c - d ) ² según la figura de la derecha. Restando estos rendimientos a ² - b ² = c ² - 2 cd . Esta ecuación nos permite expresar d en términos de los lados del triángulo:

$${\ displaystyle d = {\ frac {-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2c}}}

Para la altura del triángulo tenemos que h ² = b ² - d ² . Al reemplazar d con la fórmula dada anteriormente y aplicar la identidad de la diferencia de cuadrados obtenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} h ^ {2} & = b ^ {2} - \ left ({\ frac {-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2c }} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {(2bc-a ^ ​​{2} + b ^ {2} + c ^ {2}) (2bc + a ^ {2} -b ^ { 2} -c ^ {2})} {4c ^ {2}}} \\ & = {\ frac {((b + c) ^ {2} -a ^ {2}) (a ^ {2} - (bc) ^ {2})} {4c ^ {2}}} \\ & = {\ frac {(b + ca) (b + c + a) (a + bc) (a-b + c)} {4c ^ {2}}} \\ & = {\ frac {2 (sa) \ cdot 2s \ cdot 2 (sc) \ cdot 2 (sb)} {4c ^ {2}}} \\ & = {\ frac {4s (sa) (sb) (sc)} {c ^ {2}}} \ end {alineado}}}

Ahora aplicamos este resultado a la fórmula que calcula el área de un triángulo desde su altura:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = {\ frac {ch} {2}} \\ & = {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {4}} \ cdot {\ frac {4s (sa) (sb) (sc)} {c ^ {2}}}}} \\ & = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}} \ end {alineado}}}

Prueba trigonométrica utilizando la ley de cotangentes [ editar ]

Significado geométrico de s - un , s - b , y s - c . Vea la Ley de cotangentes para el razonamiento detrás de esto.

De la primera parte de la prueba de la Ley de cotangentes , ^[8] tenemos que el área del triángulo es ambas

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = r {\ big (} (sa) + (sb) + (sc) {\ big)} = r ^ {2} \ left ({\ frac {sa} {r }} + {\ frac {sb} {r}} + {\ frac {sc} {r}} \ right) \\ & = r ^ {2} \ left (\ cot {\ frac {\ alpha} {2 }} + \ cot {\ frac {\ beta} {2}} + \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ right) \\\ end {alineado}}}

y A = rs , pero, dado que la suma de los ángulos medios es π/2 , se aplica la identidad de cotangente triple , por lo que el primero de ellos es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = r ^ {2} \ left (\ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ cot {\ frac {\ beta} {2}} \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ right) = r ^ {2} \ left ({\ frac {sa} {r}} \ cdot {\ frac {sb} {r}} \ cdot {\ frac {sc} {r}} \ right) \\ & = {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {r}} \\\ end {alineado}}}

Combinando los dos, obtenemos

$${\ displaystyle A ^ {2} = s (sa) (sb) (sc)}

de donde se desprende el resultado.

Estabilidad numérica [ editar ]

La fórmula de Heron como se indicó anteriormente es numéricamente inestable para triángulos con un ángulo muy pequeño cuando se usa la aritmética de coma flotante. Una alternativa estable ^[9] [10] implica organizar las longitudes de los lados de modo que a ≥ b ≥ c y calcular

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + (b + c)) (c- (ab)) (c + (ab)) (a + (bc))}}.}

Los corchetes en la fórmula anterior son necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

Otras fórmulas de área que se asemejan a la fórmula de Heron [ editar ]

Otras tres fórmulas de área tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de diferentes variables. En primer lugar, que denota las medianas de los lados un , b , y c , respectivamente, como m _un , m _b , y m _c y su semi-suma 1/2 ( m _un + m _b + m _c ) como σ , tenemos ^[11]

$${\ displaystyle A = {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {\ sigma (\ sigma -m_ {a}) (\ sigma -m_ {b}) (\ sigma -m_ {c})}} .}

Siguiente, denotando las altitudes de los lados un , b , y c , respectivamente, como h _una , h _b y h _c , y denota la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como H = 1/2 ( h -1
a + h −1
b + h −1
c ) tenemos ^[12]

$${\ displaystyle A ^ {- 1} = 4 {\ sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {-1})}}.}

Finalmente, denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como S = 1/2 (sen α + sen β + sen γ ) , tenemos ^[13]

$${\ displaystyle A = D ^ {2} {\ sqrt {S (S- \ sin \ alpha) (S- \ sin \ beta) (S- \ sin \ gamma)}}}

donde D es el diámetro del círculo circunferencial: D = a/sin α = b/sin β = c/sin γ .

Generalizaciones [ editar ]

La fórmula de Heron es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico . La fórmula de Heron y la fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la fórmula de Bretschneider para el área de un cuadrilátero . La fórmula de Heron se puede obtener de la fórmula de Brahmagupta o de la fórmula de Bretschneider ajustando uno de los lados del cuadrilátero a cero.

La fórmula de Heron también es un caso especial de la fórmula para el área de un trapecio o trapecio basada solo en sus lados. La fórmula de Heron se obtiene al establecer el lado paralelo más pequeño en cero.

Expresando la fórmula de Heron con un determinante de Cayley-Menger en términos de los cuadrados de las distancias entre los tres vértices dados,

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {- {\ begin {vmatrix} 0 & a ^ {2} & b ^ {2} & 1 \\ a ^ {2} & 0 & c ^ {2} & 1 \\ b ^ {2} & c ^ {2} y 0 y 1 \\ 1 y 1 y 1 y 0 \ end {vmatrix}}}}}

ilustra su similitud con la fórmula de Tartaglia para el volumen de un tres-simplex .

