Astronomía

Astronomia del movimiento de la Tierra en el espacio

La Tierra Redonda y Cristóbal Colón

Réplica de la nave capitana de Colón,& nbsp;  navegando a lo largo de la plataforma de  lanzamiento de la lanzadera en Cabo Cañaveral.

Es bien conocido hoy que la Tierra es una esfera o casi (su ecuador está abultado un poco debido a la rotación). Cuando Cristóbal Colón plantea llegar a la India navegando hacia el oeste desde España, también conocía que la Tierra era redonda. La India era productora de especies apreciadas y de otras mercaderías valiosas, pero llegar allí por el este era difícil porque Africa cerraba el paso. En un mundo redondo, sin embargo, debería ser posible alcanzar la India navegando hacia el oeste y Colón planteó hacerlo así (no fue el primero en proponerlo, como se verá más abajo). A veces se afirma que los que se oponían al pensamiento de Colón, lo eran por pensar que la Tierra era redonda, pero ese no era, en absoluto, el caso. Hasta en los tiempos antiguos los marinos sabían que la Tierra era redonda y los científicos no solo suponían que era redonda, sino que hasta calculaban su tamaño. Si usted está en la orilla del mar y observa un barco navegando mar adentro, verá que desaparece gradualmente de la vista. La razón no es la distancia: si hay una colina o una torre cerca y sube a la cima después de que el barco haya desaparecido completamente, lo vuelve a ver de nuevo. Además, si observa atentamente la forma de desaparecer del barco, verá que el casco desaparece primero, mientras que los mástiles y las velas (o el puente y la chimenea) desaparecen los últimos. Es como si el barco pasase por detrás de un monte, lo cual, en cierto modo, es exactamente el caso, el "monte" es la curva de la superficie de la Tierra.    Para enterarse como se calcula la distancia al horizonte, pulse aquí   Eratóstenes, Posidonio y El Mamun El filósofo griego Eratóstenes iba un paso adelantado y realmente calculó el tamaño de la Tierra. Vió, que en la ciudad de Syene, en el sur de Egipto (hoy Aswan, cerca de una enorme presa en el río Nilo) durante el solsticio de verano (21 de junio) el Sol del mediodía se reflejaba en un profundo pozo, dando a entender que estaba derecho arriba, en el cenit. Eratóstenes vivía en Alejandría, cerca de la desembocadura del río, a unos 5000 estadios al norte de Syene (el estadio, la medida de un campo de deportes, era una unidad de longitud usada por los griegos). En Alejandría, el Sol en la misma fecha no alcanzaba de todo el cenit y los objetos verticales seguían proyectando una sombra corta. Eratóstenes estableció ; que la dirección del Sol del mediodía difería del cenit en un ángulo que era de 1/50 del círculo, o sea 7.2 grados y de esto evaluó que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios. A continuación van otras estimaciones del tamaño de la Tierra. Algunos escritores informaron que el griego Posidonio aprovechó la gran altitud sobre el horizonte de la brillante estrella Canopus, tal y como se veía desde Egipto y desde la isla de Rodas, más al norte (cerca de la punta sudoeste de Turquía). Obtuvo un valor similar, algo más pequeño. El califa árabe El Ma'mun, que gobernó Baghdad desde el 813 al 833, envió dos equipos de agrimensores a medir una línea de norte a sur y de aquí también obtuvieron el radio de la Tierra. Comparados con los valores conocidos hoy, aquellas estimaciones eran muy cercanas a la exactitud. La idea de navegar  hacia el oeste, hasta la India, data de los romanos. De acuerdo a la Dra. Irene Fischer, que estudió este asunto, el escritor romano Estrabón, no mucho tiempo después de Eratóstenes y Posidonio, informó de sus resultados y advirtió que:

"si de las más recientes mediciones de la Tierra , el que hace a la Tierra menor en circunferencia, hablo de Posidonio, quien calculaba su circunferencia en unos 180,000 estadios, entonces . . . " y continuaba:  "Posidonio supone que la longitud del mundo habitado es de casi 70,000 estadios, es la mitad del círculo completo el que había tomado, de tal modo que si se navega desde el oeste en un rumbo rectilíneo, se alcanzará la India dentro de 70,000 estadios. "

Fíjese que Estrabón, por razones poco claras, reduce los 250,000 estadios de Eratóstenes a 180,000 y luego afirma que la mitad de la distancia desciende hasta justo los 70,000 estadios. Manejando sus números de este modo impreciso, podría argumentar que la India no estaba lejos hacia el oeste.  De nuevo Colón Todas estas respuestas eran conocidas para el grupo de expertos que el rey Fernando el Católico designa para examinar la propuesta hecha por Colón. Estos expertos rebaten a Colón, porque, usando el valor primitivo de Eratóstenes, calculan lo lejos que está la India hacia el oeste de España y sacan la conclusión de que la distancia es demasiado grande.

