Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.
Coordenadas en el plano
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René
Descartes |
El sistema más usado es de las coordenadas cartesianas, basado en un juego de ejes perpendiculares entre sí. Fue conocido con el nombre de René Descartes ("Dey-cart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. Puede que esto ya le sea familiar a usted.
El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen"): los espacios hacia la derecha del origen y hacia arriba de él, se toman como positivos y para los otros lados como negativos (vea el dibujo abajo).
La distancia en un eje se llama "x" y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneasparalelas a los ejes y los valores de "x" e "y" definen totalmente el punto. En honor a Descartes, esta forma de designación de los puntos se conoce como sistema cartesiano y los dos números (x, y) que definen la posición de cualquier punto son sus coordenadas cartesianas .
Las gráficas usan ese sistema, al igual que algunos mapas.
 Funciona bien en una hoja de papel plana, pero el mundo real es tridimensional y a veces es necesario designar los puntos en dicho espacio tridimensional. El sistema cartesiano (x, y) puede extenderse hacia las tres dimensiones añadiendo una tercera coordenada z. Si (x, y) es un punto en una hoja, entonces el punto (x, y, z) en el espacio se consigue situándose en (x, y) y elevándose una distancia z sobre el papel (los puntos por debajo del papel tienen z negativa).
Es simple y claro, una vez que se toma la decisión de en qué lado de la hoja es positiva z. Por común acuerdo, las ramas positivas de los ejes (x, y, z), siguen el pulgar y los dos primeros dedos de la manoderecha, en el mismo orden, cuando se extienden de tal forma que formen el mayor ángulo entre ellos.
Lo que sigue usa las funciones trigonométricas seno y coseno. Si no está familiarizado con ellas, pase por alto esta sección o puede aprender sobre ellas.
Coordenadas Polares
 Las coordenadas cartesianas (x, y) no son la única forma de designar un punto P en el plano con un par de números. Existen otras formas y pueden ser más útiles en circunstancias especiales.
Un sistema (llamado de "coordenadas polares") usa la longitud r de la línea OP desde el origen hasta P y el ángulo que forma esa línea con el eje x. Los ángulos se denominan, a menudo, con letras griegas y aquí seguimos las convenciones designándolo como f (f griega). Observe que mientras en el sistema cartesiano x e y tiene roles muy similares, aquí están divididos: r denota la distancia y f la dirección.
Las dos representaciones están muy relacionadas. De las definiciones de seno y coseno:
x = r cos f
y = r sin f
Esto permite que (x, y) se deduzcan de las coordenadas polares. Para ir en sentido inverso y deducir (r, f) de (x, y), observe que de las ecuaciones superiores o del teorema de Pitágoras se puede deducir r:
r2 = x2 + y2
Una vez que se conoce r, el resto es fácil
cos f = x/r
sin f = y/r
Estas relaciones solo fallan en el origen, donde x = y = r = 0. En ese punto, f está indefinido y se puede escoger para él lo que uno quiera.
En el espacio tridimensional, la designación cartesiana (x, y, z) es exactamente simétrica, pero algunas veces es conveniente seguir el sistema de coordenadas polares y designar la distancia y la dirección por separado. La distancia es fácil: se toma la línea OP desde el origen hasta el punto y se mide su distancia r. también puede deducirse del teorema de Pitágoras, como en este caso:
r2 = x2 + y2 + z2
Todos los puntos con el mismo valor de r forman una esfera de radio r alrededor del origen O. En una esfera se puede designar cada punto por la latitud l (lambda, l minúscula griega) y longitud f (phi, f minúscula griega), luego la posición de cualquier número en el espacio se define por 3 números (r, l, f).
Azimut y Elevación
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Un antiguo telescopio
de topógrafo (teodolito).
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El teodolito está diseñado para medir esos ángulos. El ángulo f se mide en el plano horizontal, se le conoce como azimut y se mide desde la dirección norte. Una mesa giratoria permite al teodolito apuntar hacia cualquier azimut.
El ángulo l se llama elevación y es el ángulo con el que el teodolito se eleva sobre la horizontal (si mira hacia abajo, l es negativo). Los dos ángulos juntos pueden, en principio, especificar cualquier dirección: f tiene un rango de 0 a 360º, y l de -90º (perpendicular hacia abajo o "nadir") a +90º (perpendicular hacia arriba o "zenit").
De nuevo se necesita decidir desde qué dirección se mide el azimut, esto es, ¿donde está el azimut cero? La rotación de los cielos (y el hecho de que la mayoría de la humanidad vive al norte del ecuador), sugiere (para mediciones topográficas) la dirección norte, y esta es de hecho la dirección que se toma habitualmente como el punto cero. El ángulo del azimut (visto desde el norte) se mide en sentido antihorario.
Los matemáticos, no obstante, prefieren su propia notación y reemplazan "latitud" (o elevación) l,con colatitud q = 90 - l grados. No el ángulo con el horizonte, sino el ángulo con la vertical. El ángulo q (theta, una de las dos "tes" en griego) va de 0 a 180º, no de -90º a + 90º. Esto efectivamente puede tener más sentido, porque es más fácil medir un ángulo entre dos líneas (OP y la vertical) que entre la línea y el plano (OP y la horizontal).]
