LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

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Un heptágono regular (con lados rojos), sus diagonales más largas (verde) y sus diagonales más cortas (azul). Cada uno de los catorce triángulos heptagonales congruentes tiene un lado verde, un lado azul y un lado rojo.

Un triángulo heptagonal es un triángulo escaleno obtuso cuyos vértices coinciden con los vértices primero, segundo y cuarto de un heptágono regular (de un vértice inicial arbitrario). Por lo tanto, sus lados coinciden con un lado y las diagonales adyacentes más cortas y más largas del heptágono regular. Todos los triángulos heptagonales son similares (tienen la misma forma), por lo que se conocen colectivamente como el triángulo heptagonal. Sus ángulos tienen medidas. $${\ displaystyle \ pi / 7,2 \ pi / 7,} y $${\ displaystyle 4 \ pi / 7,}y es el único triángulo con ángulos en las relaciones 1: 2: 4. El triángulo heptagonal tiene varias propiedades notables.

Puntos clave [ editar ]

El centro de nueve puntos del triángulo heptagonal es también su primer punto Brocard . ^{[1] : Propuesta. 12}

El segundo punto de Brocard se encuentra en el círculo de nueve puntos. ^{[2] : pág. 19}

El circuncentro y los puntos de Fermat de un triángulo heptagonal forman un triángulo equilátero . ^{[1] : Thm. 22}

La distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H viene dada por ^{[2] : p. 19}

$${\ displaystyle OH = R {\ sqrt {2}},}

donde R es el circunradio . La distancia al cuadrado desde el incentro I al ortocentro es ^{[2] : p. 19}

$${\ displaystyle IH ^ {2} = {\ frac {R ^ {2} + 4r ^ {2}} {2}},}

donde r es el inradius .

Las dos tangentes desde el ortocentro hasta la circunferencia son mutuamente perpendiculares . ^{[2] : pág. 19}

Relaciones de distancias [ editar ]

Lados [ editar ]

Los lados del triángulo heptagonal a < b < c coinciden respectivamente con el lado del heptágono regular, diagonal más corta y diagonal más larga. Satisfacen ^{[3] : Lema 1}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} a ^ {2} & = c (cb), \\ [5pt] b ^ {2} & = a (c + a), \\ [5pt] c ^ {2} & = b (a + b), \\ [5pt] {\ frac {1} {a}} & = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} \ end { alineado}}}

(la última ^{[2] : p. 13} es la ecuación óptica ) y por lo tanto

$${\ displaystyle ab + ac = bc,}

y ^{[3] : Coro. 2}

$${\ displaystyle b ^ {3} + 2b ^ {2} c-bc ^ {2} -c ^ {3} = 0,}

$${\ displaystyle c ^ {3} -2c ^ {2} a-ca ^ {2} + a ^ {3} = 0,}

$${\ displaystyle a ^ {3} -2a ^ {2} b-ab ^ {2} + b ^ {3} = 0.}

Por lo tanto, b / c , c / a y a / b satisfacen la ecuación cúbica

$${\ displaystyle t ^ {3} -2t ^ {2} -t + 1 = 0.}

Sin embargo, no existen expresiones algebraicas con términos puramente reales para las soluciones de esta ecuación, porque es un ejemplo de casus irreducibilis .

La relación aproximada de los lados es

$${\ displaystyle b \ approx 1.80193 \ cdot a, \ qquad c \ approx 2.24698 \ cdot a.}

