LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

Un triángulo agudo (o triángulo de ángulo agudo) es un triángulo con tres ángulos agudos (menos de 90 °). Un triángulo obtuso (o triángulo obtuso) es un triángulo con un ángulo obtuso (mayor de 90 °) y dos ángulos agudos. Dado que los ángulos de un triángulo deben sumar 180 ° en geometría euclidiana , ningún triángulo euclidiano puede tener más de un ángulo obtuso.

Los triángulos agudos y obtusos son los dos tipos diferentes de triángulos oblicuos : triángulos que no son triángulos rectángulos porque no tienen un ángulo de 90 °.

Derecho	Obtuso	Agudo
	$${\ displaystyle \ underbrace {\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad} _ {}}
	Oblicuo

Propiedades [ editar ]

En todos los triángulos, el centroide —la intersección de las medianas , cada una de las cuales conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto— y el incentro —el centro del círculo que es tangente internamente a los tres lados— están en el interior de el triangulo. Sin embargo, mientras que el ortocentro y el circuncentro están en el interior de un triángulo agudo, son exteriores a un triángulo obtuso.

El ortocentro es el punto de intersección de las tres altitudes del triángulo , cada una de las cuales conecta perpendicularmente un lado con el vértice opuesto . En el caso de un triángulo agudo, estos tres segmentos se encuentran completamente en el interior del triángulo, por lo que se cruzan en el interior. Pero para un triángulo obtuso, las altitudes de los dos ángulos agudos se cruzan solo con las extensiones de los lados opuestos. Estas altitudes caen completamente fuera del triángulo, lo que resulta en su intersección entre sí (y, por lo tanto, con la altitud extendida desde el vértice obtuso) en el exterior del triángulo.

Del mismo modo, el circuncentro de un triángulo, la intersección de las bisectrices perpendiculares de los tres lados , que es el centro del círculo que pasa por los tres vértices, cae dentro de un triángulo agudo pero fuera de un triángulo obtuso.

El triángulo rectángulo es el caso intermedio: tanto su circuncentro como su ortocentro se encuentran en su límite.

En cualquier triángulo, cualquiera de los dos ángulos mide A y B, los lados opuestos a y b respectivamente están relacionados de acuerdo con ^{[1] : p. 264}

{\ displaystyle A> B \ quad {\ text {if and only if}} \ quad a> b.}

Esto implica que el lado más largo de un triángulo obtuso es el opuesto al vértice de ángulo obtuso.

Un triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos , cada uno con un lado que coincide con parte de un lado del triángulo y con los otros dos vértices del cuadrado en los dos lados restantes del triángulo. (En un triángulo rectángulo, dos de estos se fusionan en el mismo cuadrado, por lo que solo hay dos cuadrados inscritos distintos). Sin embargo, un triángulo obtuso tiene solo un cuadrado inscrito, uno de cuyos lados coincide con parte del lado más largo del triángulo . ^{[2] : pág. 115}

Todos los triángulos en los que la línea de Euler es paralela a un lado son agudos. ^[3] Esta propiedad es válida para el lado BC si y solo si $${\ displaystyle (\ tan B) (\ tan C) = 3.}

Desigualdades [ editar ]

Ver también: Lista de desigualdades de triángulos

Lados [ editar ]

Si el ángulo C es obtuso a continuación, para los lados a , b , y c tenemos ^{[4] : p.1, # 74}

{\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {2}}

con la desigualdad izquierda acercándose a la igualdad en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se aproxima a 180 °, y con la desigualdad derecha acercándose a la igualdad solo cuando el ángulo obtuso se aproxima a 90 °.

Si el triángulo es agudo entonces

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> c ^ {2}, \ quad b ^ {2} + c ^ {2}> a ^ {2}, \ quad c ^ {2} + a ^ {2}> b ^ {2}.}

Altitud [ editar ]

Si C es el ángulo más grande y h _c es la altitud desde el vértice C , entonces para un triángulo agudo ^{[4] : p.135, # 3109}

{\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {c} ^ {2}}} <{\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} ,}

con la desigualdad opuesta si C es obtuso.