- [Y por si usted necesita saberlo: Para referir (r, q, f) a las cartesianas (x, y, z) con el mismo origen, q se mide desde el eje z yf se mide en el plano (x, y), en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x.]
El Calendario
Figuras laterales: Glifos representando
dos meses del calendario maya.
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Se ha hecho tan familiar el calendario que la gente tiende a olvidar que también ha sido inventado. Los antiguos granjeros necesitaban saber cuando debían arar y sembrar antes de la llegada de las estaciones lluviosas y también regular otras actividades estacionales. Los antiguos sacerdotes de Babilonia, Egipto, China y otros países, incluidos los mayas en América, exploraron los movimientos del Sol, la Luna y los planetas e inventaron una gran variedad de calendarios, alguno de los cuales aún se usa.
El Día
Obviamente la unidad básica es el día: 24 horas, 1440 minutos, 86400 segundos y cada segundo con una duración algo mayor que un latido. El día está definido por el movimiento del Sol a través del cielo y un buen punto de referencia es elmediodía, la hora en la que el Sol está en el punto más alto (o más distante del horizonte) y también está exactamente al sur o al norte del observador. "Un día" puede, por esto, definirse adecuadamente como el tiempo transcurrido entre un mediodía y el siguiente. Un reloj de Sol puede seguir el movimiento del Sol en el cielo por la sombra de una varilla o aleta ("nomón") que apunte hacia el polo celestial (pulse aquí si desea construir un reloj de Sol de papel) y permite dividir el día en horas y en unidades menores. El mediodía es la hora en la que la sombra apunta exactamente al sur o al norte y es más corta.
¿Cuál es, entonces, el periodo de rotación de la Tierra alrededor de su eje? ¿Un día?, dirá. No exactamente.
Suponga que observamos una estrella en el cielo, por ejemplo Sirius, la más brillante del grupo. Una rotación completa de la Tierra es el tiempo que necesita la estrella para volver a su posición de inicio (por supuesto, nos movemosnosotros, no la estrella). Esto es casi la definición de día, pero con una gran diferencia: para el día el punto de referencia no es una estrella fija en el firmamento, sino el Sol, que cambia ligeramente su posición en el cielo. Durante el año el Sol traza un círculo completo alrededor del cielo, de tal forma que si llevamos una cuenta separada de los "días Sirius" y los "días Sol", al final de año diferirán 1 día. Obtendremos 366. 2422 "días Sirius" por solo 365. 2422 "días Sol".
Es el "día estelar" (día sideral) el que fija el periodo de rotación de la Tierra y es unos 4 minutos mayor de 24 horas. Un mecanismo cronométrico diseñado para mover un telescopio siguiendo a las estrellas, da un giro completo cada día sideral.
Los relojes que conocemos y usamos, están basados en el día solar medioporque la duración de mediodía a mediodía puede variar debido al movimiento de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Según las leyes de Kepler (discutidas en una sección posterior) esa órbita es ligeramente elíptica. La distancia del Sol, por consiguiente, varía ligeramente y según la 2ª ley de Kepler, se acelera el movimiento cuando está más cercana al Sol y se desacelera cuando se aleja. Tales variaciones pueden hacer que el día solar difiera en unos 15 minutos.
Los actuales relojes atómicos, muy precisos, nos indican que el día se está haciendo gradualmente más largo. Las culpables son las mareas, olas gemelas elevándose en los océanos de la Tierra, debidas, principalmente, al empuje gravitacional de la Luna. Cuando las olas viajan alrededor de la Tierra, rompen sobre la costa y en mares poco profundos y de esta manera liberan su energía: la teoría sugiere que esa energía es debida a la energía cinética del movimiento rotacional de la Tierra.
El Año
El año es el tiempo que necesita la Tierra para hacer una órbita completa alrededor del Sol. Al final de ese tiempo, la Tierra está de vuelta en el mismo punto de su órbita y el Sol está, por tanto, de vuelta en el mismo punto aparente en el cielo. La Tierra necesita 365. 2422 días para completar su viaje (en días solares medios) y cualquier calendario cuyo año difiera de este número se desviará gradualmente en sus estaciones. El antiguo calendario romano tenía 355 días pero añadía un mes cada 2 o 4 años: no era suficientemente bueno y en los tiempos en los que Julio Cesar era gobernante de Roma, estaba desviado tres meses. En el año 46 a.C. (antes de Cristo) Cesar introduce un nuevo calendario, llamado, debido a su nombre, calendario juliano. Es similar al usado hoy: los mismos 12 meses y un día añadido a finales de febrero cada 4º año ("año bisiesto") en los años divisibles por 4. Dos años más tarde el 5º mes del año romano se denominó julio en su honor. El nombre de su sucesor; Cesar Augusto, fue posteriormente ligado al mes siguiente a julio.