Cristóbal Colón

Colón tenía su propia estimación. Algunos historiadores han planteado que usó un argumento como el de Estrabón, pero la  Dra. Fischer fundamenta que su argumentación estaba basada en unidades de medida incorrectas. Colón usó una estimación errónea de Tolomeo (a quien encontramos de nuevo) y se basó en una  posterior definición del estadio y, cuando hace la estimación del tamaño del mundo habitado, confunde la milla árabe, usada por El Ma'mun, con la milla romana en la que está basada nuestra milla. De todas formas, su estimación final de la distancia a la  India es cercana a la de Estrabón.

Al fin y al cabo la reina Isabel desecha a los expertos y el resto es historia. Nunca podremos saber si Colón chapucea sus valores a propósito para justificar una expedición para explorar lo desconocido o realmente creía que la India no estaba tan lejos hacia el oeste de España. El, desde luego, llama "Indios" a los habitantes de las tierras descubiertas, una equivocación que aún persiste. Pero sabemos que si el continente americano no hubiera existido, los expertos defenderían que: Colón con sus diminutos navíos nunca habría atravesado un océano tan ancho como el Atlántico y el Pacífico juntos. Mirando hacia atrás, la exploración de lo desconocido podía ser ¡justificación suficiente!. En cuanto al tamaño de la Tierra, ha sido medido con precisión muchas veces desde entonces (vea el artículo "geodesia" en una enciclopedia). Un esfuerzo notable fue el de la Academia Francesa de las Ciencias a finales de los 1700s. Su objetivo fue introducir una nueva unidad de longitud, igual a una parte en 10,000,000 de la distancia desde el polo al ecuador (como Eratóstenes mostró, es suficiente medir parte de esa distancia). Actualmente esa distancia es conocida aún con más precisión, pero la unidad introducida por la Academia Francesa se sigue usando como estándar para la medida de la longitud. Se llama metro.

