LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

Para otras aplicaciones, vea Ceva (desambiguación) .

Teorema de Ceva, caso 1: las tres líneas son concurrentes en un punto O dentro de ABC

Teorema de Ceva, caso 2: las tres líneas son concurrentes en un punto O fuera de ABC

El teorema de Ceva es un teorema sobre triángulos en geometría plana . Dado un triángulo ABC , deje que las líneas AO , BO y CO se dibujen desde los vértices a un punto común O (no en uno de los lados de ABC ), para encontrar lados opuestos en D , E y F, respectivamente. (Los segmentos AD, BE y CF se conocen como cevianos ). Luego, usando longitudes de segmentos con signo,

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1.}

En otras palabras, la longitud AB se considera positiva o negativa según si A está a la izquierda o derecha de B en alguna orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como un valor positivo cuando F está entre A y B y negativo en caso contrario.

El teorema de Ceva es un teorema de geometría afín , en el sentido de que puede expresarse y probarse sin usar los conceptos de ángulos, áreas y longitudes (excepto la relación de las longitudes de dos segmentos de línea que son colineales ). Por lo tanto, es cierto para triángulos en cualquier plano afín sobre cualquier campo .

Un inverso ligeramente adaptado también es cierto: si los puntos D , E y F se eligen en BC , AC y AB respectivamente, de modo que

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1,}

entonces AD , BE y CF son concurrentes , o los tres son paralelos . Lo contrario a menudo se incluye como parte del teorema.

El teorema se atribuye a menudo a Giovanni Ceva , quien lo publicó en su obra de 1678 De lineis rectis . Pero fue demostrado mucho antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd , un rey de Zaragoza del siglo XI . ^[1]

Asociados con las figuras hay varios términos derivados del nombre de Ceva: ceviano (las líneas AD, BE, CF son los cevianos de O), el triángulo ceviano (el triángulo DEF es el triángulo ceviano de O); nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado de ceva. ( Ceva se pronuncia Chay'va; cevian se pronuncia chev'ian).

El teorema es muy similar al teorema de Menelao en que sus ecuaciones difieren solo en signo.

Pruebas [ editar ]

Se han dado varias pruebas del teorema. ^[2] [3] Dos pruebas se dan a continuación.

El primero es muy elemental y usa solo propiedades básicas de las áreas triangulares. ^[2] Sin embargo, varios casos han de ser considerados, dependiendo de la posición del punto O .

La segunda prueba utiliza coordenadas y vectores barcéntricos , pero de alguna manera es más natural y no depende de las mayúsculas y minúsculas. Además, funciona en cualquier plano afín sobre cualquier campo .

Usar áreas triangulares [ editar ]

Primero, el signo del lado izquierdo es positivo ya que las tres razones son positivas, el caso en el que O está dentro del triángulo (diagrama superior), o uno es positivo y los otros dos son negativos, el caso O es fuera del triángulo (el diagrama inferior muestra un caso).

Para verificar la magnitud, tenga en cuenta que el área de un triángulo de una altura dada es proporcional a su base. Entonces

$${\ displaystyle {\ frac {| \ triangle BOD |} {| \ triangle COD |}} = {\ frac {BD} {DC}} = {\ frac {| \ triangle BAD |} {| \ triangle CAD |} }.}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ frac {BD} {DC}} = {\ frac {| \ triangle BAD | - | \ triangle BOD |} {| \ triangle CAD | - | \ triangle COD |}} = {\ frac {| \ triangle ABO |} {| \ triangle CAO |}}.}

(Reemplace el signo menos con un signo más si A y O están en lados opuestos de BC ). De manera similar,

$${\ displaystyle {\ frac {CE} {EA}} = {\ frac {| \ triangle BCO |} {| \ triangle ABO |}},}

y

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {| \ triangle CAO |} {| \ triangle BCO |}}.}

Multiplicar estas tres ecuaciones da

$${\ displaystyle \ left | {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} \ right | = 1,}

según sea necesario.

