LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

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Triángulo isósceles
Triángulo isósceles con eje vertical de simetría
Tipo	triángulo
Bordes y vértices	3
Símbolo de Schläfli	() ∨ {}
Grupo de simetría	Dih 2 , [], (*), orden 2
Polígono dual	Auto dual
Propiedades	convexo , cíclico

En geometría , un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud. A veces se especifica que tiene exactamente dos lados de igual longitud y, a veces, que tiene al menos dos lados de igual longitud, la última versión incluye el triángulo equilátero como un caso especial . Los ejemplos de triángulos isósceles incluyen el triángulo rectángulo isósceles , el triángulo dorado y las caras de las bipirámides y ciertos sólidos catalanes .

El estudio matemático de los triángulos isósceles se remonta a las antiguas matemáticas egipcias y las matemáticas babilónicas . Los triángulos isósceles se han utilizado como decoración incluso en épocas anteriores, y aparecen con frecuencia en la arquitectura y el diseño, por ejemplo, en los frontones y frontones de los edificios.

Los dos lados iguales se llaman patas y el tercer lado se llama base del triángulo. Las otras dimensiones del triángulo, como su altura, área y perímetro, se pueden calcular mediante fórmulas simples a partir de las longitudes de las patas y la base. Cada triángulo isósceles tiene un eje de simetría a lo largo de la bisectriz perpendicular de su base. Los dos ángulos opuestos a las patas son iguales y siempre son agudos , por lo que la clasificación del triángulo como agudo, recto u obtuso depende solo del ángulo entre sus dos patas.

Terminología, clasificación y ejemplos [ editar ]

Euclides definió un triángulo isósceles como un triángulo con exactamente dos lados iguales, ^[1] pero los tratamientos modernos prefieren definir los triángulos isósceles con al menos dos lados iguales. La diferencia entre estas dos definiciones es que la versión moderna hace que los triángulos equiláteros (con tres lados iguales) sean un caso especial de triángulos isósceles. ^[2] Un triángulo que no es isósceles (que tiene tres lados desiguales) se llama escaleno . ^[3] "Isósceles" es una palabra compuesta , hecha de las raíces griegas "isos" (igual) y "skelos" (pierna). La misma palabra se usa, por ejemplo, para trapecios isósceles , trapecios con dos lados iguales, ^[4]y para conjuntos isósceles , conjuntos de puntos cada tres de los cuales forman un triángulo isósceles. ^[5]

En un triángulo isósceles que tiene exactamente dos lados iguales, los lados iguales se llaman patas y el tercer lado se llama base . El ángulo incluido por las piernas se llama ángulo de vértice y los ángulos que tienen la base como uno de sus lados se llaman ángulos de base . ^[6] El vértice opuesto a la base se llama ápice . ^[7] En el caso del triángulo equilátero, dado que todos los lados son iguales, cualquier lado puede llamarse la base. ^[8]

Triángulos isósceles especiales

Triángulo rectángulo isósceles

Tres cuadrados inscritos congruentes en el triángulo de Calabi

Un triángulo dorado subdividido en un triángulo dorado más pequeño y gnomon dorado

El mosaico triangular triakis

Sólidos catalanes con caras triangulares isósceles

Tetraedro de Triakis

Octaedro de Triakis

Hexaedro de Tetrakis

Pentakis dodecaedro

Triakis icosaedro

Si un triángulo isósceles es agudo, recto u obtuso depende solo del ángulo en su vértice. En la geometría euclidiana , los ángulos base no pueden ser obtusos (mayores de 90 °) o rectos (iguales a 90 °) porque sus medidas sumarían al menos 180 °, el total de todos los ángulos en cualquier triángulo euclidiano. ^[8] Dado que un triángulo es obtuso o recto si y solo si uno de sus ángulos es obtuso o recto, respectivamente, un triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo si y solo si su ángulo del vértice es respectivamente obtuso, recto o agudo. ^[7] En el libro Flatland de Edwin Abbott , esta clasificación de formas se utilizó como una sátira de la jerarquía social : los triángulos isósceles representabanclase trabajadora , con triángulos isósceles agudos más altos en la jerarquía que los triángulos isósceles rectángulos u obtusos. ^[9]

Así como el triángulo rectángulo isósceles , varias otras formas específicas de triángulos isósceles se han estudiado. Estos incluyen el triángulo de Calabi (un triángulo con tres cuadrados inscritos congruentes), ^[10] el triángulo dorado y el gnomon dorado (dos triángulos isósceles cuyos lados y base están en la proporción dorada ), ^[11] el triángulo 80-80-20 que aparece en el rompecabezas de los ángulos adventicios de Langley , ^[12] y el triángulo 30-30-120 del mosaico triangular triakis . Cinco sólidos catalanes , el triakis tetraedro ,triakis octahedron , tetrakis hexahedron , pentakis dodecahedron y triakis icosahedron , cada uno tiene caras de triángulos isósceles, al igual que infinitas pirámides ^[8] y bipirámides . ^[13]

