LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

círculo de Brocard (o círculo de siete puntos ) para un triángulo es un círculo definido a partir de un triángulo dado . Pasa a través del circuncentro y el simétrico del triángulo, y se centra en el punto medio del segmento de línea que los une (de modo que este segmento es un diámetro ).

Ecuación [ editar ]

En cuanto a las longitudes laterales. $${\ displaystyle a}, $${\ displaystyle b}y $${\ displaystyle c}del triángulo dado, y las coordenadas de área $${\ displaystyle (x, y, z)} para puntos dentro del triángulo (donde el $${\ displaystyle x}-coordenada de un punto es el área del triángulo formado por ese punto con el lado de la longitud $${\ displaystyle a}, etc.), el círculo de Brocard consiste en los puntos que satisfacen la ecuación ^[1]

$${\ displaystyle a ^ {2} yz + b ^ {2} zx + c ^ {2} xy = {\ frac {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} (x + y + z) } {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \ left ({\ frac {x} {a ^ {2}}} + {\ frac {y} {b ^ {2 }}} + {\ frac {z} {c ^ {2}}} \ right).}

Puntos relacionados [ editar ]

Los dos puntos de Brocard se encuentran en este círculo, al igual que los vértices del triángulo de Brocard . ^[2] Estos cinco puntos, junto con los otros dos puntos en el círculo (el circuncentro y el simmésico), justifican el nombre de "círculo de siete puntos".

El círculo de Brocard es concéntrico con el primer círculo de Lemoine . ^[3]

Casos especiales [ editar ]

Si el triángulo es equilátero , el circuncentro y el simémico coinciden y, por lo tanto, el círculo de Brocard se reduce a un solo punto. ^[4]

Historia [ editar ]

El círculo de Brocard lleva el nombre de Henri Brocard , ^[5] quien presentó un documento al respecto a la Asociación Francesa para el Avance de la Ciencia en Argel en 1881.

 puntos de Brocard son puntos especiales dentro de un triángulo . Ellos llevan el nombre de Henri Brocard ( 1845-1922 ), un matemático francés.

El punto Brocard de un triángulo, construido en el punto de intersección de tres círculos.

Definición [ editar ]

En un triángulo ABC con lados a , b , y c , donde los vértices están etiquetados A , B y C con el fin en sentido antihorario, hay exactamente un punto P de tal manera que los segmentos de línea de AP , BP y CP forman el mismo ángulo, omega , con los lados respectivos c , a y b , es decir que

$${\ displaystyle \ angle PAB = \ angle PBC = \ angle PCA = \ omega. \,}

El punto P se llama el primer punto de Brocard del triángulo ABC , y el ángulo ω se llama ángulo de Brocard del triángulo. Este ángulo tiene la propiedad de que

$${\ displaystyle \ cot \ omega = \ cot \ alpha + \ cot \ beta + \ cot \ gamma, \,}

dónde $${\ displaystyle \ alpha, \, \ beta, \, \ gamma} son los ángulos de vértice $${\ displaystyle \ angle CAB, \, \ angle ABC, \, \ angle BCA} respectivamente.

También hay un segundo punto de Brocard , Q, en el triángulo ABC, de modo que los segmentos de línea AQ , BQ y CQ forman ángulos iguales con los lados b , c y a respectivamente. En otras palabras, las ecuaciones$${\ displaystyle \ angle QCB = \ angle QBA = \ angle QAC}aplicar. Sorprendentemente, este segundo punto de Brocard tiene el mismo ángulo de Brocard que el primer punto de Brocard. En otras palabras, ángulo$${\ displaystyle \ angle PBC = \ angle PCA = \ angle PAB} es lo mismo que $${\ displaystyle \ angle QCB = \ angle QBA = \ angle QAC.}

Los dos puntos de Brocard están estrechamente relacionados entre sí; De hecho, la diferencia entre el primero y el segundo depende del orden en que se toman los ángulos del triángulo ABC . Entonces, por ejemplo, el primer punto Brocard del triángulo ABC es el mismo que el segundo punto Brocard del triángulo ACB .

Los dos puntos de Brocard de un triángulo ABC son conjugados isogonales entre sí.

Construcción [ editar ]

La construcción más elegante de los puntos Brocard es la siguiente. En el siguiente ejemplo, se presenta el primer punto de Brocard, pero la construcción para el segundo punto de Brocard es muy similar.

Como en el diagrama anterior, forme un círculo a través de los puntos A y B, tangente al borde BC del triángulo (el centro de este círculo está en el punto donde la bisectriz perpendicular de AB se encuentra con la línea a través del punto B que es perpendicular a BC) . Simétricamente, forme un círculo a través de los puntos B y C, tangente al borde AC, y un círculo a través de los puntos A y C, tangente al borde AB. Estos tres círculos tienen un punto común, el primer punto de Brocard del triángulo ABC . Ver también Líneas tangentes a círculos .