El teorema también se puede probar fácilmente usando el teorema de Menelao. ^[4] Desde el BOE transversal del triángulo ACF ,

$${\ displaystyle {\ frac {AB} {BF}} \ cdot {\ frac {FO} {OC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = - 1}

y desde la AOD transversal del triángulo BCF ,

$${\ displaystyle {\ frac {BA} {AF}} \ cdot {\ frac {FO} {OC}} \ cdot {\ frac {CD} {DB}} = - 1.}

El teorema sigue dividiendo estas dos ecuaciones.

Lo contrario sigue como corolario. ^[2] Sean D , E y F las líneas BC , AC y AB para que la ecuación se mantenga. Deje que AD y BE se encuentren en O y que F 'sea el punto donde CO cruza AB . Luego, según el teorema, la ecuación también se cumple para D , E y F '. Comparando los dos,

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {AF '} {F'B}}}

Pero, como máximo, un punto puede cortar un segmento en una proporción dada, de modo que F = F '.

Uso de coordenadas barcéntricas [ editar ]

Dados tres puntos A , B , C , que no son colineales , y un punto O , que pertenece al mismo plano , las coordenadas barcéntricas de O con respecto a A , B , C son los tres números únicos.$${\ displaystyle \ lambda _ {A}, \ lambda _ {B}, \ lambda _ {C}} tal que

$${\ displaystyle \ lambda _ {A} + \ lambda _ {B} + \ lambda _ {C} = 1,}

y

$${\ displaystyle {\ overrightarrow {XO}} = \ lambda _ {A} {\ overrightarrow {XA}} + \ lambda _ {B} {\ overrightarrow {XB}} + \ lambda _ {C} {\ overrightarrow {XC }},}

para cada punto X (para la definición de esta notación de flecha y más detalles, ver Espacio afinado ).

Para el teorema de Ceva, se supone que el punto O no pertenece a ninguna línea que pase por dos vértices del triángulo. Esto implica que$${\ displaystyle \ lambda _ {A} \ lambda _ {B} \ lambda _ {C} \ neq 0.}

Si se toma para X la intersección F de las líneas AB y OC (ver figuras), la última ecuación se puede reorganizar en

$${\ displaystyle {\ overrightarrow {FO}} - \ lambda _ {C} {\ overrightarrow {FC}} = \ lambda _ {A} {\ overrightarrow {FA}} + \ lambda _ {B} {\ overrightarrow {FB }}.}

El lado izquierdo de esta ecuación es un vector que tiene la misma dirección que la línea CF , y el lado derecho tiene la misma dirección que la línea AB . Estas líneas tienen direcciones diferentes ya que A , B y C no son colineales. Se deduce que los dos miembros de la ecuación son iguales al vector cero, y

$${\ displaystyle \ lambda _ {A} {\ overrightarrow {FA}} + \ lambda _ {B} {\ overrightarrow {FB}} = 0.}

Resulta que

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {\ lambda _ {B}} {\ lambda _ {A}}},}

donde la fracción del lado izquierdo es la relación con signo de las longitudes de los segmentos de línea colineales AF y FB .

El mismo razonamiento muestra

$${\ displaystyle {\ frac {BD} {DC}} = {\ frac {\ lambda _ {C}} {\ lambda _ {A}}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {CE } {EA}} = {\ frac {\ lambda _ {A}} {\ lambda _ {C}}}.}

El teorema de Ceva resulta inmediatamente al tomar el producto de las tres últimas ecuaciones.

Generalizaciones [ editar ]

El teorema se puede generalizar a símplex de dimensiones superiores utilizando coordenadas barcéntricas . Defina un ceviano de un n- simple como un rayo desde cada vértice hasta un punto en la cara opuesta ( n -1) ( faceta ). Entonces, los cevianos son concurrentes si y solo si se puede asignar una distribución de masa a los vértices de manera que cada cevia se cruce con la faceta opuesta en su centro de masa . Además, el punto de intersección de los cevians es el centro de masa del simplex. ^[5] [6]

El teorema de Routh da el área del triángulo formado por tres cevianos en el caso de que no sean concurrentes. El teorema de Ceva se puede obtener de él estableciendo el área igual a cero y resolviendo.