Exploración Adicional: Un lugar sobre los  instrumentos de navegación usados por Colón, parte de un lugar muy extenso dedicado a Colón, sus viajes y todo lo asociado con ellos. "Another look at Erathosthenes' and Posidonius' Determinations of the Earth's Circumference" por Irene Fischer, Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, vol. 16, p. 152-167, 1975. Un libro deliciosamente ilustrado para lectores jóvenes sobre Eratóstenes,The Librarian who Measured the Earth por Kathryn Lansky (ilustrado por Kevin Hawkes), Little Brown and Co., 1988. Distancia al Horizonte Figúrese que está de pie a una altura de h metros sobre el océano y observa a lo ancho del agua. ¿Cual es la distanciaD al horizonte? Se puede calcular si conoce el radio R de la Tierra.Su línea de visión hacia el horizonte es tangente a la Tierra, una línea que toca la esfera de la Tierra justo en un punto, indicado como B en el dibujo. Si O es el centro de la esfera, por un conocido teorema de geometría sabemos que la tangente es perpendicular al radio OB, o sea, forma un ángulo de 90º con el. Resulta que el triángulo OAB cumple el teorema de Pitágoras, que se puede escribir: (OA)2 = (AB)2 + (OB)2 o poniendo la longitud de cada línea con sus letras (R + h)2 = D2 + R2 Por una identidad algebraica (deducida en el "repaso de matemáticas"), el lado izquierdo es igual a:  R2 + 2Rh + h2, dando R2 + 2Rh + h2 = D2 + R2 Si ahora restamos R2 de ambos lados de la igualdad y reordenamos los restantes términos de la izquierda h(2R + h) = D2 El diámetro 2R de la Tierra es mucho mayor que h y  por consiguiente el error introducido si (2R+h) se reemplaza por 2R es muy, muy pequeño. Realizando esta sustitución tenemos 2Rh = D2 D = √(2Rh) donde √ indica "raiz cuadrada de". Esta ecuación nos deja calcular D, en kilómetros, si h y R están en kilómetros, además aún es posible simplificar: √(2Rh) = (√(2R)) x (√(h)) con las dos raíces multiplicadas. Usando R = 6371 km, √(2R) = 112.88, obteniendo D = 112.88 km √(h) Si está en lo alto de una montaña de 1 km de alta, h = 1 km, su horizonte debería estar a 112.88 km (omitimos la refracción de la luz en la atmósfera, que puede modificar este valor). Desde la cima del Mauna Kea en Hawaii, un volcán extinguido de 4 km de altura (también un lugar donde hay importantes observatorios astronómicos), el horizonte debería ser aprox. el doble de la distancia, 226 km. Por otro lado, de pie en la playa con sus a unos 2 metros = 0.002 km sobre el agua, como √(0.002) = 0.04472, el horizonte está solo a 5 km de distancia. El cálculo debería también mantenerse desde el otro lado. Desde un bote en el océano debería comenzar a ver la cima del Mauna Kea desde una distancia de  226 km (de nuevo sin contar con la refracción). El 15 de noviembre de 1806, el teniente Zebulon Pike del ejercito de los EE,UU, capitanea un grupo de expedición a través de las llanuras del medio oeste de los EE.UU., viendo a través de sus binoculares la cima de una montaña lejana, justo sobre el  horizonte. Su grupo necesitó una semana cubrir las 100 millas hasta la montaña, que se conoce ahora como Pike's Peak, una de las más altas de Colorado. Pike en realidad probó de escalar a su cumbre, pero la nieve y la inesperada altura le obligaron a regresar.  Paralaje   "Pre-Trigonometría" La Sección M-7 describe un problema básico de trigonometria (dibujo de la izquierda): encontrar la distancia a algún punto lejano C, dadas las direcciones a las que está C  desde dos  puntos de una línea base medida AB. Este problema se hace algo más simple si:  La línea base es perpendicular a la línea desde su mitad al objeto, a fin de que el triángulo ABC sea simétrico. Designaremos sus lados por r: AC = BC = r  La longitud c de la línea base AB es mucho menor que r. Esto significa que el ángulo a entre AC y BC es pequeño; este ángulo se conoce como el paralaje de C, como se ve desde AB.   