Ejercicios Resueltos de Corriente Eléctrica

CANTIDADES CINEMÁTICAS : DESPLAZAMIENTO , VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Publicado en 2 junio, 2013 por fisico

Como un primer paso en el estudio de la mecánica, es conveniente describir el movimiento en términos del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática.
Al especificar la posición, velocidad y aceleración de un objeto, podemos describir cómo se desplaza y la dirección de su movimiento, cómo cambia ésta con el tiempo, si el objeto aumenta o disminuye su rapidez, etc.

Muchos aspectos de la física tienen que ver en una u otra forma con posiciones en el espacio. Así, es conveniente estudiar primero cómo describir la posición de un punto en el espacio.
Esta descripción se hace por medio de coordenadas. En general, un sistema de coordenadas es usado para especificar posiciones en el espacio y se compone de:
* Un punto de referencia fijo denominado origen.
* Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre los ejes.
* Instrucciones sobre cómo marcar un punto en el espacio, en relación con el origen y los ejes.
Los sistemas de referencias o marcos de referencias pueden ser:
SISTEMA INERCIAL DE REFERENCIA O MARCO INERCIAL :
La primera ley de Newton, conocida también como la Ley de Inercia, define un conjunto especial de marcos (sistemas) de referencia, denominados marcos inerciales o sistemas inerciales de referencia.
Un marco inercial de referencia es uno en el que es válida la primera Ley de Newton.
Así, un marco inercial de referencia es un marco no acelerado. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial.
* En muchas situaciones supondremos que un conjunto de puntos cercanos sobre la superficie de la Tierra constituye un marco inercial.

SISTEMA NO INERCIAL DE REFERENCIA O MARCO NO INERCIAL :
Un marco es no inercial cuando el marco está acelerado.

CUIDADO Marco (frame) es mejor conocido como sistema.
¿Cómo describimos el movimiento de un avión de combate?, al lanzar una pelota horizontalmente, ¿cuánto avanza?, cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto tiempo tenemos para atraparlo antes de que choque con el piso?, éste tipo de interrogantes se tocará en este acápite.
En nuestro entorno podemos observar a una gran cantidad de objetos y seres vivientes que se encuentran en continuo movimiento, también es sabido que los planetas, el sol, nuestra galaxia, ¡El Universo! están en constante movimiento. El movimiento es uno de los fenómenos que podemos observar e incluso experimentar con bastante frecuencia, es por esta razón que su estudio es de gran interés desde hace siglos atrás.

Galileo fue quien abrió las puertas para la comprensión de este fenómeno.
Galileo y sus contemporáneos heredaron el pensamiento de los griegos respecto al mundo físico. Así, antes de empezar cualquier investigación científica, debieron despejarse de conceptos como los de que “los cuerpos tienen deseos internos”. Tuvieron que considerar el movimiento desde un nuevo punto de vista. Esto no se fue fácil.
Los cientificos y los filósofos de aquella época tuvieron que enfrentarse no solo a las concepciones aristotélicas, sino también a una serie de preguntas tan confusas, como las paradojas de Zenón.

Movimiento es el cambio de posición de un cuerpo con respecto de otro.

Suponiendo que el avión al volar horizontalmente deja caer una bomba. Si usted observa la caida de la bomba estando dentro de la nave, observará que cae según una línea vertical por otra parte si se observa desde tierra (en B) se observa que al caer describe una trayectoria curva.
Como muestra la figura.

el movimiento de un cuerpo depende del punto de referencia que se tome a este punto u objeto se le llama “sistema de referencia”.
MECÁNICA
Parte de la física que estudia las relaciones entre la fuerza, materia y movimiento.

CINEMÁTICA
Parte de la mecánica que estudia la geometría del movimiento mecánico, pero sin analizar sus causas.