También tenemos ^[4]

$${\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {bc}}, \ quad - {\ frac {b ^ {2}} {ca}}, \ quad - {\ frac {c ^ {2}} { ab}}}

satisfacer la ecuación cúbica

$${\ displaystyle t ^ {3} + 4t ^ {2} + 3t-1 = 0.}

También tenemos ^[4]

$${\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {bc ^ {2}}}, \ quad - {\ frac {b ^ {3}} {ca ^ {2}}}, \ quad {\ frac { c ^ {3}} {ab ^ {2}}}}

satisfacer la ecuación cúbica

$${\ displaystyle t ^ {3} -t ^ {2} -9t + 1 = 0.}

También tenemos ^[4]

$${\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {b ^ {2} c}}, \ quad {\ frac {b ^ {3}} {c ^ {2} a}}, \ quad - {\ frac {c ^ {3}} {a ^ {2} b}}}

satisfacer la ecuación cúbica

$${\ displaystyle t ^ {3} + 5t ^ {2} -8t + 1 = 0.}

También tenemos ^{[2] : p. 14}

$${\ displaystyle b ^ {2} -a ^ {2} = ac,}

$${\ displaystyle c ^ {2} -b ^ {2} = ab,}

$${\ displaystyle a ^ {2} -c ^ {2} = - bc,}

y ^{[2] : p. 15}

$${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {c ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {a ^ {2} } {c ^ {2}}} = 5.}

También tenemos ^[4]

$${\ displaystyle ab-bc + ca = 0,}

$${\ displaystyle a ^ {3} bb ^ {3} c + c ^ {3} a = 0,}

$${\ displaystyle a ^ {4} b + b ^ {4} cc ^ {4} a = 0,}

$${\ displaystyle a ^ {11} b ^ {3} -b ^ {11} c ^ {3} + c ^ {11} a ^ {3} = 0.}

No hay otro ( m, n ), m, n > 0, m, n <2000 font="" nbsp="" que="" tal="">^{[ citación necesitada ]}

$${\ displaystyle a ^ {m} b ^ {n} \ pm b ^ {m} c ^ {n} \ pm c ^ {m} a ^ {n} = 0.}

Altitudes [ editar ]

Las altitudes h _a , h _b y h _c satisfacen

$${\ displaystyle h_ {a} = h_ {b} + h_ {c}}^{[2] : pág. 13}

y

$${\ displaystyle h_ {a} ^ {2} + h_ {b} ^ {2} + h_ {c} ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }} {2}}.}^{[2] : pág. 14}

La altitud desde el lado b (ángulo opuesto B ) es la mitad de la bisectriz del ángulo interno$${\ displaystyle w_ {A}}de A : ^{[2] : p. 19}

$${\ displaystyle 2h_ {b} = w_ {A}.}

Aquí el ángulo A es el ángulo más pequeño y B es el segundo más pequeño.

Bisectrices de ángulo interno [ editar ]

Tenemos estas propiedades de las bisectrices de ángulo interno. $${\ displaystyle w_ {A}, w_ {B},} y $${\ displaystyle w_ {C}}de ángulos A, B y C, respectivamente: ^{[2] : p. dieciséis}

$${\ displaystyle w_ {A} = b + c,}

$${\ displaystyle w_ {B} = ca,}

$${\ displaystyle w_ {C} = ba.}

Circumradius, inradius y exradius [ editar ]

El área del triángulo es ^[5]

$${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {7}} {4}} R ^ {2},}

donde R es el circunradio del triángulo .

Tenemos ^{[2] : p. 12}

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 7R ^ {2}.}

También tenemos ^[6]

$${\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = 21R ^ {4}.}

$${\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} + c ^ {6} = 70R ^ {6}.}

La relación r / R del inradius al circumradius es la solución positiva de la ecuación cúbica ^[5]

$${\ displaystyle 8x ^ {3} + 28x ^ {2} + 14x-7 = 0.}

Además, ^{[2] : p. 15}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} = {\ frac {2} {R ^ {2}}}.}

También tenemos ^[6]

$${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {4}}} + {\ frac {1} {b ^ {4}}} + {\ frac {1} {c ^ {4}}} = {\ frac {2} {R ^ {4}}}.}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {6}}} + {\ frac {1} {b ^ {6}}} + {\ frac {1} {c ^ {6}}} = {\ frac {17} {7R ^ {6}}}.}