El análogo del teorema de los polígonos generales en el plano se conoce desde principios del siglo XIX. ^[7] El teorema también se ha generalizado a triángulos en otras superficies de curvatura constante .

cevia es cualquier segmento de línea en un triángulo con un punto final en un vértice del triángulo y el otro punto final en el lado opuesto (extendido). ^{[1] Las} medianas , las altitudes y las bisectrices de ángulo son casos especiales de cevians. El nombre cevian proviene del matemático italiano Giovanni Ceva , quien demostró ser un conocido teorema sobre cevians que también lleva su nombre. 

Longitud [ editar ]

Un triángulo con un cevia de longitud d

Teorema de Stewart [ editar ]

La longitud de un ceviano puede determinarse mediante el teorema de Stewart : en el diagrama, la longitud ceviana d viene dada por la fórmula

$${\ displaystyle \, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn)}

o, con menos frecuencia,

$${\ displaystyle \, man + dad = bmb + cnc.}^[3]

Mediana [ editar ]

Si el cevia es una mediana ( bisecando un lado ), su longitud puede determinarse a partir de la fórmula

$${\ displaystyle \, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}

o

$${\ displaystyle \, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}

ya que

$${\ displaystyle \, a = 2m.}

Por lo tanto, en este caso

$${\ displaystyle d = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}

Bisectriz de ángulo [ editar ]

Si el cevia es una bisectriz angular , su longitud obedece a las fórmulas

$${\ displaystyle \, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 \ right),}

y ^[4]

$${\ displaystyle d ^ {2} + mn = bc}

y

$${\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}

donde el semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2 .

El lado de la longitud a se divide en la proporción b : c .

Altitud [ editar ]

Si el cevia es una altitud y, por lo tanto, perpendicular a un lado, su longitud obedece a las fórmulas.

$${\ displaystyle \, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}

y

$${\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}} {a}},}

donde el semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2.

Propiedades de relación [ editar ]

Tres cevians pasando por un punto común

Hay varias propiedades de las proporciones de longitudes formadas por tres cevians que pasan a través del mismo punto interior arbitrario: ^{[5] : 177-188} Refiriéndose al diagrama de la derecha,

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1;}( Teorema de Ceva )

$${\ displaystyle {\ frac {AO} {OD}} = {\ frac {AE} {EC}} + {\ frac {AF} {FB}};}

$${\ displaystyle {\ frac {OD} {AD}} + {\ frac {OE} {BE}} + {\ frac {OF} {CF}} = 1;}

$${\ displaystyle {\ frac {AO} {AD}} + {\ frac {BO} {BE}} + {\ frac {CO} {CF}} = 2.}

Estas dos últimas propiedades son equivalentes porque sumar las dos ecuaciones da la identidad 1 + 1 + 1 = 3.

Splitter [ editar ]

Un divisor de un triángulo es un cevia que divide el perímetro . Los tres divisores coinciden en el punto Nagel del triángulo.

Bisectrices de área [ editar ]

Tres de las bisectrices del área de un triángulo son sus medianas, que conectan los vértices a los puntos medios del lado opuesto. Por lo tanto, un triángulo de densidad uniforme se equilibraría en principio en una cuchilla de afeitar que soporte cualquiera de las medianas.

Trisectores de ángulo [ editar ]

Si de cada vértice de un triángulo se dibujan dos cevios para trisecar el ángulo (dividirlo en tres ángulos iguales), entonces los seis cevios se cruzan en pares para formar un triángulo equilátero , llamado triángulo de Morley .

Área del triángulo interior formado por cevianos [ editar ]

El teorema de Routh determina la proporción del área de un triángulo dado a la de un triángulo formado por las intersecciones en pares de tres cevianos, uno de cada vértice.