ESPACIO : Es todo aquello que lo ocupa todo, sin tener fronteras.
TIEMPO :
Idea fundamental que va ligado al espacio, luego será otra forma de la existencia de la materia, una noción del paso del tiempo es el cambio.
MOVIMIENTO :
A partir de la experiencia cotidiana nos damos cuenta que el movimiento representa el cambio continuo en la posición de un objeto. La física estudia tres tipos de movimiento: traslacional, rotacional y vibratorio.
PARTÍCULA :
Por “Partícula”, entendemos un punto individual de masa, como un electrón; pero también designamos un objeto cuyas partes se mueven exactamente de la misma manera. Incluso los objetos complejos pueden ser considerados como partículas, si no existen movimientos internos como rotación o la vibración de sus partes.
POSICIÓN () :
Para describir el movimiento de una partícula en el espacio, primero hay que poder describir su posición. Consideremos una partícula que está en el punto P en un cierto instante.
El vector de posición de la partícula en ese instante es un vector que va desde el origen del sistema de coordenadas al punto P.
MOVIMIENTO MECÁNICO
Fenómeno que consiste en el continuo cambio de posición de un cuerpo, con respecto a un sistema de referencia.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO

* De acuerdo a los gráficos se tendrá:

MÓVIL :
Es aquel cuerpo que experimenta movimiento mecánico.
Ejemplo:
En los gráficos serán el avión, la paloma.

TRAYECTORIA :
Es la sucesión de posiciones que ocupa la partícula durante su movimiento. Podemos decir que la curva que describe la partícula se llamará trayectoria. A la longitud de la trayectoria, se le denomina “distancia recorrida”.
Es aquella línea que se forma al unir todos los puntos por donde pasa el móvil.
Ejemplo:

* Al lanzar una esfera formando cierto ángulo con la horizontal, describe una trayectoria curva denominada parábola.
*Al soltar una esfera y caer verticalmente describe una trayectoria rectilínea.
DESPLAZAMIENTO :
Es aquella magnitud vectorial, que nos expresa el cambio de posición que experimenta un cuerpo y se representa mediante un vector .

* El vector desplazamiento esta dirigido desde la posición inicial a la final.
RECORRIDO (e) :
Es la medida de la longitud de la trayectoria descrita por el móvil.
Ejemplos:

DISTANCIA (d) :
Es el módulo del ‘‘desplazamiento’’, es decir la medida de la longitud del segmento de recta que une la posición inicial con la posición final.

OJO:
Si el movimiento es rectilíneo y en una sola dirección, entonces el recorrido es igual a la distancia (movimiento direccional)
* Pero en otros casos:
CUIDADO Nótese que el desplazamiento no es lo mismo que la distancia recorrida por la partícula. Se determina sólo mediante los puntos iniciales y final del intervalo, no mediante la trayectoria cubierta entre ellos.
Para describir el movimiento de una partícula, introduciremos la cantidad física velocidad y aceleración, que tienen definiciones sencillas en la física, aunque son más precisas y un poco distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano. Si pone atención a estas definiciones trabajará mejor con éstas y otras cantidades físicas importantes.
Un aspecto importante de las definiciones de velocidad y aceleración es que son vectores, esto implica que tienen magnitud y dirección.

CLASIFICACIÓN
DE LOS MOVIMIENTOS
* Según su trayectoria :
a) Movimiento Rectilíneo :
Es aquel movimiento cuya trayectoria es una línea recta.

b) Movimiento Circular :
Es aquel movimiento cuya trayectoria es una circunferencia.

c) Movimiento Parabólico :
Es aquel movimiento cuya trayectoria es una parábola.

d) Movimiento Elíptico :
Es aquel movimiento cuya trayectoria es una elipse.

* Según la rapidez:
a) Movimiento Uniforme :
Es cuando el móvil tiene una rápidez constante.
Un movimiento es rectilíneo y uniforme cuando su velocidad es constante.
* La velocidad es constante en dirección y sentido: la trayectoria es una recta.
*La velocidad es constante en módulo: recorre espacios iguales en tiempos iguales.
b) Movimiento Variado :
Es cuando el móvil cambia su rapidez.
relatividad
del movimiento mecánico

El observador A dentro del avión, ve que la bomba cae verticalmente. Para el observador B , su trayectoria es curvilínea.

La lámpara esta inmóvil en relación con el observador B, pero se encuentra en movimiento en relación con el A.