En general para todos los enteros n ,

$${\ displaystyle a ^ {2n} + b ^ {2n} + c ^ {2n} = g (n) (2R) ^ {2n}}

dónde

$${\ displaystyle g (-1) = 8, \ quad g (0) = 3, \ quad g (1) = 7}

y

$${\ displaystyle g (n) = 7g (n-1) -14g (n-2) + 7g (n-3).}

También tenemos ^[6]

$${\ displaystyle 2b ^ {2} -a ^ {2} = {\ sqrt {7}} bR, \ quad 2c ^ {2} -b ^ {2} = {\ sqrt {7}} cR, \ quad 2a ^ {2} -c ^ {2} = - {\ sqrt {7}} aR.}

También tenemos ^[4]

$${\ displaystyle a ^ {3} c + b ^ {3} ac ^ {3} b = -7R ^ {4},}

$${\ displaystyle a ^ {4} cb ^ {4} a + c ^ {4} b = 7 {\ sqrt {7}} R ^ {5},}

$${\ displaystyle a ^ {11} c ^ {3} + b ^ {11} a {3} -c ^ {11} b ^ {3} = - 7 ^ {3} 17R ^ {14}.}

El exradius r _a correspondiente al lado a es igual al radio del círculo de nueve puntos del triángulo heptagonal. ^{[2] : pág. 15}

Triángulo ortico [ editar ]

El triángulo órtico del triángulo heptagonal , con vértices a los pies de las altitudes , es similar al triángulo heptagonal, con una relación de similitud de 1: 2. El triángulo heptagonal es el único triángulo obtuso que es similar a su triángulo órtico (el triángulo equilátero es el único agudo). ^{[2] : págs. 12–13}

Propiedades trigonométricas [ editar ]

Las diversas identidades trigonométricas asociadas con el triángulo heptagonal incluyen: ^{[2] : págs. 13–14 [5]} ,

$${\ displaystyle A = {\ frac {\ pi} {7}}, \ quad B = {\ frac {2 \ pi} {7}}, \ quad C = {\ frac {4 \ pi} {7}} .}

$${\ displaystyle \ cos A = b / 2a, \ quad \ cos B = c / 2b, \ quad \ cos C = -a / 2c,}^{[4] : Propuesta 10}

$${\ displaystyle \ cos A \ cos B \ cos C = - {\ frac {1} {8}},}

$${\ displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C = {\ frac {5} {4}},}

$${\ displaystyle \ cos ^ {4} A + \ cos ^ {4} B + \ cos ^ {4} C = {\ frac {13} {16}},}

$${\ displaystyle \ cot A + \ cot B + \ cot C = {\ sqrt {7}},}

$${\ displaystyle \ cot ^ {2} A + \ cot ^ {2} B + \ cot ^ {2} C = 5,}

$${\ displaystyle \ csc ^ {2} A + \ csc ^ {2} B + \ csc ^ {2} C = 8,}

$${\ displaystyle \ csc ^ {4} A + \ csc ^ {4} B + \ csc ^ {4} C = 32,}

$${\ displaystyle \ sec ^ {2} A + \ sec ^ {2} B + \ sec ^ {2} C = 24,}

$${\ displaystyle \ sec ^ {4} A + \ sec ^ {4} B + \ sec ^ {4} C = 416,}

$${\ displaystyle \ sin A \ sin B \ sin C = {\ frac {\ sqrt {7}} {8}},}

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} A \ sin ^ {2} B \ sin ^ {2} C = {\ frac {7} {64}},}

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C = {\ frac {7} {4}},}

$${\ displaystyle \ sin ^ {4} A + \ sin ^ {4} B + \ sin ^ {4} C = {\ frac {21} {16}},}

$${\ displaystyle \ tan A \ tan B \ tan C = \ tan A + \ tan B + \ tan C = - {\ sqrt {7}},}

$${\ displaystyle \ tan ^ {2} A + \ tan ^ {2} B + \ tan ^ {2} C = 21.}

La ecuacion cubica

$${\ displaystyle 64y ^ {3} -112y ^ {2} + 56y-7 = 0}

tiene soluciones ^{[2] : p. 14} $${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {\ pi} {7}}, \ sin ^ {2} {\ frac {2 \ pi} {7}},} y $${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {4 \ pi} {7}},} cuáles son los senos cuadrados de los ángulos del triángulo.

