LISTAS DE FORMAS - TRIÁNGULOS

 circuncónica es una sección cónica que pasa a través de los tres vértices de un triángulo, ^[1] y una incónica es una sección cónica inscrita en los lados, posiblemente extendidos , de un triángulo. ^[2]

Supongamos que A, B, C son distintos puntos no colineales, y permiten ΔABC denotan el triángulo cuyos vértices son A, B, C . Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice sino también el ángulo BAC en el vértice A , y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC . Deje a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |, las longitudes laterales de Δ ABC .

En coordenadas trilineales , la circuncónica general es el lugar geométrico de un punto variable X = x  : y  : z que satisface una ecuación

uyz + vzx + wxy = 0,

por algún punto u: v: w . El conjugado isogonal de cada punto X en la circuncónica, que no sea A, B, C , es un punto en la línea

ux + vy + wz = 0.

Esta línea se encuentra con el círculo circunferencial de ΔABC en 0,1, o 2 puntos, ya que la circuncónica es una elipse, una parábola o una hipérbola.

La incónica general es tangente a las tres líneas laterales de ΔABC y está dada por la ecuación

u ² x ² + v ² y ² + w ² z ² - 2 vwyz - 2 wuzx - 2 uvxy = 0.

Centros y líneas tangentes [ editar ]

Circunconico [ editar ]

El centro de la circuncisión general es el punto.

u (- au + bv + cw ): v ( au - bv + cw ): w ( au + bv - cw ).

Las líneas tangentes a la circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,

wv + vz = 0,

uz + wx = 0,

vx + uy = 0.

Inconic [ editar ]

El centro de la incónica general es el punto.

cv + bw  : aw + cu  : bu + av .

Las líneas tangentes a la incónica general son las líneas laterales de ΔABC , dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

Otras características [ editar ]

Circunconico [ editar ]

• Cada circuncónico no circular se encuentra con el círculo de ΔABC en un punto distinto de A, B y C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección , dado por coordenadas trilineales.

( cx - az ) ( ay - bx ): ( ay - bx ) ( bz - cy ): ( bz - cy ) ( cx - az )

• Si P = p: q: r es un punto en la circuncónica general, entonces la línea tangente a la cónica en P viene dada por

( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.

• La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si

u ² a ² + v ² b ² + w ² c ² - 2 vwbc - 2 wuca - 2 uvab = 0,

y a una hipérbola rectangular si y solo si

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene mayor área coincide con el centro de la elipse. ^{[3] : p.147} La elipse dada, que atraviesa los tres vértices de este triángulo y se centra en el centroide del triángulo, se llama circuito de Steiner del triángulo .

Inconic [ editar ]

• La incónica general se reduce a una parábola si y solo si

ubc + vca + wab = 0,

en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y tangente a las extensiones de los otros dos lados .

• Suponga que p ₁  : q ₁  : r ₁ y p ₂  : q ₂  : r ₂ son puntos distintos, y dejemos

X = ( p ₁ + p ₂ t ): ( q ₁ + q ₂ t ): ( r ₁ + r ₂ t ).

Como el parámetro t abarca los números reales , el lugar geométrico de X es una línea. Definir

X ² = ( p ₁ + p ₂ t ) ²  : ( q ₁ + q ₂ t ) ²  : ( r ₁ + r ₂ t ) ² .

El locus de X ² es el incónico, necesariamente una elipse , dado por la ecuación

L ⁴ x ² + M ⁴ y ² + N ⁴ z ² - 2 M ² N ² yz - 2 N ² L ² zx - 2 L ² M ² xy = 0,

dónde

L = q ₁ r ₂ - r ₁ q ₂ ,

M = r ₁ p ₂ - p ₁ r ₂ ,

N = p ₁ q ₂ - q ₁ p ₂ .

• Un punto en el interior de un triángulo es el centro de un inellipse del triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original. ^{[3] : p.139} Para un punto dado dentro de ese triángulo medial , el inelipse con su centro en ese punto es único. ^{[3] : p.142}
• El inellipse con el área más grande es el inellipse Steiner , también llamado inellipse del punto medio, con su centro en el centroide del triángulo . ^{[3] : p.145} En general, la relación del área del inelipse al área del triángulo, en términos de coordenadas barcéntricas de suma de unidades $${\ displaystyle (\ alpha, \ beta, \ gamma)}del centro del inellipse, es ^{[3] : p.143}

$${\ displaystyle {\ frac {\ text {Área de inellipse}} {\ text {Área de triángulo}}} = \ pi {\ sqrt {(1-2 \ alpha) (1-2 \ beta) (1-2 \ gamma)}},}

que se maximiza por las coordenadas barcéntricas del centroide $${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 1/3.}

• Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes. ^{[3] : p.148}

Extensión a cuadriláteros [ editar ]

Todos los centros de inelipsis de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero. ^{[3] : p.136}

Ejemplos [ editar ]

• Circunconicos
  • Circuncircle , el círculo único que pasa a través de los tres vértices de un triángulo.
  • Steiner circumellipse , la elipse única que pasa a través de los tres vértices de un triángulo y se centra en el centroide del triángulo
  • La hipérbola de Kiepert , la cónica única que atraviesa los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro
  • La hipérbola de Jeřábek , una hipérbola rectangular centrada en el círculo de nueve puntos de un triángulo y que atraviesa los tres vértices del triángulo, así como su circuncentro , ortocentro y varios otros centros notables.
  • La hipérbola de Feuerbach , una hipérbola rectangular que pasa a través del ortocentro de un triángulo, el punto de Nagel y varios otros puntos notables, y se centra en el círculo de nueve puntos.
• Inconics
• Incircle , el círculo único que es tangente internamente a los tres lados de un triángulo
• Steiner inellipse , la elipse única que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios
• Mandart inellipse , la elipse tangente única a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus círculos.
• Parábola de Kiepert
• Parábola Yff