VELOCIDAD Y RAPIdEZ

Durante el movimiento de un cuerpo los cambios de posición se dan en el transcurso del tiempo, lentamente o rápidamente. Por ejemplo, en una maratón, los participantes trotan los primeros kilómetros para que en el último tramo agilicen en el paso hasta llegar a la meta.
Para saber cómo se está moviendo un cuerpo, no es suficiente con conocer cuánto ha recorrido en un cierto intervalo de tiempo, sino que es necesario saber también, en qué dirección lo ha hecho por ello introducimos una magnitud vectorial que caracterice este movimiento, esa magnitud es la velocidad que se designa como .
VELOCIDAD MEDIA
Definimos la velocidad media de la partícula durante el intervalo de tiempo como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo.

La velocidad media es una magnitud física vectorial que indica la relación entre el desplazamiento del móvil con respecto al tiempo que se emplea, es decir:

* Para el auto:

Según esta definición, la velocidad media tiene dimensiones de longitud dividida por el tiempo (L/T)-m/s, en unidades del SI.
* La velocidad media es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de .
* Advierta que la velocidad media entre dos puntos es independiente de la trayectoria entre los dos puntos.
* En general la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido.
nota:
* La velocidad media () tiene la misma dirección que el desplazamiento ().

*Si la velocidad media se mide en un intervalo pequeño de tiempo (), se llama velocidad instantánea o simplemente velocidad. La velocidad siempre tiene igual dirección que el movimiento del cuerpo.
RAPIDEZ
Es el módulo de la velocidad, que indica la relación entre la distancia recorrida por el móvil con respecto al tiempo que emplea, es decir:
‘‘La rapidez es un escalar’’

* La velocidad de un cuerpo puede ser constante o variable. Es constante si no cambia de rapidez ni dirección.

* Veamos:

* Durante el movimiento del auto, la rapidez no cambia y la dirección tampoco, entonces: la velocidad es constante.

RAPIDEZ PROMEDIO
Es el módulo de la velocidad promedio

VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Al examinar el movimiento que describe un cuerpo notamos que ‘‘la velocidad media’’ no da una información precisa del movimiento a lo largo del trayecto, debido a ello debemos de considerar tramos cada vez más pequeños.
Notemos que para obtener tramos más pequeños debemos considerar también intervalos de tiempos pequeños, y cuando es muy pequeño , prácticamente: ; donde es el vector posición en el instante ‘‘t’’, luego:

Definimos que el límite de la velocidad media, /, conforme tiende a cero; es igual a la razón instantánea de cambio de posición con el tiempo:

* Notamos en la figura que para tramos muy pequeños, el es prácticamente ‘‘tangente’’ al trayecto y en consecuencia la ‘‘velocidad instantánea , también se representa ‘‘tangente a la trayectoria’’.
Según esta definición, la velocidad instantánea tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo (L/T)- m/s, en unidades del SI.
* La dirección del vector velocidad instantánea, en cualquier punto en una trayectoria de la partícula, está a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en dirección del movimiento.
* A la magnitud del vector velocidad instantánea, se le conoce como rapidez.
* El velocímetro de un automóvil indica la rapidez, no la velocidad.
* La palabra instante tiene un significado un poco distinto en física que en el lenguaje cotidiano. Podemos decir “duró un instante” para referirnos a algo que “duró un intervalo de tiempo muy corto”; pero, en física, un instante no tiene duración; es un solo valor del tiempo.

CUIDADO La velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo no nos dice con qué rapidez, o en qué dirección, se mueve la partícula en un instante dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, necesitamos definir la velocidad en cualquier instante o puntos específicos de la trayectoria. Esta es la velocidad instantánea y debe definirse con cuidado.

observaciones:
* La velocidad instantánea se representa con un vector tangente a la trayectoria, por ello también se le llama velocidad tangencial.

observaciones:
Si: x=f(t); es la función, entonces la derivada se denotará:

Derivada de algunas funciones conocidas

Ejemplo:
Si: x(t)=2t5+cost – 3
Entonces:

OJO:
El vector velocidad se puede representar de las siguientes formas:

Se debe tener presente que:
; donde :
es el intervalo de tiempo o duración de un suceso.
(t) es un instante de tiempo.
(to) es el instante en que se inicia el análisis del suceso.
si to=0, se tendrá …… (muy común).

