Otros máximos en el tiro parabólico
Ecuación de la trayectoria
Se dispara un proyectil con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son
· a lo largo del eje horizontal X
· a lo largo del eje vertical Y
Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria
Alcance
La abscisa R del punto de impacto, denominada alcance se obtiene poniendo y=0 en la ecuación de la trayectoria
El máximo valor de R se obtiene para θ=45º
Tiempo de vuelo
Poniendo y=0, y despejando t, tenemos dos soluciones t=0, que corresponde al disparo del proyectil y
El valor máximo de T se obtiene para θ=90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje Y.
Área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X
En la figura se muestra el área diferencial y·dx. El área total encerrada entre la trayectoria y el eje X se calcula mediante la integral definida.
En la figura, se muestra que el comportamiento del área total A encerrada entre la trayectoria y el eje X con el ángulo de tiro θ. El área aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir, hasta que se hace cero cuando θ=90º
Calculamos el máximo de la función f(θ)=sen3θ·cosθ
Tiene sentido solamente el signo positivo, que corresponde al ángulo de tiro θ=60º
Cuando se dispara un proyectil con un ángulo de tiro θ=60º, el área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X es máxima.
Longitud de la trayectoria
La longitud del elemento diferencial de la trayectoria (en color rojo en la figura) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes dx y dy, respectivamente.
La longitud total del camino recorrido por el proyectil es
Esta integral es de la forma
su solución se puede consultar en cualquier libro de Cálculo Diferencial e Integral.
Al cambiar la variable de x a u cambian los límites de la integral.
- El límite inferior se obtiene para x=0, es decir, para u0=tanθ
- El límite superior se obtiene para x=R, es decir, para u1=-tanθ
Teniendo en cuenta que 1+tan2θ=1/cos2θ
En la figura, se muestra que el comportamiento de la longitud L del camino recorrido por el proyectil con el ángulo de tiro θ. La longitud aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir.
Derivamos L(θ) para hallar el ángulo θ para el cual la longitud de la trayectoria es máxima
Tenemos que resolver la ecuación trascendente
La representación gráfica nos indica que el máximo de L(θ) se encuentra entre 50 y 60º
Al final de esta página, se proporciona el código en Lenguaje Java del procedimiento que permite calcular la raíz de la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio. El valor que se obtiene es θm=56.46º
Distancia entre el origen del disparo y el proyectil
La distancia d entre el origen O y la posición (x, y) del proyectil en el instante t es
El máximo de esta distancia se obtiene igualando la derivada con respecto al tiempo a cero
Simplificando entre t, calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en t.
Las raíces reales existen cuando el radicando es positivo o nulo
Para ángulos de tiro θ< θ0 la distancia d entre el origen y el proyectil es una función creciente del tiempo, que alcanza su máximo valor cuando impacta en el suelo.
El máximo d es igual al alcance R y ocurre en el instante T=2v0senθ/g que es el tiempo de vuelo.
En el instante t+ la distancia d+ entre el origen y la posición del proyectil vale
En el instante t- la distancia d- entre el origen y el proyectil vale
Comprobamos que
De las dos soluciones de la ecuación de segundo grado t+ y t- solamente hemos de tener en cuenta la segunda, ya que d->d+ para θ>θ0=70.5º .
Verificamos que el instante t- es menor que el tiempo de vuelo T
Comparamos ahora d- con el alcance R. Vamos a determinar el ángulo θ1 a partir del cual d- es mayor que R
La ecuación
11x8-31x6+28x4-7x2-1=0
Tiene dos raíces reales dobles x=1 y x=-1
11x8-31x6+28x4-7x2-1=(x-1)2 (x+1)2(11x4-9x2-1)
Resolvemos la ecuación bicuadrada
11x4-9x2-1=0 haciendo el cambio de variable z=x2
11z2-9z-1=0
La raíces reales son x=±0.95775, que corresponden al ángulo θ=±arcsenx=±73.3º
Para el ángulo θ≥θ1=73.3º la distancia d- entre le origen y la posición del proyectil en el instante t- es mayor que el alcance R
En la figura se muestra, el instante tm para el cual la distancia d entre el proyectil y el origen es máximo. Para θ<θ1=73.3º esta distancia es el alcance R y el tiempo tm=T al tiempo de vuelo. Sorprendentemente, la curva presenta una discontinuidad en θ=θ1. A partir de este ángulo θ>θ1, el instante tm=t- y la distancia máxima dm=d-. Las expresiones de t- y d- en función del ángulo de tiro θ las hemos deducido en este apartado.
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