No pedimos una gran precisión, nos satisfaremos con un valor aproximado de la distancia, dentro del 1% de error. El método presentado aquí ya era usado por los antiguos griegos hace más de 2000 años. Sabían que la longitud de una circunferencia de radio r era 2pr, donde p (que es una notación moderna, no usada por los griegos, aunque p seaparte de su alfabeto) simboliza un número algo mayor que, approximadamente: p = 3.14159... (El matemático griego Arquímedes dedujo p con una precisión de cuatro decimales, aunque lo enunciaba de forma diferente, porque las fracciones decimales aparecen en Europa 1000 años más tarde.) Dibuje un círculo alrededor del punto C, con radio r, pasando por A y B (dibujo superior). Dado  que el ángulo a es tan pequeño, la longitud de la línea recta b no es muy distinta del arco de circunferencia que pasa por A y B (dibujo de la derecha). Asumamos que las dos son iguales (esta es la aproximación hecha aquí). La longitud de un arco circular es proporcional al ángulo cubierto, luego b cubre un ángulo a 2pr cubre un ángulo de 360° tenemos 2p r = (360°/a) b  y dividiendo por 2p r = (360°/2pa) b Por consiguiente, si conocemos b, podemos deducir r. Poe ejmplo, si sabemos que a = 5.73°, 2pa= 36°  y obtenemos r = 10 b  Calculando la distancia al aire libre Es un método útil para excursionistas y scouts. Suponga que quiere calcular la distancia a un punto lejano, p.ej. edificio, árbol o aljibe elevado. El dibujo muestra una vista esquemática de la situación desde arriba (no a escala). Para calcular la distancia al punto A, haga lo siguiente:   Estire su brazo adelante y extienda su pulgar de tal forma que esté frente a sus ojos. Cierre un ojo (A') y mueva su pulgar de forma que su uña cubra la marca A.     Ahora abra el ojo (A') y cierre el (B') sin mover su pulgar. Verá que lu uña de su pulgar está enfrente a otro lugar en el paisaje a casi la misma distancia que A, marcada B.     Calcule la distancia AB, comparándola con las alturas de los árboles, anchura de edificios, distancias entre postes de luz, largo de los vehículos, etc,... La distancia a la marca es 10 veces la distancia AB. ¿Como es eso? Porque aún cuando las personas cambien de tamaño, las proporciones del cuerpo humano estandar son bastante constantes y para la mayoría de la gente la distancia  (A',B') al pulgar extendido es de unos 6°, bastante cercano al valor de 5.73° para el cual se encontró el ratio 1:10 anteriormente en esta sección.   Este ángulo es el paralaje de su pulgar, visto desde sus ojos. El triángulo A'B'C tiene las mismas proporciones que el triángulo mayor ABC y, por lo tanto, si la distancia B'C al pulgar es 10 veces la distancia A'B' entre los ojos, la distancia AC hasta la marca lejana es también de 10 veces la distancia AB.  ¿A que distancia está una Estrella?     Cuando calculamos la distancia hasta un objeto muy distante, nuestra "línea base" entre los dos puntos de observación es mejor que sea grande también. Los objetos más distantes a nuestros ojos son las estrellas y están, efectivamente, muy lejos: la luz que se mueve a 300,000 km (186,000 millas) por segundo, necesitará años, a menudo muchos años, en alcanzarlas. La luz del Sol necesita 500 segundos en alcanzar la Tierra, un poco más de 8 minutos y unas 5.5 horas en alcanzar la distancia media a Plutón, el planeta más distante. Un "año luz" es unas 1600 veces más, una distancia enorme.       La mayor línea base disponible para medir tales distancias es el diámetro de la órbita de la Tierra, 300,000,000 kilómetros. El movimiento de la Tierra alrededor del Sol es de un lado a otro del espacio, de tal forma que en fechas separadas en medio año, sus posiciones están separadas 300,000,000 kilómetros. En adición, el sistema solar al completo también se mueve a través del espacio, pero ese movimiento no es periódico y por ello no se pueden separar sus efectos.        