Ejemplo Ilustrativo :
La posición de un móvil que se desplaza en el eje horizontal varía con el tiempo de acuerdo a la siguiente expresión: ; donde ‘‘t’’ se mide en segundos y ‘‘x’’ en metros, determinar:

I) La posición del móvil en t=0

II) El cambio de posición desde t=2 s hasta t=5 s

III)La velocidad media desde t=3 s hasta t=7 s

IV) La velocidad instantánea para t=1 s

Resolución:
I) Como el móvil se desplaza solamente en el eje “x”, luego la posición ‘‘’’ , será ‘‘’’, donde: x(t)=3t2+4, como nos piden la posición del móvil en t=0

II) Se pide:

III) Se pide:

IV) Se pide:

NOTA :

En el gráfico podemos observar cómo se representan los vectores velocidad media y velocidad instantánea.

Rapidez Media ()
Se define como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo total que lleva viajar esa distancia.

La unidad del SI de la rapidez media, igual que la velocidad, también es metros por segundo.
* La rapidez media, NO es la magnitud de la velocidad media.
* La rapidez media, NO tiene dirección.
ACELERACIÓN
Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula está acelerada.
Conforme una partícula se mueve de un punto a otro a lo largo de cierta trayectoria, su vector de velocidad instantánea cambia de en el tiempo ti a en el tiempo tf .
*

Es bastante común observar que los cuerpos durante su movimiento experimentan cambios en su velocidad que se puede dar en módulo y/o dirección.
Note que al dar la vuelta el automóvil no cambia el módulo de su velocidad (rapidez), pero cambia su dirección.
* En el otro caso la velocidad del camión no cambia de dirección, pero si cambia su módulo.
En ambos caso se concluye en que la velocidad experimenta cambios al transcurrir el tiempo.
Pero: ¡En algunos casos la velocidad cambia más rápido que en otros!

Por ejemplo:
Algunos autos inicialmente en reposo alcanzan los 100 Km/h en 10 s, pero quizás otros lo hagan en 15 s ó 20 s.
Para caracterizar que tan rápido cambia la velocidad de un móvil hacemos uso de la ‘‘aceleración’’.
por lo tanto:

La aceleración es una magnitud vectorial que nos indica la rapidez con la cual cambia la velocidad de un móvil

Aceleración Media:
Consideremos los siguientes casos:

I)

El auto cambia su rapidez en 5 m/s en 1 s.
II)

El auto cambia su rapidez en 4 m/s en 2 s.

Notamos que en el caso I el auto cambia más rápidamente su rapidez ya que emplea menor tiempo por ello definimos.

Unidad: (m/s2)
: aceleración media
: velocidad final e inicial respectivamente
* Para los casos I y II:
I)
II)
En ambos casos el signo (+) indica la dirección del vector aceleración, hacia la derecha:

* Para el módulo de la aceleración:

* Si la aceleración media es medida en un intervalo pequeño de tiempo, se llama aceleración instantánea o simplemente aceleración.
* Si la rapidez del móvil aumenta, decimos que está acelerado y si disminuye, que está desacelerado.
NOTA:
Cuando el movimiento rectilíneo es acelerado, la aceleración y la velocidad tienen igual dirección y cuando es desacelerado, son opuestos.
Gráficamente:

observación:

Para calcular el módulo de la diferencia de vectores , se invierte la velocidad inicial, para luego usar el método del paralelogramo:

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

Al examinar el movimiento, se aprecia que la aceleración no nos da una información precisa de cómo son los cambios de velocidad en todo el trayecto, tan sólo nos relaciona el estado inicial con el estado final. En consecuencia, para tener una mejor información, debemos de considerar tramos más pequeños e intervalos de tiempo muy pequeños y con ello tendremos:
Cuando ; entonces

Donde es la velocidad en el instante t, luego:

Se lee: La aceleración instantánea, es igual a la derivada de la velocidad instantánea respecto del tiempo, pero:

La aceleración es la segunda derivada de la posición () con respecto al tiempo.
* En general, la dirección de la aceleración no se relaciona con la de . Es posible que y sean paralelas, antiparalelas, perpendiculares entre sí o en cualquier otro ángulo relativo. La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que el cambio instantáneo en la velocidad.
* Como la velocidad cambia en la dirección en la cual la trayectoria se curva, la aceleración está siempre apuntado hacia la concavidad.

observación:

1) Si un móvil describe una trayectoria curva, su aceleración instantánea siempre apunta hacia la ‘‘concavidad’’ de la trayectoria:

2) Para un análisis más detallado de la aceleración instantánea en un movimiento curvo, se inscribe una ‘‘circunferencia’’ que sea tangente a la trayectoria en el pequeño tramo que se está analizando:
Se puede considerar que en ese pequeño tramo, el móvil describe un movimiento ‘‘circunferencial’’, entonces:

* Donde:
: radio de curvatura
* En ese instante, se trazan dos rectas (recta tangencial y la recta normal), en ellas se ubican las componentes rectangulares de la ‘‘aceleración instantánea’’, a las cuales se denomina: aceleración tangencial y aceleración normal o centrípeta . Estas componentes facilitan el análisis del movimiento.

El módulo de la aceleración instantánea, es igual a:

* Al examinar en nuestro alrededor, notamos una diversidad de movimientos y para poder estudiarlos, debemos conocer la ley que los gobierna (ley del movimiento), la cual se define conociendo la velocidad, aceleración y las condiciones en que se inició el estudio del movimiento.

Ejemplo :
Determinar la aceleración de una partícula para t=2 s, conociendo que su posición en metros con respecto al tiempo en segundos, se da según la siguiente ley: r(t)=2t3 – t +7
Resolución:
* Primero calculemos la velocidad:

* Ahora recién, se puede obtener la aceleración:

* Se pide:
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) :
Características:
* La velocidad permanece constante en magnitud y dirección.

* En tiempos iguales se recorren distancias iguales.
* La distancia recorrida es directamente proporcional

al tiempo transcurrido.

Fórmula :
d = distancia recorrida
V = rapidez constante del movimiento
t = tiempo transcurrido

ECUACIÓN DE LA POSICIÓN EN FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD Y EL TIEMPO
En general, cuando la aceleración de una partícula es cero, la velocidad es una constante y el desplazamiento cambia linealmente con el tiempo.

movimiento relativo
Hemos establecido en el presente capítulo que el movimiento de un cuerpo depende del sistema de referencia; en consecuencia: la posición de un cuerpo, su velocidad y aceleración también dependen del sistema de referencia que se elija.

Por ejemplo:
un joven que se encuentra en una plataforma, la cual avanza a velocidad constante, lanza una esfera en forma vertical con respecto a él.

Para el joven en la plataforma:
La esfera ha sido lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad y se encuentra sometida a la aceleración de la gravedad, por lo tanto describe un movimiento vertical de caída libre y al cabo de ‘‘t’’ segundos retorna a las manos del joven.

Para el observador en la vía:
La esfera, un instante antes de ser lanzado se encontraba sujetada por las manos del joven y éste se movía junto con en coche; es decir antes de lanzar la esfera, presenta la misma velocidad del coche.

El joven le imprime una velocidad en la vertical y al superponer ambos efectos, la esfera sale en forma inclinada y experimenta la aceleración de la gravedad, por lo tanto: describe un movimiento parabólico de caída libre y al cabo de “t” segundos, retorna a las manos del joven.
* De lo descrito anteriormente, llegamos a la conclusión que, el movimiento descrito por un cuerpo depende del observador, la velocidad, la aceleración y en qué condiciones se dio origen al movimiento (condiciones iniciales).

Considere el movimiento de rotación de la Tierra al mismo tiempo que el de traslación alrededor del Sol. En la medianoche, la Tierra se traslada en la misma dirección en que rota; al mediodía, sucede lo contrario.
En el primer caso, la velocidad de rotación se suma a la de traslación, y en el segundo caso, se resta.
Veamos ahora un segundo ejemplo. Un barco se mueve a una velocidad de 30 km/h hacia el este; paralelamente a la playa, una lancha de motor se mueve a su lado con la misma velocidad. La velocidad del barco con respecto a la lancha será de 0 km/h, pero la velocidad del barco con respecto a un observador en reposo, desde la playa, será de 30 km/h al este.
Para distintos sistemas de re ferencia , lancha y tierra, habrá distintas opciones en cuanto al movimiento del barco; pero, ¿cuál es la correcta?