Fórmulas [ editar ]

Altura [ editar ]

Para cualquier triángulo isósceles, los siguientes seis segmentos de línea coinciden:

• la altitud , un segmento de línea desde el vértice perpendicular a la base, ^[14]
• la bisectriz angular desde el vértice hasta la base, ^[14]
• la mediana desde el vértice hasta el punto medio de la base, ^[14]
• la bisectriz perpendicular de la base dentro del triángulo, ^[14]
• el segmento dentro del triángulo del eje único de simetría del triángulo, y ^[14]
• El segmento dentro del triángulo de la línea de Euler del triángulo. ^[15]

Su longitud común es la altura. $${\ displaystyle h}del triángulo Si el triángulo tiene lados iguales de longitud$${\ displaystyle a} y base de longitud $${\ displaystyle b}, las fórmulas de triángulos generales para las longitudes de estos segmentos se simplifican a ^[16]

$${\ displaystyle h = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}

Esta fórmula también se puede derivar del teorema de Pitágoras usando el hecho de que la altitud divide la base y divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos congruentes. ^[17]

La línea de Euler de cualquier triángulo pasa por el ortocentro del triángulo (la intersección de sus tres altitudes), su centroide (la intersección de sus tres medianas) y su circuncentro (la intersección de las bisectrices perpendiculares de sus tres lados, que también es el centro del círculo circunferencial que pasa por los tres vértices). En un triángulo isósceles con exactamente dos lados iguales, estos tres puntos son distintos y (por simetría) todos se encuentran en el eje de simetría del triángulo, de donde se deduce que la línea de Euler coincide con el eje de simetría. El incentro del triángulo también se encuentra en la línea de Euler, algo que no es cierto para otros triángulos. ^[15]Si dos de una bisectriz, mediana o altitud coinciden en un triángulo dado, ese triángulo debe ser isósceles. ^[18]

Área [ editar ]

La zona $${\ displaystyle T}de un triángulo isósceles puede derivarse de la fórmula para su altura, y de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de la base y la altura: ^[16]

$${\ displaystyle T = {\ frac {b} {4}} {\ sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}

La misma fórmula de área también se puede derivar de la fórmula de Heron para el área de un triángulo desde sus tres lados. Sin embargo, aplicar la fórmula de Heron directamente puede ser numéricamente inestable para triángulos isósceles con ángulos muy agudos, debido a la casi cancelación entre el semiperímetro y la longitud lateral en esos triángulos. ^[19]

Si el ángulo del ápice $${\ displaystyle (\ theta)} y longitudes de pierna $${\ displaystyle (a)}de un triángulo isósceles son conocidos, entonces el área de ese triángulo es: ^[20]

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ sin \ theta.}

Este es un caso especial de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de dos lados multiplicado por el seno del ángulo incluido. ^[21]

Perímetro [ editar ]

El perimetro $${\ displaystyle p} de un triángulo isósceles con lados iguales $${\ displaystyle a} y base $${\ displaystyle b}es solo ^[16]

$${\ displaystyle p = 2a + b.}

Como en cualquier triángulo, el área $${\ displaystyle T} y perímetro $${\ displaystyle p}están relacionados por la desigualdad isoperimétrica ^[22]

{\ displaystyle p ^ {2}> 12 {\ sqrt {3}} T.}

Esta es una desigualdad estricta para los triángulos isósceles con lados desiguales a la base, y se convierte en una igualdad para el triángulo equilátero. El área, el perímetro y la base también pueden relacionarse entre sí mediante la ecuación ^[23]

$${\ displaystyle 2pb ^ {3} -p ^ {2} b ^ {2} + 16T ^ {2} = 0.}

Si la base y el perímetro son fijos, esta fórmula determina el área del triángulo isósceles resultante, que es el máximo posible entre todos los triángulos con la misma base y perímetro. ^[24] Por otro lado, si el área y el perímetro son fijos, esta fórmula se puede usar para recuperar la longitud de la base, pero no de forma exclusiva: en general, hay dos triángulos isósceles distintos con un área determinada.$${\ displaystyle T} y perímetro $${\ displaystyle p}. Cuando la desigualdad isoperimétrica se convierte en igualdad, solo hay uno de esos triángulos, que es equilátero. ^[25]