Y, ¿cuanto cambian las estrellas cuando se ven desde dos puntos separados 300,000,000 km?. Realmente muy poco. Durante muchos años los astrónomos lucharon en vano para observar la diferencia. Solo en 1838 se determinaron los paralajes medidos a algunas de las estrellas más cercanas,  Alfa Centauri por Henderson de Sudáfrica, Vega por Friedrich von Struve y  61 Cygni porFriedrich Bessel.  Estas observaciones necesitan enorme precisión. En un círculo que está dividido en 360 grados (360º), cada grado está dividido en 60 minutos (60'), también llamados "minutos de arco" para distinguirlos de los minutos de tiempo y cada minuto contiene 60 segundos de arco (60''), todos los paralajes observados son menores de 1'', en el límite de resolución de los mayores telescopios terrestres. Para medir las distancias a las estrellas, los astrónomos usan a menudo el pársec, la distancia a una estrella cuyo paralaje anual es 1''. Un pársec es igual a 3.26 años luz, pero, como ya se ha apuntado, no existe ninguna estrella tan cerca de nosotros. Alfa Centauri, la estrella del tipo solar más cercana a nuestro sistema solar, está a una distancia de 4.3 años luz y un paralaje de 0.75''      Alfa Centauri no es un nombre, sino una denominación. Los astrónomos denominan las estrellas de cada constelación con letras del alfabeto griego: alfa, beta, gamma, delta y así sucesivamente, y "Alfa Centauri" indica la estrella más brillante de la constelación de Centauro, localizada alta en el cielo del sur. Necesita estar al sur del ecuador para verla bien.   ¿Que distancia hay a la Luna?--2 Hiparco, que usó un eclipse de Luna para deducir la precesión de los equinoccios (aquí), usó un eclipse total de Sol, probablemente en el año129 a.C., para calcular lo lejos que estaba la Luna. (Pero también dedujo la distancia a la Luna mediante su propio eclipse, vea aquí).Ese eclipse fue total en el Helesponto, en los Dardanelos, parte del estrecho que separa las partes europea y asiática de Turquía, pero solo las 4/5 partes del Sol se cubrieron en Alejandría (Egipto), ciudad más al sur. Hiparco sabía que cuando el Sol se eclipsaba, la Sol y la Luna ocupaban el mismo lugar en la esfera de los cielos. Suponía que la razón era debida a que la Luna pasa entre el Sol y nosotros. Creía que el Sol estaba mucho más distante que la Luna, como había concluido Aristarco de Samos casi un siglo antes observando el tiempo en que estaba la Luna exactamente en su fase media (vea las secciones #8c y #9a). También da por hecho que el máximo del eclipse ocurre al mismo tiempo en ambos lugares (no era acertado pero, afortunadamente, no era muy diferente) y entonces lleva a cabo el siguiente cálculo.  El Eclipse En un eclipse total de Sol, la Luna apenas cubre el Sol. El Sol está tan distante que cuando se le mira desde cualquier lugar de la Tierra, cubre prácticamente la misma parcela de cielo, con una anchura de unos 0.5º. Hiparco se fijó en el punto E del borde de la Luna (dibujo), el  punto que, durante la totalidad y cuando se veía desde el Helesponto (punto B), se superponía justamente al punto D del borde del Sol. Visto desde Alejandría (punto A), en el mismo momento, el punto E solo se superponía al punto C del Sol, aprox. a 1/5 de diámetro solar separado del borde, por lo que no era un eclipse total. Un quinto del diámetro del Sol cubre solamente unos 0.1º del cielo, así que el pequeño ángulo a (alfa, A griega) entre las dos direcciones mide unos 0.1º. Este ángulo es el paralaje del borde de la Luna, vista desde los dos lugares citados arriba. Es improbable que Hiparco conociera la distancia AB, pero probablemente conocía las latitudes del Helesponto y Alejandría. Lalatitud local puede evidenciar ser igual a la elevación del  polo celestial  sobre el horizonte y actualmente se puede deducirse fácilmente observando la altura de la Polar, la estrella del polo sobre el horizonte. En los tiempos de Hiparco el polo de los cielos no estaba cerca de la Polar (debido a la  precesión