La solución positiva de la ecuación cúbica.

$${\ displaystyle x ^ {3} + x ^ {2} -2x-1 = 0}

es igual $${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {2 \ pi} {7}},}que es el doble del coseno de uno de los ángulos del triángulo. ^{[7] : pág. 186-187}

Sin (2π / 7), sin (4π / 7) y sin (8π / 7) son las raíces de ^[4]

$${\ displaystyle x ^ {3} - {\ frac {\ sqrt {7}} {2}} x ^ {2} + {\ frac {\ sqrt {7}} {8}} = 0.}

También tenemos ^[6] :

$${\ displaystyle \ sin A- \ sin B- \ sin C = - {\ frac {\ sqrt {7}} {2}},}

$${\ displaystyle \ sin A \ sin B- \ sin B \ sin C + \ sin C \ sin A = 0,}

$${\ displaystyle \ sin A \ sin B \ sin C = {\ frac {\ sqrt {7}} {8}}.}

$${\ displaystyle - \ sin A, \ sin B, \ sin C {\ text {son las raíces de}} x ^ {3} - {\ frac {\ sqrt {7}} {2}} x ^ {2} + {\ frac {\ sqrt {7}} {8}} = 0.}

Para un entero n , dejemos

$${\ displaystyle S (n) = (- \ sin {A}) ^ {n} + \ sin ^ {n} {B} + \ sin ^ {n} {C}.}

Para n = 0, ..., 20,

$${\ displaystyle S (n) = 3, {\ frac {\ sqrt {7}} {2}}, {\ frac {7} {2 ^ {2}}}, {\ frac {\ sqrt {7}} {2}}, {\ frac {7 \ cdot 3} {2 ^ {4}}}, {\ frac {7 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {4}}}, {\ frac {7 \ cdot 5} {2 ^ {5}}}, {\ frac {7 ^ {2} {\ sqrt {7}}} {2 ^ {7}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 5} {2 ^ {8}}}, {\ frac {7 \ cdot 25 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {9}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 9} { 2 ^ {9}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 13 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {11}}},}

$${\ displaystyle {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 33} {2 ^ {11}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 3 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {9 }}}, {\ frac {7 ^ {4} \ cdot 5} {2 ^ {14}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 179 {\ sqrt {7}}} {2 ^ { 15}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 131} {2 ^ {16}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 3 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {12}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 493} {2 ^ {18}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 181 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {18}}}, {\ frac {7 ^ {5} \ cdot 19} {2 ^ {19}}}.}

Para n = 0, -1,, ..- 20,

$${\ displaystyle S (n) = 3,0,2 ^ {3}, - {\ frac {2 ^ {3} \ cdot 3 {\ sqrt {7}}} {7}}, 2 ^ {5}, - {\ frac {2 ^ {5} \ cdot 5 {\ sqrt {7}}} {7}}, {\ frac {2 ^ {6} \ cdot 17} {7}}, - 2 ^ {7} {\ sqrt {7}}, {\ frac {2 ^ {9} \ cdot 11} {7}}, - {\ frac {2 ^ {10} \ cdot 33 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, {\ frac {2 ^ {10} \ cdot 29} {7}}, - {\ frac {2 ^ {14} \ cdot 11 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2 }}}, {\ frac {2 ^ {12} \ cdot 269} {7 ^ {2}}},}

$${\ displaystyle - {\ frac {2 ^ {13} \ cdot 117 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, {\ frac {2 ^ {14} \ cdot 51} {7}} , - {\ frac {2 ^ {21} \ cdot 17 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, {\ frac {2 ^ {17} \ cdot 237} {7 ^ {2} }}, - {\ frac {2 ^ {17} \ cdot 1445 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, {\ frac {2 ^ {19} \ cdot 2203} {7 ^ { 3}}}, - {\ frac {2 ^ {19} \ cdot 1919 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, {\ frac {2 ^ {20} \ cdot 5851} {7 ^ {3}}}.}

$${\ displaystyle - \ cos A, \ cos B, \ cos C {\ text {son las raíces de}} x ^ {3} + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {2}} x - {\ frac {1} {8}} = 0.}