Medianas [ editar ]

Con el lado más largo c y medianas m _a y m _b desde los otros lados, ^{[4] : p.136, # 3110}

{\ displaystyle 4c ^ {2} + 9a ^ {2} b ^ {2}> 16m_ {a} ^ {2} m_ {b} ^ {2}}

para un triángulo agudo pero con la desigualdad invertida para un triángulo obtuso.

La mediana m _c del lado más largo es mayor o menor que el circunradio para un triángulo agudo u obtuso, respectivamente: ^{[4] : p.136, # 3113}

{\ displaystyle m_ {c}> R}

para triángulos agudos, con lo opuesto para triángulos obtusos.

Área [ editar ]

La desigualdad de Ono para el área A ,

$${\ displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} \ leq (4A) ^ {6},}

se aplica a todos los triángulos agudos pero no a todos los triángulos obtusos.

Funciones trigonométricas [ editar ]

Para un triángulo agudo tenemos, para los ángulos A , B y C , ^{[4] : p.26, # 954}

{\ displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C <1 font="">

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con circunradio R , ^{[4] : p.141, # 3167}

$${\ displaystyle a \ cos ^ {3} A + b \ cos ^ {3} B + c \ cos ^ {3} C \ leq {\ frac {abc} {4R ^ {2}}}}

y ^{[4] : p.155, # S25}

$${\ displaystyle \ cos ^ {3} A + \ cos ^ {3} B + \ cos ^ {3} C + \ cos A \ cos B \ cos C \ geq {\ frac {1} {2}}.}

Para un triángulo agudo, ^{[4] : p.115, # 2874}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C> 2,}

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo, ^{[4] : p178, # 241.1}

$${\ displaystyle \ sin A \ cdot \ sin B + \ sin B \ cdot \ sin C + \ sin C \ cdot \ sin A \ leq (\ cos A + \ cos B + \ cos C) ^ {2}.}

Para cualquier triángulo, la identidad de la triple tangente establece que la suma de las tangentes de los ángulos es igual a su producto. Como un ángulo agudo tiene un valor tangente positivo mientras que un ángulo obtuso tiene uno negativo, la expresión del producto de las tangentes muestra que

{\ displaystyle \ tan A + \ tan B + \ tan C = \ tan A \ cdot \ tan B \ cdot \ tan C> 0}

para triángulos agudos, mientras que la dirección opuesta de desigualdad es válida para triángulos obtusos.

Tenemos ^{[4] : p.26, # 958}

$${\ displaystyle \ tan A + \ tan B + \ tan C \ geq 2 (\ sin 2A + \ sin 2B + \ sin 2C)}

para triángulos agudos, y el reverso para triángulos obtusos.

Para todos los triángulos agudos, ^{[4] : p.40, # 1210}

$${\ displaystyle (\ tan A + \ tan B + \ tan C) ^ {2} \ geq (\ sec A + 1) ^ {2} + (\ sec B + 1) ^ {2} + (\ sec C + 1 ) ^ {2}.}

Para todos los triángulos agudos con inradius r y circumradius R , ^{[4] : p.53, # 1424}

$${\ displaystyle a \ tan A + b \ tan B + c \ tan C \ geq 10R-2r.}

Para un triángulo agudo con área K , ^{[4] : p.103, # 2662}

$${\ displaystyle ({\ sqrt {\ cot A}} + {\ sqrt {\ cot B}} + {\ sqrt {\ cot C}}) ^ {2} \ leq {\ frac {K} {r ^ { 2}}}.}

Circumradius, inradius y exradii [ editar ]

En un triángulo agudo, la suma del circunradio R y el inradio r es menos de la mitad de la suma de los lados más cortos a y b : ^{[4] : p.105, # 2690}

{\ displaystyle R + r <{\ frac {a + b} {2}},}

mientras que la desigualdad inversa es válida para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con medianas m _a , m _b y m _c y circunradio R , tenemos ^{[4] : p.26, # 954}

{\ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}

mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.