Los tres círculos recién construidos también se designan como epiciclos del triángulo ABC . El segundo punto de Brocard se construye de manera similar.

Trilineales y baricentricos de los dos primeros puntos Brocard [ editar ]

Las coordenadas trilineales homogéneas para el primer y segundo punto de Brocard son$${\ displaystyle c / b: a / c: b / a} y $${\ displaystyle b / c: c / a: a / b}respectivamente. Por lo tanto, sus coordenadas barcéntricas son respectivamente ^[1] $${\ displaystyle c ^ {2} a ^ {2}: a ^ {2} b ^ {2}: b ^ {2} c ^ {2}} y $${\ displaystyle a ^ {2} b ^ {2}: b ^ {2} c ^ {2}: c ^ {2} a ^ {2}.}

El segmento entre los dos primeros puntos Brocard [ editar ]

Los puntos de Brocard son un ejemplo de un par de puntos bicéntricos, pero no son centros de triángulos porque ninguno de los puntos de Brocard es invariante bajo transformaciones de similitud : reflejar un triángulo escaleno, un caso especial de similitud, convierte un punto de Brocard en el otro. Sin embargo, el par desordenado formado por ambos puntos es invariable bajo similitudes. El punto medio de los dos puntos de Brocard, llamado punto medio de Brocard , tiene coordenadas trilineales.

$${\ displaystyle \ sin (A + \ omega): \ sin (B + \ omega): \ sin (C + \ omega) = a (b ^ {2} + c ^ {2}): b (c ^ {2} + a ^ {2}): c (a ^ {2} + b ^ {2}),}^[2]

y es un centro triangular. El tercer punto de Brocard , dado en coordenadas trilineales como

$${\ displaystyle \ csc (A- \ omega): \ csc (B- \ omega): \ csc (C- \ omega) = a ^ {- 3}: b ^ {- 3}: c ^ {- 3} ,}^[3]

es el punto medio de Brocard del triángulo anticomplementario y es también el conjugado isotómico del punto simétrico .

La distancia entre los dos primeros Brocard puntos P y Q siempre menor o es igual a la mitad del radio R de del triángulo circunferencia circunscrita : ^[1] [4]

$${\ displaystyle PQ = 2R \ sin \ omega {\ sqrt {1-4 \ sin ^ {2} \ omega}} \ leq {\ frac {R} {2}}.}

El segmento entre los dos primeros puntos de Brocard se bisecta perpendicularmente en el punto medio de Brocard por la línea que conecta el circuncentro del triángulo y su punto Lemoine . Además, el circuncentro, el punto de Lemoine y los dos primeros puntos de Brocard son concíclicos; todos caen en el mismo círculo, del cual el segmento que conecta el circuncentro y el punto de Lemoine es un diámetro . ^[1]

Distancia desde el circuncentro [ editar ]

Los puntos de Brocard P y Q son equidistantes del circuncentro O del triángulo : ^[4]

$${\ displaystyle PO = QO = R {\ sqrt {{\ frac {a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4}} {a ^ {2} b ^ {2} + b ^ {2 } c ^ {2} + c ^ {2} a ^ {2}}} - 1}} = R {\ sqrt {1-4 \ sin ^ {2} \ omega}}.}

Similitudes y congruencias [ editar ]

Los triángulos del pedal de los puntos Brocard primero y segundo son congruentes entre sí y similares al triángulo original. ^[4]

Si las líneas AP , BP y CP , cada una a través de uno de los vértices de un triángulo y su primer punto Brocard, intersectan el círculo circunferencial del triángulo en los puntos L , M y N , entonces el triángulo LMN es congruente con el triángulo original ABC . Lo mismo es cierto si el primer punto de Brocard P se sustituye por el segundo punto de Brocard Q .

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El triángulo de Brocard (en negro) del triángulo ABC. B1 y B2 son los dos puntos de Brocard .

En geometría , el triángulo Brocard de un triángulo es un triángulo formado por la intersección de líneas desde un vértice a su punto Brocard correspondiente y una línea desde otro vértice a su punto Brocard correspondiente y los otros dos puntos construidos utilizando diferentes combinaciones de vértices y Brocard puntos. Este triángulo también se llama el primer triángulo de Brocard, ya que se pueden formar más triángulos formando el triángulo de Brocard del triángulo de Brocard y continuando este patrón. ^[1] El triángulo de Brocard está inscrito en el círculo de Brocard . ^[2] Lleva el nombre de Henri Brocard .