David P. Robbins descubrió otra generalización de la fórmula de Heron para los pentágonos y hexágonos inscritos en un círculo . ^[14]

Fórmula tipo garza para el volumen de un tetraedro [ editar ]

Si U , V , W , u , v , w son longitudes de los bordes del tetraedro (los tres primeros forman un triángulo; u opuesto a U y así sucesivamente), entonces ^[15]

$${\ displaystyle {\ text {volume}} = {\ frac {\ sqrt {\, (- a + b + c + d) \, (a-b + c + d) \, (a + b-c + d) \, (a + b + cd)}} {192 \, u \, v \, w}}}

dónde

{\ displaystyle {\ begin {alineado} a & = {\ sqrt {xYZ}} \\ b & = {\ sqrt {yZX}} \\ c & = {\ sqrt {zXY}} \\ d & = {\ sqrt {xyz} } \\ X & = (w-U + v) \, (U + v + w) \\ x & = (U-v + w) \, (v-w + U) \\ Y & = (u-V + w) \, (V + w + u) \\ y & = (V-w + u) \, (w-u + V) \\ Z & = (v-W + u) \, (W + u + v ) \\ z & = (W-u + v) \, (u-v + W). \ end {alineado}}}

 punto de Hofstadter es un punto especial asociado con cada triángulo plano . De hecho, hay varios puntos de Hofstadter asociados con un triángulo. Todos ellos son centros triangulares . Dos de ellos, el Hofstadter de punto cero y Hofstadter de un punto , son particularmente interesantes. ^[1] Son dos centros triangulares trascendentales . El punto cero de Hofstadter es el centro designado como X (360) y el punto de Hofstafter es el centro indicado como X (359) en la Enciclopedia de Centros Triángulo de Clark Kimberling . El punto cero de Hofstadter fue descubierto por Douglas Hofstadter en 1992.

Triángulos de Hofstadter [ editar ]

Deje que ABC sea ​​un triángulo dado. Sea r una constante positiva real.

Gire el segmento de línea BC alrededor de B a través de un ángulo rB hacia A y deje que L _BC sea ​​la línea que contiene este segmento de línea. Siguiente gire el segmento de línea BC sobre C a través de un ángulo rC hacia A . Deje L ' _BC ser la línea que contiene este segmento de línea. Deje que las líneas L _BC y L ' _{BC se} crucen en A ( r ). De manera similar, los puntos B ( r ) y C ( r) están construidos. El triángulo cuyos vértices son A ( r ), B ( r ), C ( r ) es el triángulo Hofstadter r (o, el triángulo r -Hofstadter) del triángulo ABC . ^[2] [1]

Caso especial [ editar ]

• El triángulo de Hofstadter 1/3 del triángulo ABC es el primer triángulo de Morley del triángulo ABC . El triángulo de Morley es siempre un triángulo equilátero .
• El triángulo 1/2 de Hofstadter es simplemente el incentivo del triángulo.

Coordenadas trilineales de los vértices de los triángulos de Hofstadter [ editar ]

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo r de Hofstadter se dan a continuación:

A ( r ) = (1, sen rB / sin (1 - r ) B , sin rC / sin (1 - r ) C )

B ( r ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , 1, sin rC / sin (1 - r ) C )

C ( r ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , sin (1 - r ) B / sin rB , 1)

Puntos de Hofstadter [ editar ]

Animación que muestra varios puntos de Hofstadter. H ₀ es el punto cero de Hofstadter. H ₁ es el Hofstadter de un punto. El pequeño arco rojo en el centro del triángulo es el lugar geométrico de los puntos r de Hofstadter para 0 < r <1 .="" a="" centro="" del="" este="" font="" geom="" lugar="" nbsp="" pasa="" s="" trav="" trico="">I del triángulo.

Para una constante real positiva r > 0, dejemos que A ( r ) B ( r ) C ( r ) sea el triángulo de Hofstadter r del triángulo ABC . Entonces las líneas AA ( r ), BB ( r ), CC ( r ) son concurrentes. ^[3] El punto de concurrencia es el punto de Hofstdter r del triángulo ABC .

Coordenadas trilineales del punto r de Hofstadter [ editar ]

Las coordenadas trilineales del punto r de Hofstadter se dan a continuación.

(sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

Hofstadter cero y uno puntos [ editar ]

Las coordenadas trilineales de estos puntos no pueden obtenerse conectando los valores 0 y 1 para r en las expresiones para las coordenadas trilineales para el punto r de Hofstdter .

El punto cero de Hofstadter es el límite del punto r de Hofstadter cuando r se acerca a cero.

Un punto de Hofstadter es el límite del punto r de Hofstadter cuando r se acerca a uno.

Coordenadas trilineales del punto cero de Hofstadter

= lim _{r → 0} (sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

= lim _{r → 0} (sin rA / r sin ( A - rA ), sin rB / r sin ( B - rB ), sin rC / r sin ( C - rC ))

= lim _{r → 0} ( A sin rA / rA sin ( A - rA ), B sin rB / rB sin ( B - rB ), C sin rC / rC sin ( C - rC ))

= ( A / sin A , B / sin B , C / sin C )), como lim _{r → 0} sin rA / rA = 1, etc.

= ( A / a , B / b , C / c )

Coordenadas trilineales de Hofstadter de un punto

= lim _{r → 1} (sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

= lim _{r → 1} ((1 - r ) sin rA / sin ( A - rA ), (1 - r ) sin rB / sin ( B - rB ), (1 - r ) sin rC / sin ( C - rC ) )

= lim _{r → 1} ((1 - r ) A sin rA / A sin ( A - rA ), (1 - r ) B sin rB / B sin ( B - rB ), (1 - r ) C sin rC / C sin ( C - rC ))

= (sin A / A , sin B / B , sin C / C )) como lim _{r → 1} (1 - r ) A / sin ( A - rA ) = 1, etc.

= ( a / A , b / B , c / C )