Además, un triángulo agudo satisface ^{[4] : p.26, # 954}

{\ displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8r font="">

en términos del radio de circunferencia r _a , r _b , y r _c , nuevamente con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con semiperímetro s , ^{[4] : p.115, # 2874}

{\ displaystyle sr> 2R,}

y la desigualdad inversa es válida para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con área K , ^{[4] : p.185, # 291.6}

$${\ displaystyle ab + bc + ca \ geq 2R (R + r) + {\ frac {8K} {\ sqrt {3}}}.}

Distancias que involucran centros triangulares [ editar ]

Para un triángulo agudo, la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface ^{[4] : p.26, # 954}

{\ displaystyle OH

con la desigualdad opuesta para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo, la distancia entre el centro del círculo I y el ortocentro H satisface ^{[4] : p.26, # 954}

{\ displaystyle IH

donde r es el radio , con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Plaza inscrita [ editar ]

Si uno de los cuadrados inscritos de un triángulo agudo tiene una longitud lateral x _a y otro tiene una longitud lateral x _b con x _a < x _b , entonces ^{[2] : p. 115}

$${\ displaystyle 1 \ geq {\ frac {x_ {a}} {x_ {b}}} \ geq {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} \ aprox. 0.94.}

Dos triángulos [ editar ]

Si dos triángulos obtusos tienen lados ( a, b, c ) y ( p, q, r ) con c y r como los lados más largos respectivos, entonces ^{[4] : p.29, # 1030}

{\ displaystyle ap + bq

Ejemplos [ editar ]

Triángulos con nombres especiales [ editar ]

El triángulo de Calabi , que es el único triángulo no equilátero para el cual el cuadrado más grande que cabe en el interior se puede colocar en cualquiera de las tres formas diferentes, es obtuso e isósceles con ángulos de base 39.1320261 ... ° y tercer ángulo 101.7359477 .. . °.

El triángulo equilátero , con tres ángulos de 60 °, es agudo.

El triángulo de Morley , formado a partir de cualquier triángulo por las intersecciones de sus trisectores de ángulo adyacentes, es equilátero y, por lo tanto, agudo.

El triángulo dorado es el triángulo isósceles en el cual la razón del lado duplicado al lado base es igual a la razón dorada . Es agudo, con ángulos de 36 °, 72 ° y 72 °, por lo que es el único triángulo con ángulos en las proporciones 1: 2: 2. ^[5]

El triángulo heptagonal , con lados que coinciden con un lado, la diagonal más corta y la diagonal más larga de un heptágono regular , es obtuso, con ángulos$${\ displaystyle \ pi / 7,2 \ pi / 7,} y $${\ displaystyle 4 \ pi / 7.}

Triángulos con lados enteros [ editar ]

El único triángulo con enteros consecutivos para una altitud y los lados es agudo, con lados (13,14,15) y una altitud desde el lado 14 igual a 12.

El triángulo de perímetro más pequeño con lados enteros en progresión aritmética, y el triángulo de lado entero de perímetro más pequeño con lados distintos, es obtuso: es decir, el que tiene lados (2, 3, 4).

Los únicos triángulos con un ángulo que es dos veces otro y tienen lados enteros en progresión aritmética son agudos: a saber, el triángulo (4,5,6) y sus múltiplos. ^[6]

No hay triángulos agudos de lados enteros con área = perímetro , pero hay tres obtusos, que tienen lados ^[7] (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17).

El triángulo entero más pequeño con tres medianas racionales es agudo, con lados ^[8] (68, 85, 87).

Los triángulos de garza tienen lados enteros y área entera. El triángulo oblicuo de Heron con el perímetro más pequeño es agudo, con lados (6, 5, 5). Los dos triángulos oblicuos de Heron que comparten el área más pequeña son el agudo con lados (6, 5, 5) y el obtuso con lados (8, 5, 5), el área de cada uno es 12.

Forma un ángulo obtuso a partir de los tres puntos negros como se indica a continuación.

Arrastra el vértice del ángulo para ponerlo sobre el punto negro correcto.

Arrastra los puntos en los rayos para hacer que los rayos pasen por los otros dos puntos negros.
El símbolo de arco cerca del vértice indica el angulo que se está midiendo.

$$