Cualquiera de las dos; el principio de la relatividad del movimiento no tiene preferencia por algún sistema inercial en particular; por eso, es necesario indicar de qué sistema inercial se trata.
Mientras nuestro barco y lancha se mueven como indicamos anteriormente, un pasajero trota sobre la cubierta del barco a 10 km/h hacia el este, con respecto al barco. ¿Cuál será su velocidad con respecto a la lancha? ¿Cuál será su velocidad en relación con la playa? ¿A qué velocidad debería correr este pasajero, para que ésta fuese de cero, con respecto a tierra?
Las respuestas son respectivamente: 10 km/h hacia el este, 40 km/h hacia el este, y 30 km/h hacia el oeste.
Supongamos ahora dos automóviles , A y B, separados por una distancia de 200 m en el momento en que se dirigen a su encuentro, con velocidades de 70 km/h hacia el sur (auto A) y de 50 km/h hacia el norte (auto B), ambas con respecto a la superficie del suelo. En esas condiciones, ¿cuál es la velocidad del auto A con respecto al auto B? ¿Cuál es la velocidad del auto B con respecto al auto A? Las mediciones realizadas, en este caso, para un lapso de pocos segundos, son (intente su respuesta y luego verifique): velocidad del auto A, con respecto al auto B, 120 km/h hacia el sur, mientras que el auto B se mueve a 120 km/h hacia el norte, con respecto al auto A.
transformaciones de galileo
Consideremos dos partículas ‘‘A’’ y ‘‘B’’ que se encuentran en movimiento con respecto a un sistema de referencia fijo a la superficie terrestre.

* Donde:
: posición de ‘‘A’’
: posición de ‘‘B’’

* Ahora imaginemos que un observador se ubica sobre ‘‘A’’ y para poder ubicar a ‘‘B’’ se asocia un sistema de referencia.

* Donde:
: posición de la partícula ‘‘B’’ con respecto a la partícula ‘‘A’’.
* Además, del triángulo formado podemos deducir

Si al transcurrir el tiempo, los móviles cambian de posición, podemos deducir:

: Velocidad de la partícula “B” con respecto a la partícula ‘‘A’’
* Si al transcurrir el tiempo los móviles cambian de velocidad, podemos deducir:

: aceleración de la partícula ‘‘B’’ con respecto a la partícula ‘‘A’’.
velocidad relativa

La velocidad relativa de ‘‘B’’ respecto de ‘‘A’’ como:

Significa que ‘‘A’’ será considerado el nuevo sistema de referencia; es como si el móvil ‘‘A’’ estuviera en reposo y observaría moverse al móvil ‘‘B’’ con .
Gráficamente:

NOTA:

ojo:

La definición de velocidad relativa, también se puede aplicar para otras magnitudes físicas.
*

Posición relativa de ‘‘B’’ respecto de ‘‘A’’.
*
Aceleración relativa de ‘‘B’’ respecto de ‘‘A’’.

* Si «O» es considerado inmóvil :

* Si «O» fuera un sistema móvil o fijo :

* Suponiendo tres móviles A, B y C tienen sus velocidades respecto de un sistema referencial «O»; entonces :

* Para varios móviles :

Ejemplo 1 :

* En el esquema:

Ejemplo 2 :
Consideremos los siguientes casos:

En este caso, la velocidad relativa de B respecto a A es

¡interpretación!
El resultado de la velocidad relativa nos indica que respecto del atleta A en cada 1s el atleta B se le aleja 3m.
Ejemplo 3 :

Ahora la velocidad relativa de B respecto de A, será

Este resultado nos indica que respecto del atleta (A) en cada segundo el atleta (B) se le acerca 7m.
Ejemplo 4 :
Caso A :

La aceleracion B respecto de A sería :

CASO B:

En este caso, la aceleración del auto B respecto del auto A será calculada mediante el método del polígono a partir de

De la cual

Entonces, teniendo en cuenta que las aceleraciones y forman 90° entre sí, se construye el triángulo siguiente .

