LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

triángulo heroniano es un triángulo que tiene longitudes laterales y área que son todos enteros . ^[1] [2] Los triángulos heronios llevan el nombre de Héroe de Alejandría . El término a veces se aplica más ampliamente a los triángulos cuyos lados y área son todos números racionales , ^[3] ya que uno puede reescalar los lados por un múltiplo común para obtener un triángulo que sea heronio en el sentido anterior.

Propiedades [ editar ]

Cualquier triángulo rectángulo cuyas longitudes laterales son un triple pitagórico es un triángulo heroniano, ya que las longitudes laterales de dicho triángulo son enteros , y su área también es un entero, siendo la mitad del producto de los dos lados más cortos del triángulo, en al menos uno de los cuales debe ser par.

Un triángulo con longitudes laterales c , e y b  +  d , y altura a .

Un ejemplo de un triángulo heroniano que no está en ángulo recto es el triángulo isósceles con longitudes laterales 5, 5 y 6, cuya área es 12. Este triángulo se obtiene uniendo dos copias del triángulo en ángulo recto con los lados 3, 4, y 5 a lo largo de los lados de la longitud 4. Este enfoque funciona en general, como se ilustra en la imagen adyacente. Uno toma un triple pitagórico ( a , b , c ), con c siendo más grande, luego otro ( a , d , e ), con e siendo más grande, construye los triángulos con estas longitudes laterales y los une a lo largo de los lados de la longitud una, para obtener un triángulo con longitudes de lado entero c , e , y b  +  d , y con área

$${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} (b + d) a} (la mitad de la base por la altura).

Si a es par, entonces el área A es un número entero. Obviamente, si a es impar, entonces A sigue siendo un número entero, ya que b y d deben ser pares, lo que hace que b + d también sea par.

Algunos triángulos heronianos no pueden obtenerse uniendo dos triángulos rectángulos con lados enteros como se describió anteriormente. Por ejemplo, un triángulo heroniano 5, 29, 30 con área 72 no se puede construir a partir de dos triángulos pitagóricos enteros ya que ninguna de sus altitudes son enteros. Tampoco se puede construir un triángulo pitagórico primitivo a partir de dos triángulos pitagóricos enteros más pequeños. ^[4] : p.17 Tales triángulos heronianos son conocidos como indescomponibles . ^[4] Sin embargo, si uno permite tripletas pitagóricas con valores racionales, no necesariamente enteros, entonces siempre existe una descomposición en triángulos rectángulos con lados racionales, ^[5]porque cada altitud de un triángulo heroniano es racional (ya que es igual al doble del área entera dividida por la base entera). Entonces, el triángulo heroniano con los lados 5, 29, 30 puede construirse a partir de triángulos pitagóricos racionales con los lados 7/5, 24/5, 5 y 143/5, 24/5, 29. Tenga en cuenta que un triple pitagórico con valores racionales es solo Una versión a escala de un triple con valores enteros.

Otras propiedades de los triángulos heronios son las siguientes:

• El perímetro de un triángulo heroniano es siempre un número par. ^[6] Por lo tanto, cada triángulo Heronio tiene un número impar de lados de longitud par, ^[7] : p.3 y cada triángulo Heronio primitivo tiene exactamente un lado par.
• Los semiperímetro s de un triángulo con lados Heronian un , b y c nunca pueden ser primo. Esto se puede ver por el hecho de que s (s − a) (s − b) (s − c) tiene que ser un cuadrado perfecto y si s es primo, entonces uno de los otros términos debe tener s como factor, pero esto es imposible ya que estos términos son todos menores que s .
• El área de un triángulo heroniano siempre es divisible por 6. ^[6]
• Todas las altitudes de un triángulo heroniano son racionales. ^[8] Esto se puede ver por el hecho de que el área de un triángulo es la mitad de un lado multiplicado por su altitud desde ese lado, y un triángulo heronio tiene lados y área enteros. Algunos triángulos heronianos tienen tres altitudes no enteras, por ejemplo, la aguda (15, 34, 35) con área 252 y la obtusa (5, 29, 30) con área 72. Cualquier triángulo heronio con una o más altitudes no enteras puede ser ampliado por un factor que iguale el mínimo común múltiplo de los denominadores de las altitudes para obtener un triángulo heroniano similar con tres altitudes enteras.
• Los triángulos heronios que no tienen altitud entera ( indescomponible y no pitagórico) tienen lados que son divisibles por números primos de la forma 4 k +1. ^[4] Sin embargo, los triángulos heronios descomponibles deben tener dos lados que sean la hipotenusa de los triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronios que no son pitagóricos tienen al menos dos lados que son divisibles por números primos de la forma 4 k +1. Todo lo que queda son triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronios tienen al menos un lado que es divisible por primos de la forma 4 k +1. Finalmente, si un triángulo heroniano tiene solo un lado divisible por números primos de la forma 4 k+1 tiene que ser pitagórico con el lado como la hipotenusa y la hipotenusa debe ser divisible por 5 .
• Todas las bisectrices perpendiculares interiores de un triángulo heroniano son racionales: para cualquier triángulo están dadas por$${\ displaystyle p_ {a} = {\ tfrac {2aA} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},} $${\ displaystyle p_ {b} = {\ tfrac {2bA} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},} y $${\ displaystyle p_ {c} = {\ tfrac {2cA} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},}donde los lados son a ≥ b ≥ c y el área es A ; ^[9] en un triángulo heroniano, todos a , b , c y A son enteros.
• No hay triángulos heronianos equiláteros. ^[8]
• No hay triángulos heronios con una longitud lateral de 1 o 2. ^[10]
• Existe un número infinito de triángulos heronios primitivos con una longitud lateral igual a un siempre que a> 2. ^[10]
• No hay triángulos heronios cuyas longitudes laterales formen una progresión geométrica . ^[11]
• Si dos lados (pero no tres) de un triángulo heroniano tienen un factor común, ese factor debe ser la suma de dos cuadrados. ^[12]
• Cada ángulo de un triángulo heroniano tiene un seno racional. Esto se deduce de la fórmula del área Área = (1/2) ab pecado C , en la cual el área y los lados a y b son números enteros (y equivalentemente para los otros ángulos). Dado que todos los triángulos enteros tienen los cosenos de todos los ángulos racionales, esto implica que cada ángulo oblicuo de un triángulo Heron tiene una tangente racional.
• No hay triángulos heronios cuyos tres ángulos internos formen una progresión aritmética. Esto se debe a que todos los triángulos planos con ángulos en una progresión aritmética deben tener un ángulo de 60 °, que no tiene un seno racional. ^[13]
• Cualquier cuadrado inscrito en un triángulo heroniano tiene lados racionales: para un triángulo general, el cuadrado inscrito en el lado de longitud a tiene longitud$${\ displaystyle {\ tfrac {2Aa} {a ^ {2} + 2A}}}donde A es el área del triángulo; ^[14] en un triángulo heroniano, tanto A como a son enteros.
• Cada triángulo heroniano tiene un inradius racional (radio de su círculo inscrito): para un triángulo general, el inradius es la razón del área a la mitad del perímetro, y ambos son racionales en un triángulo heroniano.
• Cada triángulo heroniano tiene un circunradio racional (el radio de su círculo circunscrito): para un triángulo general, el circunradio es igual a un cuarto del producto de los lados dividido por el área; En un triángulo heroniano, los lados y el área son enteros.
• En un triángulo heroniano, la distancia desde el centroide a cada lado es racional, porque para todos los triángulos esta distancia es la razón del doble del área a tres veces la longitud del lado. ^[15] Esto se puede generalizar al afirmar que todos los centros asociados con triángulos heronios cuyas coordenadas barcéntricas son razones racionales tienen una distancia racional a cada lado. Estos centros incluyen el circuncentro , ortocentro , centro de nueve puntos , punto simediano , punto Gergonne y punto Nagel . ^[dieciséis]
• Todos los triángulos heronianos se pueden colocar en una red con cada vértice en un punto de red. ^[17]

Fórmula exacta para todos los triángulos heronianos [ editar ]

El matemático indio Brahmagupta (598-668 AD) derivó la solución paramétrica de manera que cada triángulo heroniano tenga lados proporcionales a: ^[18] [19]

$${\ displaystyle a = n (m ^ {2} + k ^ {2})}

$${\ displaystyle b = m (n ^ {2} + k ^ {2})}

$${\ displaystyle c = (m + n) (mn-k ^ {2})}

$${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = s = (a + b + c) / 2 = mn (m + n)}

$${\ displaystyle {\ text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2})}

$${\ displaystyle {\ text {Inradius}} = k (mn-k ^ {2})}

$${\ displaystyle sa = n (mn-k ^ {2})}

$${\ displaystyle sb = m (mn-k ^ {2})}

$${\ displaystyle sc = (m + n) k ^ {2}}

para enteros m , n y k donde:

$${\ displaystyle \ gcd {(m, n, k)} = 1}

{\ displaystyle mn> k ^ {2} \ geq 1}

$${\ displaystyle m \ geq n \ geq 1}.

El factor de proporcionalidad es generalmente un racional ^p / _q   , donde   q = gcd ( a, b, c ) se reduce el triángulo Heronian generada a sus primitivas y   p   escalas hasta esta primitiva al tamaño requerido. Por ejemplo, tomar m = 36, n = 4 yk = 3 produce un triángulo con a = 5220, b = 900 yc = 5400, que es similar al triángulo heroniano 5, 29, 30 y el factor de proporcionalidad utilizado tiene p = 1 y q = 180.

El obstáculo para el uso computacional de la solución paramétrica de Brahmagupta es el denominador q del factor de proporcionalidad. q solo puede determinarse calculando el máximo divisor común de los tres lados (mcd ( a, b, c )) e introduce un elemento de imprevisibilidad en el proceso de generación. ^[19] La forma más fácil de generar listas de triángulos heronios es generar todos los triángulos enteros hasta una longitud lateral máxima y probar un área integral.

Kurz (2008) ha derivado algoritmos más rápidos .