de los equinoccios), pero Hiparco, que había cartografiado la posición de unas 850 estrellas, debía conocer sus posiciones muy bien. La latitud del Helesponto (en un atlas moderno) es de 40° 20' (40 grados y 20 minutos, 60 minutos por grado), mientras que la de Alejandría es de 31° 20', una diferencia de 9°. Daremos por hecho que Alejandría está exactamente en el sur. Si, además, r es el radio de la Tierra, la circunferencia de la Tierra será 2pr, donde p = 3.1415926... ("pi", P minúscula griega) es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Puesto que la circunferencia es igual a 360º, tenemos AB = (2p r/360)· 9 el punto indica multiplicación (equivalente algebraico del símbolo x). La distancia R a la Luna Los puntos AB están también colocados en otro círculo, centrado en la Luna. El radio en este caso es la distancia R a la Luna y debido a que el arco AB cubre 0.1º, tenemos AB = (2pR/360)·0.1 Estrictamente hablando, cada uno de los dos arcos AB enunciados en las ecuaciones anteriores están medidos a lo largo de un círculo diferente, con radios diferentes (y los dos círculos curvados hacia lados opuestos). No obstante, en ambos casos AB cubre solo una pequeña parte del círculo, así que, como aproximación, podemos considerar que cada uno de los arcos son iguales a la distancia recta AB. Esta suposición nos permite estimar las dos expresiones como iguales y escribir (2p R/360)·0.1 = (2pr/360)·9 Multiplicando ambas igualdades por 360 y dividiéndolas por 2p nos da 0.1 R   =   9 r Dividiendo por (0.1 r) R/r   =   90 sugiere que la distancia a la Luna es de 90 radios terrestres, una sobrevaloración del 50%. Un cálculo más preciso Una razón de que se obtengan valores excesivos es que se da por hecho que la Luna está arriba en lo alto en A o B. Realmente, es muy probable que esté a un ángulo significativo con la dirección hacia arriba, el "cenit" (vea el dibujo). Luego la sección cortada por el ángulo a del círculo de radio R alrededor de E no es AB, sino AF (segundo dibujo) que es menor. Tenerlo en cuenta reduce la distancia. No sabemos donde estaba el Sol durante el eclipse del 129 a.C., pero deberá estar en la eclíptica (¡Obviamente las palabras están relacionadas!), que lo coloca, en cualquier caso, dentro de los 23.5° del ecuador celestial. Asumiendo que estaba en el ecuador (esto es, pasó sobre el ecuador de la Tierra) y al sur de las observaciones descritas (p.e.: el eclipse ocurre cerca del mediodía) podemos hacer una tosca estimación de la corrección usando trigonometría sencilla (vea la sección M-8). El Helesponto está en una latitud de 40º y como indica el dibujo, es también el ángulo entre la dirección de la Luna y el cenit. Del dibujo (x indica multiplicación) AF = AB cos 40° = 0.766 AB  Repitiendo el cálculo precedente para AF AF = (2p R/ 360)·0.1AF = 0.766 AB = 0.766·(2p r/ 360)·9 y al final R/r   =   90·0.766 = 69 Nota   Algunos astrónomos han cuestionado si Hiparco utilizó el eclipse del a–o 128 AC--lo cual ocurrió durante su vida--o en lugar de eso utilizó registros de uno anterior en el a–o 190 AC, el cual también pasó cerca de un lugar llamado Helesponto, a lo largo de una ruta muy similar. Las rutas de esos eclipses y muchos otros se pueden encontrar en el atlas de eclipses de Fred Espenak, accesible desde la página de eclipses de la NASA, la cual es mantenida por él, en       http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/eclipse.html Las rutas de los eclipses están en       http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/SEatlas/SEatlas.html Comentarios finales Según "A History of Astronomy" de A. Pannekoek, el resultado obtenido por Hiparco fue entre 62 y 73 radios terrestres. Hoy sabemos que la distancia media es de 60 radios, variando en algunos radios debido a la excentricidad de la órbita de la Luna.En ausencia de un cronometraje exacto, con el método casi está garantizado que se produzca una sobremedición. La