Longitud de la bisectriz angular [ editar ]

Si los dos lados iguales tienen longitud $${\ displaystyle a} y el otro lado tiene longitud $${\ displaystyle b}, entonces la bisectriz de ángulo interno $${\ displaystyle t}de uno de los dos vértices de ángulos iguales satisface ^[26]

{\ displaystyle {\ frac {2ab} {a + b}}> t> {\ frac {ab {\ sqrt {2}}} {a + b}}}

tanto como

{\ displaystyle t <{\ frac {4a} {3}};}

y, a la inversa, si se cumple la última condición, un triángulo isósceles parametrizado por $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle t}existe ^[27]

El teorema de Steiner-Lehmus establece que cada triángulo con dos bisectrices angulares de igual longitud es isósceles. Fue formulado en 1840 por CL Lehmus . Su otro homónimo, Jakob Steiner , fue uno de los primeros en proporcionar una solución. ^[28] Aunque originalmente se formuló solo para bisectrices de ángulo interno, funciona para muchos (pero no todos) los casos en que, en cambio, dos bisectrices de ángulo externas son iguales. El triángulo isósceles 30-30-120 presenta un caso límite para esta variación del teorema, ya que tiene cuatro bisectrices de ángulo igual (dos internas, dos externas). ^[29]

Radios [ editar ]

Triángulo isósceles que muestra su circuncentro (azul), centroide (rojo), incentro (verde) y eje de simetría (púrpura)

Las fórmulas inradius y circumradius para un triángulo isósceles pueden derivarse de sus fórmulas para triángulos arbitrarios. ^[30] El radio del círculo inscrito de un triángulo isósceles con longitud lateral$${\ displaystyle a}, base $${\ displaystyle b}y altura $${\ displaystyle h}es: ^[16]

$${\ displaystyle {\ frac {2ab-b ^ {2}} {4h}}.}

El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia por encima de la base. Un triángulo isósceles tiene el círculo inscrito más grande posible entre los triángulos con la misma base y ángulo de vértice, además de tener el área y el perímetro más grandes entre la misma clase de triángulos. ^[31]

El radio del círculo circunscrito es: ^[16]

$${\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {2h}}.}

El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia debajo del vértice.

Plaza inscrita [ editar ]

Para cualquier triángulo isósceles, hay un cuadrado único con un lado colineal con la base del triángulo y las dos esquinas opuestas en sus lados. El triángulo de Calabi es un triángulo isósceles especial con la propiedad de que los otros dos cuadrados inscritos, con lados colineales con los lados del triángulo, son del mismo tamaño que el cuadrado base. ^[10] Un teorema mucho más antiguo, preservado en las obras de Hero of Alexandria , establece que, para un triángulo isósceles con base$${\ displaystyle b} y altura $${\ displaystyle h}, la longitud lateral del cuadrado inscrito en la base del triángulo es ^[32]

$${\ displaystyle {\ frac {bh} {b + h}}.}

Subdivisión isósceles de otras formas [ editar ]

Partición de un pentágono cíclico en triángulos isósceles por radios de su circunferencia

Para cualquier entero $${\ displaystyle n \ geq 4}, cualquier triángulo se puede dividir en$${\ displaystyle n}triángulos isósceles ^[33] En un triángulo rectángulo , la mediana de la hipotenusa (es decir, el segmento de línea desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice en ángulo recto) divide el triángulo rectángulo en dos triángulos isósceles. Esto se debe a que el punto medio de la hipotenusa es el centro del círculo del triángulo rectángulo, y cada uno de los dos triángulos creados por la partición tiene dos radios iguales como dos de sus lados. ^[34] Del mismo modo, un triángulo agudo puede dividirse en tres triángulos isósceles por segmentos desde su circuncentro, ^[35] pero este método no funciona para triángulos obtusos, porque el circuncentro se encuentra fuera del triángulo. ^[30]

Al generalizar la partición de un triángulo agudo, cualquier polígono cíclico que contenga el centro de su círculo circunscrito puede dividirse en triángulos isósceles por los radios de este círculo a través de sus vértices. El hecho de que todos los radios de un círculo tengan la misma longitud implica que todos estos triángulos son isósceles. Esta partición se puede utilizar para derivar una fórmula para el área del polígono en función de sus longitudes laterales, incluso para polígonos cíclicos que no contienen sus circuncentros. Esta fórmula generaliza la fórmula de Heron para triángulos y la fórmula de Brahmagupta para cuadriláteros cíclicos . ^[36]

Cualquiera de las diagonales de un rombo lo divide en dos triángulos isósceles congruentes . Del mismo modo, una de las dos diagonales de una cometa lo divide en dos triángulos isósceles, que no son congruentes, excepto cuando la cometa es un rombo. ^[37]