Hay infinitos triángulos heronianos no pitagóricos primitivos e incomponibles con valores enteros para el inradius y los tres exradii , incluidos los generados por ^{[20] : Thm. 4 4}

$${\ displaystyle a = 25n ^ {2} + 5n-5 = 5 (5n ^ {2} + n-1),}

$${\ displaystyle b = 25n ^ {3} -5n ^ {2} -7n + 3 = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1),}

$${\ displaystyle c = 25n ^ {3} + 20n ^ {2} -2n-4 = (5n-2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}

$${\ displaystyle A = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1),}

$${\ displaystyle r = 5n-2,}

$${\ displaystyle r_ {a} = 5n + 3,}

$${\ displaystyle r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1,}

$${\ displaystyle r_ {c} = A = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}

Hay infinitos triángulos heronios que se pueden colocar en una red de tal manera que no solo se encuentren los vértices en los puntos de la red, como ocurre con todos los triángulos heronianos, sino que además los centros del círculo y los círculos están en los puntos de la red. ^{[20] : Thm. 5 5}

Véanse también las fórmulas para triángulos heronios con un ángulo igual a dos veces otro , triángulos heronios con lados en progresión aritmética y triángulos heronianos isósceles .

Ejemplos [ editar ]

La lista de triángulos heronios enteros primitivos, ordenados por área y, si es el mismo, por perímetro , comienza como en la siguiente tabla. "Primitivo" significa que el máximo común divisor de las tres longitudes laterales es igual a 1.

Zona	Perímetro	longitud lateral b + d	longitud lateral e	longitud lateral c
6 6	12	5 5	4 4	3
12	dieciséis	6 6	5 5	5 5
12	18 años	8	5 5	5 5
24	32	15	13	4 4
30	30	13	12	5 5
36	36	17	10	9 9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7 7
60 60	36	13	13	10
60 60	40	17	15	8
60 60	50	24	13	13
60 60	60 60	29	25	6 6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5 5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7 7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4 4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	dieciséis
120	64	30	17	17
120	80	39	25	dieciséis
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5 5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9 9
198	132	sesenta y cinco	55	12
204 204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	sesenta y cinco	7 7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9 9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	sesenta y cinco	9 9
264	96	44	37	15
264	132	sesenta y cinco	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	sesenta y cinco	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5 5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60 60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4 4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18 años
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Las listas de triángulos heronios primitivos cuyos lados no superan los 6,000,000 se pueden encontrar en "Listas de triángulos heronios primitivos" . Sascha Kurz, Universidad de Bayreuth, Alemania . Consultado el 29 de marzo de 2016 .

Triángulos equiparables [ editar ]

Una forma se llama equable si su área es igual a su perímetro. Hay exactamente cinco triángulos heronianos equitativos: los que tienen longitudes laterales (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) y (9,10 17) ^[21] [22]

Triángulos heronianos casi equiláteros [ editar ]

Dado que el área de un triángulo equilátero con lados racionales es un número irracional , ningún triángulo equilátero es heronio. Sin embargo, hay una secuencia única de triángulos heronianos que son "casi equiláteros" porque los tres lados tienen la forma n  - 1, n , n  + 1. En el siguiente capítulo se describió un método para generar todas las soluciones a este problema basado en fracciones continuas. 1864 por Edward Sang , ^[23] y en 1880 Reinhold Hoppe dio una expresión de forma cerrada para las soluciones. ^[24]Los primeros ejemplos de estos triángulos casi equiláteros se enumeran en la siguiente tabla (secuencia A003500 en el OEIS ):

Largo de lado			Zona	Inradius
n - 1	norte	n + 1
3	4 4	5 5	6 6	1
13	14	15	84	4 4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Los valores subsiguientes de n se pueden encontrar multiplicando el valor anterior por 4, luego restando el valor anterior a ese (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, etc.), así:

$${\ displaystyle n_ {t} = 4n_ {t-1} -n_ {t-2} \ ,,}

donde t denota cualquier fila en la tabla. Esta es una secuencia de Lucas . Alternativamente, la fórmula$${\ displaystyle (2 + {\ sqrt {3}}) ^ {t} + (2 - {\ sqrt {3}}) ^ {t}}genera todo n . De manera equivalente, dejemos que A = área e y = inradio, entonces,

$${\ displaystyle {\ big (} (n-1) ^ {2} + n ^ {2} + (n + 1) ^ {2} {\ big)} ^ {2} -2 {\ big (} ( n-1) ^ {4} + n ^ {4} + (n + 1) ^ {4} {\ big)} = (6ny) ^ {2} = (4A) ^ {2}}

donde { n , y } son soluciones para n ²  - 12 y ²  = 4. Una pequeña transformación n = 2x produce una ecuación de Pell convencional x ²  - 3 y ²  = 1, cuyas soluciones pueden derivarse de la continuación regular expansión de fracción para √ 3 . ^[25]

La variable n tiene la forma$${\ displaystyle n = {\ sqrt {2 + 2k}}}, donde k es 7, 97, 1351, 18817, ... Los números en esta secuencia tienen la propiedad de que k enteros consecutivos tienen una desviación estándar integral .