tierra gira debajo del punto de sombra proyectado por la Luna, que hace que ese punto pase rápidamente sobre una larga banda; pasa sobre muchos lugares en momentos diferentes. El Helesponto fue uno de los muchos lugares donde el eclipse fue total. Igualmente, Alejandría fue uno de los muchos lugares donde solo cubrió las 4/5  partes del Sol. Seleccionando aleatoriamente el punto B del primer grupo y el punto A del segundo podemos tener una  línea mayor que representa AB y una mayor (e incorrecta) distancia a la Luna. El hecho de que Alejandría está casi al sur del Helesponto no garantiza que su eclipse sea compartido o que no sea muy diferente.   ¿Se repite la Historia? El 11 de Agosto de 1999 ocurrió un eclipse total de Sol justamente a unos pocos cientos de kilómetros al norte del lugar que usó Hiparco. Su curso de totalidad se extiende desde el océano fuera de las costas de Nueva Inglaterra (Estados Unidos), a través de Inglaterra y Europa Central, hasta, al final, cruzar la India. Se muestra a la derecha un mapa de las áreas relevantes del eclipse. La línea doble delimita la región de la totalidad y las líneas paralelas indican los lugares donde se cubri%"243; el Sol en un 90%, 80%, etc,. Como podemos observar, el curso de totalidad cruz%#243; el Mar Negro a las 11:15 am en Tiempo Universal (1:15 pm hora local) a unos 300 km. al noreste del Helesponto y en Alejandría el 71% del diámetro del Sol está cubierto (mayor que el 80% del eclipse de Hiparco) a las 11:35 a.m.Necesitará un poco de trabajo, pero puede, si desea, realizar los cálculos de Hiparco para este eclipse (Es mejor que use una calculadora). . Primero, imprima esta página y su mapa. Si la calidad de la impresión es baja, use una regla para dibujar las líneas horizontales de latitud 30 (El Cairo, Egipto) y 40 (Ankara, Turquía). Normalmente, esas líneas se inclinan y curvan un poco, pero en este cálculo tosco, se puede ignorar la curvatura.    Con una regla mida la separación entre las dos líneas. Esta separación es igual a 10º de latitud.   Marque en su mapa un punto en la costa sur del Mar Negro por donde pasa la línea de totalidad. En vida de Hiparco estaba situada aquí la ciudad de Heraclea e Hiparco quizá la usó en vez del Helesponto, siendo su eclipse igual que el de 1999.   Mida con la regla la distancia desde Alejandría hasta el punto que ha marcado en la línea de totalidad. Use la medida que ha calculado para deducir la distancia correspondiente medida en grados de latitud.   El eclipse ocurre el 11 de Agosto, casi a la mitad entre el solsticio de verano y el equinoccio de otoño. El día del solsticio, el  21 de Junio el Sol está 23.5° al norte del ecuador; en el equinoccio de otoño, el 21 de Septiembre, está en el ecuador celestial. El 11 de agosto se puede esperar estar casi a la mitad entre ambos extremos, unos 12° al norte del ecuador. El lugar de totalidad escogido es a una latitud de 42º, luego el ángulo allí al mediodía, entre el cenit y la dirección del Sol es de alrededor de (42-12) = 30º. Para el coseno de ese ángulo vea aquí.   Dado que el 71% del Sol está cubierto en Alejandría y asumiendo que el borde de la Luna alcanza en ese momento el 0.71 de su camino sobre el Sol (en rigor, no igual), puede ahora llevar a cabo el cálculo de Hiparco para el eclipse de 1999. También existe una manera más rápida. Vea en el mapa que en el Helesponto, el 90% del Sol estaba cubierto el 11 de Agosto de 1999, lo cual significa que desde el campo de visión del observador allí, el frente de la orilla de la Luna era 10% del diámetro del Sol desde la orilla del Sol. En Alejandría, el mismo argumento muestra la orilla de la Luna con un 29% del diámetro desde la orilla.    Las líneas de visión desde los dos sitios a la orilla de la Luna que se oculta, en lo máximo del eclipse, hicieron, por lo tanto, un ángulo igual al 19% del diámetro visible del Sol--Ácercano al 20% que Hiparco calculó!