FÍSICA - ESTUDIOS Y EJEMPLOS

Se dispara un proyectil contra un blanco móvil

Descripción

El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos

• Uniforme a lo largo del eje horizontal X

a_x=0
v_x=v·cosθ
x= v·cosθ·t

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

a_y=-g
v_y=v·senθ-g·t
y= v·senθ·t-gt²/2

El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es

x=d-u·t

El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·senθ/g
En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles

Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.

1. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad u del carro de combate.

2. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v

3. El caso más interesante, es aquél en el que se conoce la separación inicial d, la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ

Ángulos de disparo

Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente
v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g=0
Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)
z=v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g
y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura.

El máximo de la función z se produce

para un ángulo θ_m independiente de la distancia d

Los dos ángulos buscados θ₁ y θ₂ están en los intervalos (0, θ_m) y (θ_m, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente
Existe una distancia d_m para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θ_m. El máximo de la función f(θ_m) es z=0.

Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que d_m, no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.

Actividades

• La velocidad v de disparo del proyectil se ha fijado en 100 m/s.
• La distancia horizontal d entre el cañón y el carro de combate en el momento del disparo se ha fijado en 1000 m.
• El programa interactivo genera un número aleatorio comprendido entre 0 y 50 que representa la velocidad u del carro de combate. cada vez que se pulsa el botón tituladoNuevo
• Se establece el ángulo de disparo, moviendo el dedo de la barra de desplazamiento, o introduciendo un ángulo en grados en el control de edición titulado Angulo.

Se pulsa el botón titulado Empieza
Observamos el movimiento del carro de combate desde la posición inicial x=1000 m, hacia el origen donde se encuentra el cañón.

• Se cambia el ángulo de tiro y se pulsa el botón titulado Empieza
• Se ensaya con varios ángulos de disparo hasta dar en el blanco.

Se completa una tabla de valores de z en función del ángulo de disparo θ y se dibuja en un papel la función
z=v²·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

• la velocidad de disparo es v=100 m/s
• la velocidad del carro de combate u es el valor suministrado por el programa, (en la parte derecha del applet)
• la distancia inicial entre el cañón y el carro de combate es  d=1000 m,
• g=9.8 m/s².

Se comprueba que las raíces de la ecuación trascendente son aproximadamente iguales a los ángulos de disparo obtenidos por el procedimiento de ensayo.