Para un entero n , dejemos

$${\ displaystyle C (n) = (- \ cos {A}) ^ {n} + \ cos ^ {n} {B} + \ cos ^ {n} {C}.}

Para n = 0, 1, ... 10,

$${\ displaystyle C (n) = 3, - {\ frac {1} {2}}, {\ frac {5} {4}}, - {\ frac {1} {2}}, {\ frac {13 } {16}}, - {\ frac {1} {2}}, {\ frac {19} {32}}, - {\ frac {57} {128}}, {\ frac {117} {256} }, - {\ frac {193} {512}}, {\ frac {185} {512}}, ...}

$${\ displaystyle C (-n) = 3, -4,24, -88,416, -1824,8256, -36992,166400, -747520,3359744, ...}

$${\ displaystyle \ tan A, \ tan B, \ tan C {\ text {son las raíces de}} x ^ {3} + {\ sqrt {7}} x ^ {2} -7x + {\ sqrt {7} } = 0.}

$${\ displaystyle \ tan ^ {2} A, \ tan ^ {2} B, \ tan ^ {2} C {\ text {son las raíces de}} x ^ {3} -21x ^ {2} + 35x- 7 = 0.}

Para un entero n , dejemos

$${\ displaystyle T (n) = \ tan ^ {n} {A} + \ tan ^ {n} {B} + \ tan ^ {n} {C}.}

Para n = 0, 1, ... 10,

$${\ displaystyle T (n) = 3, - {\ sqrt {7}}, 7 \ cdot 3, -31 {\ sqrt {7}}, 7 \ cdot 53, -7 \ cdot 87 {\ sqrt {7} }, 7 \ cdot 1011, -7 ^ {2} \ cdot 239 {\ sqrt {7}}, 7 ^ {2} \ cdot 2771, -7 \ cdot 32119 {\ sqrt {7}}, 7 ^ {2 } \ cdot 53189,}

$${\ displaystyle T (-n) = 3, {\ sqrt {7}}, 5, {\ frac {25 {\ sqrt {7}}} {7}}, 19, {\ frac {103 {\ sqrt { 7}}} {7}}, {\ frac {563} {7}}, 7 \ cdot 9 {\ sqrt {7}}, {\ frac {2421} {7}}, {\ frac {13297 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, {\ frac {10435} {7}}, ...}

También tenemos ^[6] [8]

$${\ displaystyle \ tan A-4 \ sin B = - {\ sqrt {7}},}

$${\ displaystyle \ tan B-4 \ sin C = - {\ sqrt {7}},}

$${\ displaystyle \ tan C + 4 \ sin A = - {\ sqrt {7}}.}

También tenemos ^[4]

$${\ displaystyle \ cot ^ {2} A = 1 - {\ frac {2 \ tan C} {\ sqrt {7}}},}

$${\ displaystyle \ cot ^ {2} B = 1 - {\ frac {2 \ tan A} {\ sqrt {7}}},}

$${\ displaystyle \ cot ^ {2} C = 1 - {\ frac {2 \ tan B} {\ sqrt {7}}}.}

También tenemos ^[4]

$${\ displaystyle \ cos A = - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {4} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {3} C,}

$${\ displaystyle \ cos ^ {2} A = {\ frac {3} {4}} + {\ frac {2} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {3} A,}

$${\ displaystyle \ cot A = {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} + {\ frac {4} {\ sqrt {7}}} \ cos B,}

$${\ displaystyle \ cot ^ {2} A = 3 + {\ frac {8} {\ sqrt {7}}} \ sin A,}

$${\ displaystyle \ cot A = {\ sqrt {7}} + {\ frac {8} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {2} B,}

$${\ displaystyle \ csc ^ {3} A = - {\ frac {6} {\ sqrt {7}}} + {\ frac {2} {\ sqrt {7}}} \ tan ^ {2} C,}

$${\ displaystyle \ sec A = 2 + 4 \ cos C,}

$${\ displaystyle \ sec A = 6-8 \ sin ^ {2} B,}

$${\ displaystyle \ sec A = 4 - {\ frac {16} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {3} B,}