Aplicaciones [ editar ]

En arquitectura y diseño [ editar ]

Obtuso isósceles frontón del Panteón, Roma

Aguilón isósceles agudo sobre el portal Saint-Etienne, Notre-Dame de Paris

Los triángulos isósceles comúnmente aparecen en la arquitectura como formas de frontones y frontones . En la arquitectura griega antigua y sus imitaciones posteriores, se utilizó el triángulo isósceles obtuso; en la arquitectura gótica esto fue reemplazado por el agudo triángulo isósceles. ^[8]

En la arquitectura de la Edad Media , otra forma de triángulo isósceles se hizo popular: el triángulo isósceles egipcio. Este es un triángulo isósceles que es agudo, pero menos que el triángulo equilátero; su altura es proporcional a 5/8 de su base. ^[38] El triángulo isósceles egipcio fue utilizado nuevamente en la arquitectura moderna por el arquitecto holandés Hendrik Petrus Berlage . ^[39]

Vista detallada de una armadura Warren modificada con verticales

Las estructuras de truss de Warren , como los puentes, se disponen comúnmente en triángulos isósceles, aunque a veces también se incluyen vigas verticales para mayor resistencia. ^[40] Las superficies teseladas por triángulos isósceles obtusos se pueden usar para formar estructuras desplegables que tienen dos estados estables: un estado desplegado en el que la superficie se expande a una columna cilíndrica y un estado plegado en el que se pliega en una forma de prisma más compacta que Se puede transportar más fácilmente. ^[41]

Bandera de Guyana

Bandera de santa lucía

En el diseño gráfico y las artes decorativas , los triángulos isósceles han sido un elemento de diseño frecuente en culturas de todo el mundo, desde al menos el Neolítico Temprano ^[42] hasta los tiempos modernos. ^[43] Son un elemento de diseño común en banderas y heráldica , que aparecen prominentemente con una base vertical, por ejemplo, en la bandera de Guyana , o con una base horizontal en la bandera de Santa Lucía , donde forman una imagen estilizada de un isla de montaña ^[44]

También han sido utilizados en diseños con importancia religiosa o mística, por ejemplo en el Sri Yantra de hindúes la práctica de la meditación . ^[45]

En otras áreas de las matemáticas [ editar ]

Si una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces que no son todos números reales , entonces cuando estas raíces se trazan en el plano complejo como un diagrama de Argand , forman vértices de un triángulo isósceles cuyo eje de simetría coincide con el eje horizontal (real) . Esto se debe a que las raíces complejas son conjugados complejos y, por lo tanto, son simétricas con respecto al eje real. ^[46]

En la mecánica celeste , el problema de los tres cuerpos se ha estudiado en el caso especial de que los tres cuerpos formen un triángulo isósceles, porque asumir que los cuerpos están dispuestos de esta manera reduce el número de grados de libertad del sistema sin reducirlo al resolvió el caso del punto de Lagrange cuando los cuerpos forman un triángulo equilátero. Las primeras instancias del problema de tres cuerpos que mostraron oscilaciones ilimitadas fueron en el problema de tres cuerpos isósceles. ^[47]

Historia y falacias [ editar ]

Mucho antes de que los antiguos matemáticos griegos estudiaran los triángulos isósceles , los practicantes de las matemáticas del antiguo Egipto y las matemáticas de Babilonia sabían cómo calcular su área. Los problemas de este tipo se incluyen en el Papiro Matemático de Moscú y el Papiro Matemático Rhind . ^[48]

El teorema de que los ángulos base de un triángulo isósceles son iguales aparece como Proposición I.5 en Euclides. ^[49] Este resultado se ha denominado pons asinorum (el puente de los asnos) o el teorema del triángulo isósceles. Las explicaciones rivales para este nombre incluyen la teoría de que se debe a que el diagrama utilizado por Euclides en su demostración del resultado se parece a un puente, o porque este es el primer resultado difícil en Euclides, y actúa para separar a aquellos que pueden entender la geometría de Euclides de aquellos quien no puede. ^[50]

Una falacia bien conocida es la falsa prueba de la afirmación de que todos los triángulos son isósceles . Robin Wilson atribuye este argumento a Lewis Carroll , ^[51] quien lo publicó en 1899, pero WW Rouse Ball lo publicó en 1892 y luego escribió que Carroll obtuvo el argumento de él. ^[52] La falacia está enraizada en la falta de reconocimiento de Euclides del concepto de intermediación y la ambigüedad resultante de dentro y fuera de las figuras.