El módulo de la aceleración relativa de B respecto de A será
MOVIMIENTO
EN 3 DIMENSIONES
La posición de una partícula en el espacio, se define por un vector que parte del origen de un sistema de coordenadas y llega a dicha partícula. Este vector puede representarse de varias formas: Por ejemplo, para un sistema de coordenadas formado por tres ejes mutuamente perpendiculares, se usan tres coordenadas ubicadas en cada eje, las cuales definen la posición de la partícula; así del gráfico, se puede indicar:

o usando vectores unitarios

MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
Por ahora sólo es necesario saber que una partícula está en movimiento cuando su posición cambie continuamente al transcurrir el tiempo.

: posición inicial.
: posición final.
to: instante inicial.
tf: instante final.

velocidad media
Considerando la trayectoria curvilínea de una partícula, mostrada en la figura anterior, indicaremos su desplazamiento entre las posiciones mostradas, con un vector ‘‘’’ denominado también cambio de posición, tal como se muestra en la siguiente figura:

* Usando el álgebra vectorial, en el triángulo sombreado, se tiene

* entonces:

* El cambio de posición se realiza en cierto intervalo de tiempo (, donde: .
Dos partículas pueden tener la misma trayectoria e igual cambio de posición pero se pueden diferenciar en la rapidez con que realizan dicho cambio de posición. Esto es una característica de cada cuerpo que nos permite distinguir sus movimientos.
A la magnitud que mide la rapidez con la que una partícula cambia de posición, se le denomina velocidad.
* Para cierto intervalo de tiempo:

* Donde:
: velocidad media
* Observar que la velocidad media tiene la misma dirección del cambio de posición .

VELOCIDAD INSTANTÁNEA
También podemos analizar los cambios de posición en intervalos de tiempo más pequeños; en estos casos, el vector se va haciendo más pequeño y cambia de dirección tal que: se acerca de .
A la vez que cambia de dirección, también la cambia su dirección, tal que ambos siempre mantienen la misma dirección.
En el límite, cuando , está muy cerca de , el vector y la coinciden con la tangente al punto P, tal como se muestra en la figura:

* Notar que dicha velocidad tangente indica un cambio de posición en un intervalo de tiempo muy pequeño cercano a cero (tal como un instante de tiempo

* Usando la definición de la velocidad media, esta nueva velocidad tangente se puede definir matemáticamente como:

velocidad instantánea
La expresión anterior, es un operador matemático conocido como “la derivada”; en este caso: “de la posición respecto del tiempo”.
ACELERACIÓN MEDIA
En el movimiento curvilíneo, la velocidad cambia generalmente en módulo y en dirección.
El módulo de la velocidad cambia debido a que su valor aumenta o disminuye.
La dirección de la velocidad cambia debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria. En la figura se indica la velocidad en los instantes t0 y tf .
El cambio de velocidad entre estos dos instantes está indicado por el vector .

Aplicando el álgebra vectorial, se tendrá:
De donde:
Hemos visto que, para precisar el movimiento mecánico, es decir: conocer más detalles acerca de las características, hubo necesidad de definir la velocidad. Ahora hay necesidad de conocer mucho más del movimiento, ya que esta misma velocidad puede cambiar y podemos encontrar el hecho de que, dos partículas tengan el mismo cambio de velocidad; sin embargo, la diferencia puede hallarse en la rapidez con la que se realiza estos cambios. Entonces nos encontramos con otra característica de los cuerpos que posibilita distinguir aun más sus movimientos.
A la magnitud que mide la rapidez con la que una partícula cambia de velocidad, se le denomina aceleración.
Para cierto intervalo de tiempo:
unidad:
Donde: : es la aceleración media.
Observar que la aceleración media tiene la misma dirección del cambio de velocidad.
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Si consideramos los cambios de velocidad en intervalos de tiempo más pequeños (dt), entonces la velocidad final estará cada vez más próxima a la velocidad inicial.
En el límite, cuando está muy cerca de , obtenemos un cambio de velocidad y una aceleración en un intervalo de tiempo muy pequeño cercano a cero. La aceleración en un intervalo de tiempo cercano a cero, se denomina aceleración instantánea.
Usando la definición de aceleración media, la aceleración instantánea se puede expresar matemáticamente como:

¡La aceleración es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo!
Observar que la aceleración tiene la dirección del cambio de velocidad que se efectúa en el intervalo de tiempo cercano a cero (dt).
Como la velocidad cambia en la dirección en la cual la trayectoria se curva, la aceleración instantánea está siempre dirigida hacia la concavidad de la curva. La gráfica adjunta muestra la aceleración de la partícula
COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN
Consideremos una partícula que describe una trayectoria curva. Por simplicidad suponemos que la curva es plana, pero los resultados que obtengamos serán válidos para el movimiento a lo largo de cualquier curva.
En el instante de tiempo ‘‘t’’, la partícula se encuentra en la posición ‘‘A’’ con velocidad y aceleración .
Como la aceleración está dirigida hacia el lado cóncavo de la trayectoria, podemos descomponerla: en una componente tangente a la trayectoria, (en el punto analizado), denominada aceleración tangencial y una componente perpendicular a la curva en dicho punto (componente normal), denominada aceleración normal .
Cada una de estas componentes, tiene un significado físico bien definido:
• La aceleración tangencial está relacionada con el cambio en el módulo de la velocidad.
• La aceleración normal está relacionada con el cambio en la dirección de la velocidad.
Analicemos un poco más acerca de las componentes de la aceleración; tracemos el vector unitario tangente a la curva, tal como muestra la siguiente gráfica:
La velocidad se puede expresar como:

donde ‘‘V’’ es el módulo de la velocidad (rapidez) es un vector unitario en la dirección de la velocidad.
Entonces, la aceleración será:

Si la trayectoria fuese una recta, el vector sería constante y por lo tanto:
Pero, cuando la trayectoria es curva, la dirección de , varía a lo largo de la curva, y por lo tanto deja de ser constante y será diferente de cero.

Para proseguir, debemos calcular ; para esto introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado cóncavo. Usando el ángulo ‘‘’’ que hace la tangente a la curva en el punto ‘‘A’’ con el eje , se puede escribir:

Esto indica que tiene la dirección de , por lo tanto: es normal o perpendicular a la curva.
Además:

Donde ‘‘ds’’ es el pequeño arco a lo largo del cual se mueve la partícula en el intervalo de tiempo ‘‘dt’’. Las normales a la curva en los puntos A y A’ se intersectan en el punto C, llamado centro de curvatura. La distancia del centro de curvatura a cualquier punto del pequeño arco (ds) se considera constante y se denomina radio de curvatura .
Finalmente, introduciendo este último resultado en la expresión , obtenemos:
* El primer término, es un vector tangente a la curva y es proporcional al cambio del módulo de la velocidad, respecto al tiempo; corresponde a la aceleración tangencial cuyo módulo, es:

* El segundo término, es un vector normal a la curva y corresponde a la aceleración normal . Está asociado al cambio en la dirección de la velocidad …………
El módulo de la aceleración en el punto A es, entonces:

observaciones y propiedades :
Si el movimiento curvilíneo es uniforme, esto es: si el módulo de la velocidad permanece constante (rapidez constante), se tiene que , no hay aceleración tangencial.
Si el movimiento es rectilíneo, esto es, la dirección de la velocidad no cambia, el radio de curvatura es infinito ; por lo tanto: , no hay aceleración normal.

Si: y = f(x), entonces :

Movimiento MecÁnico Relativo tridimensional
El movimiento mecánico realizado por un cuerpo es relativo porque depende del sistema de referencia.
Debemos de señalar que hasta ahora hemos estudiado el movimiento de un punto o de un cuerpo respecto de un solo sistema de referencia dado. Sin embargo, hay casos en los que es más razonable (a veces es necesario) examinar el movimiento del punto (o del cuerpo) simultáneamente respecto de dos sistemas de referencia, uno de los cuales se considera convencionalmente móvil y el otro se mueve de un modo determinado respecto del primero.
El movimiento que experimenta el punto (o el cuerpo) se llama movimiento compuesto.