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} A = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ cos B,}

$${\ displaystyle \ sin ^ {3} A = - {\ frac {\ sqrt {7}} {8}} + {\ frac {\ sqrt {7}} {4}} \ cos B,}

También tenemos ^[9]

$${\ displaystyle \ sin ^ {3} B \ sin C- \ sin ^ {3} C \ sin A- \ sin ^ {3} A \ sin B = 0,}

$${\ displaystyle \ sin B \ sin ^ {3} C- \ sin C \ sin ^ {3} A- \ sin A \ sin ^ {3} B = {\ frac {7} {2 ^ {4}}} ,}

$${\ displaystyle \ sin ^ {4} B \ sin C- \ sin ^ {4} C \ sin A + \ sin ^ {4} A \ sin B = 0,}

$${\ displaystyle \ sin B \ sin ^ {4} C + \ sin C \ sin ^ {4} A- \ sin A \ sin ^ {4} B = {\ frac {7 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {5}}},}

$${\ displaystyle \ sin ^ {11} B \ sin ^ {3} C- \ sin ^ {11} C \ sin ^ {3} A- \ sin ^ {11} A \ sin ^ {3} B = 0, }

$${\ displaystyle \ sin ^ {3} B \ sin ^ {11} C- \ sin ^ {3} C \ sin ^ {11} A- \ sin ^ {3} A \ sin ^ {11} B = {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 17} {2 ^ {14}}}.}

También tenemos identidades de tipo Ramanujan ^[10] , ^[11]

$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} =}

$${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left (- {\ sqrt [{18}] {7}} \ right) {\ sqrt [{3}] {- {\ sqrt [{ 3}] {7}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {5-3 {\ sqrt [{3}] {7}}}} + {\ sqrt [{3}] { 4-3 {\ sqrt [{3}] {7}}}} \ right)}}}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{ 3}] {2 \ sin ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {8 \ pi} {7}})}}} =}

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\right){\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}={\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}}={\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\sqrt[{18}]{7}}\right){\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {2\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {4\pi }{7}})}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan({\frac {8\pi }{7}})}}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left(-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\right){\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}=}$

${\displaystyle {\text{.......}}\left({\sqrt[{18}]{49}}\right){\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}}$

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ {2} ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ { 2} ({\ frac {8 \ pi} {7}})}}}}}

$${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt [{18}] {49}}} \ right) {\ sqrt [{3}] { 5 {\ sqrt [{3}] {7}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {89 + 3 (3 {\ sqrt [{3}] {49}} + 5 {\ sqrt [{3}] {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {25 + 3 (3 {\ sqrt [{3}] {49}} + 5 {\ sqrt [{3}] {7}})}} \ right)}}}

También tenemos ^[9]

$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3} ] {\ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} = - {\ sqrt [{3}] {7} }.}

$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3} ] {\ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} = 0.}

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {4\pi }{7}})/\cos({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {8\pi }{7}})/\cos({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{4}({\frac {2\pi }{7}})/\cos({\frac {8\pi }{7}})}}=-{\sqrt[{3}]{49}}/2.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {8\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}=0.}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {4\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {8\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {4\pi }{7}})}}+{\sqrt[{3}]{\cos ^{5}({\frac {2\pi }{7}})/\cos ^{2}({\frac {9\pi }{7}})}}=-3*{\sqrt[{3}]{7}}/2.}$

$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {4 \ pi} {7 }})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {8 \ pi } {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac { 2 \ pi} {7}}}} = 0.}

$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {2 \ pi} {7 }})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {4 \ pi } {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac { 8 \ pi} {7}})}} = - 61 * {\ sqrt [{3}] {7}} / 8.}