Componentes cartesianas de un vector 0001

Determina las componentes rectangulares de una velocidad (v =4 m/s) que forma un angulo de 30° con el eje positivo de abscisas.

Las componentes rectangulares de un vector siguen las expresiones:

$\vec v_x = v\cdot cos\ \alpha\ \vec i$

$\vec v_y = v\cdot sen\ \alpha\ \vec j$

En el ejercicio nos dicen que el ángulo es de 30º y que el módulo es 4. Aplicando las expresiones anteriores:

$\vec v_x = 4\cdot cos\ 30\ \vec i\ \to\ \bf \vec v_x = 2\cdot \sqrt 3\ \vec i$

$\vec v_y = 4\cdot sen\ 30\ \vec j\ \to\ \bf \vec v_y = 2\ \vec j$

Componentes de un vector 0001

Halla las componentes de un vector de 10 unidades de módulo y cuya dirección forma un angulo de 45° con la horizontal.

SOLUCIÓN

Para calcular las componentes de un vector debemos aplicar las razones trigonométricas adecuadas. En un sistema de referencia XY, las componentes seguirían las siguientes expresiones:

$\vec v_x = v\cdot cos\ \alpha\ \vec i$

$\vec v_y = v\cdot sen\ \alpha\ \vec j$

En el ejercicio nos dicen que el ángulo es de 45º, por lo tanto las razones trigonométricas coseno y seno son iguales entre sí e iguales a $\frac{\sqrt 2}{2}$ . Tendríamos:

$\vec v_x = 10\cdot cos\ \45\ \vec i\ \to\ \bf \vec v_x = 5\sqrt 2\ \vec i$

$\vec v_y = 10\cdot sen\ \45\ \vec j\ \to\ \bf \vec v_y = 5\sqrt 2\ \vec j$

Composición de lanzamiento hacia abajo y MRU 0001

En el pozo de los deseos una pareja lanza hacia abajo una moneda con una velocidad de 1,5 m/s y 2 segundos después escucha el impacto de la moneda en el
agua. La rapidez de la propagación del sonido es de 340 m/s.
a) ¿Qué tiempo emplea la moneda en llegar a la superficie del agua?
b) ¿Qué profundidad tiene el pozo hasta la superficie del agua?

SOLUCIÓN

La profundidad del pozo puede venir dada de dos maneras; en función del tiempo que tarda en caer la moneda o en función de lo que tarda en subir el sonido. Ambas ecuaciones serán:

$\left {{h=1,5t + 4,9t^2} \atop {h = 340t'}} \right$

Además sabemos que el tiempo que tarda en caer la moneda (t) más el tiempo que tarda en subir el sonido (t') es igual a 2 segundos: t + t' = 2. Igualando las ecuaciones:

$340t' = 1,5t + 4,9t^2\ \to\ 340(2 - t) = 1,5t + 4,9t^2\ \to\ 4,9t^2 + 341,5t - 680 = 0$

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen dos valores de "t". Uno de ellos es negativo y lo desechamos por no tener significado físico. El valor que nos queda es t = 1,94 s.
a) La piedra tarda 1,94 s en llegar a la superficie del agua.
b) La profundidad del pozo la podemos calcular teniendo en cuenta que el sonido tarda (2 - 1,94) s = 0,06 s en subir:

$h = 340\frac{m}{s}\cdot 0,06\ s = \bf 20,4\ m$