El calendario juliano, de este modo, supone un año de 365. 25 días, dejando sin ajustar una diferencia de 0.0078 días o 1/128 de día. Así, el calendario continuó desviándose pero a un menor ritmo, aproximadamente 1 día cada 128 años. En 1542, año en el que la desviación era de unas dos semanas, el Papa Gregorio XIII ordena un calendario modificado, denominado, debido a su nombre,calendario gregoriano. De aquí en adelante, los años terminados en dos ceros, como 1700, 1800, 1900, no serán bisiestos, excepto cuando el número sea divisible por 4, como el 2000. Esto elimina 3 días bisiestos cada 400 años, o sea, 1 día cada 133 1/3 de años, cercano a la corrección requerida de 1 día cada 128 años.
Pero no fue suficiente modificar el calendario: se necesitó dar un salto en las fechas para eliminar la diferencia acumulada. En Italia se hizo pronto después del edicto del papa y "Tibaldo y el agujero en el calendario" de Abner Shimony, narra la historia de un muchacho cuyo nacimiento es en un día de los eliminados en ese salto de fechas. Otra fecha de nacimiento afectada fue la de George Washington, nacido el 11 de febrero de 1732: cuando el Imperio Británico actualiza su calendario en 1751, el 11 de febrero "nombre antiguo" se convirtió en el 22 de febrero "nombre nuevo" y actualmente es el día en el que se celebra el nacimiento de George Washington.
En Rusia el cambio vino después de la Revolución, y es por lo que el gobierno soviético usa para celebrar el aniversario de la "Revolución de Octubre" el 7 de noviembre. La Iglesia Ortodoxa rusa continua usando el calendario juliano y celebra la Navidad y la Pascua unas 2 semanas después que la mayoría del mundo cristiano .
El periodo orbital de la Luna, medido por las estrellas ("periodo sideral") es de 27. 321662 días. No obstante, el ciclo mensual de la Luna: nueva, cuarto creciente, llena, cuarto menguante y nueva de nuevo es de 29. 530589 días, porque depende de la posición del Sol en el cielo y esa posición cambia apreciablemente en el curso de su órbita. Las diferentes fases de la Luna representan diferentes ángulos de iluminación, y la apariencia de la Luna en el cielo nocturno nos da una buena idea de donde está el Sol (ej.: la Luna observada por el este antes del amanecer aparece iluminada por debajo). La duración del ciclo de la Luna ("periodo sinódico") fue la causa de la división del tiempo conocido como mes. Muchos calendarios antiguos estuvieron basados en la Luna. El más exitoso de ellos es el calendario "Metónico", en nombre del griego Metón, quien observa que adicionando 7 meses en el transcurso de 19 años, mantiene el calendario bastante exacto de acuerdo con las estaciones. Lo que haría la duración del año medio de (12 + 7/19) meses y con una calculadora se puede encontrar fácilmente su valor:
(12 + 7/19) x 29.530589 = 365.2467 días
muy cercano a su valor real de 365. 2422. El calendario metónico es, por esto, más preciso que el juliano, aunque menos que el gregoriano. Es el usado todavía por los judíos, en cuyo calendario, cada mes comienza en o cerca de la Luna Nueva, cuando la posición de la Luna en el cielo está más cercana al Sol. Los babilonios y los chinos también tenían conocimiento de una fórmula como la de Metón.
Los musulmanes utilizan un calendario lunar no corregido, y como resultado sus festividades se mueven a lo largo de las estaciones del año en una proporción de aproximadamente 11 días por año. La razón no es ignorancia de la astronomía, sino un esfuerzo deliberado para seguir un horario diferente de cualquier otra fé. Esto crea un problema con el més del Ramadán, durante el cual se espera que los fieles musulmanes no coman o beban desde el amanecer hasta el ocaso. Cuando el Ramadán cae a mediados del invierno, esto no es un gran problema, ya que los días son cortos y fríos. Quince años después, sin embargo, el Ramadán cae en pleno verano, cuando los días son largos y el calor hace que la genta tenga mucha sed. Es entonces cuando las ciudades árabes esperan impacientemente el estruendo del cañón, el cual tradicionalmente anuncia cada tarde el fin del ayuno.
Un calendario que da un seguimiento al año solar aún mejor que el calendario Gregoriano es el calendario Persa (Iraní), cuya primer versión fue desarrollada por Omar Khayyam (1044-1123), autor de los famosos poemas "Rubbaiyat", magistralmente traducidos al Inglés por Edward Fitzgerald). También es llamado el calendario Jalali, debido a que el Rey Malik Shah Jalaludin en 1074 encargó a Omar y a 7 otros estudiosos que desarrollaran un nuevo calendario.
Aunque el conteo de años Persas comienza como el calendario Musulmán, a partir del viaje de Mahoma a Medina en 622, estableciendo allí la primera base fuerte del Islam, el año nuevo comienza al inicio del equinoccio de primavera, con la festividad de Nowruz.
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Cómo se Celebra el Nowruz: En Irán, la fiesta más grande es el Nowruz, El Día de Año Nuevo... Siempre comienza el primer día de primavera en el momento exacto del equinoccio. Esto significa que cada año el Nowruz comienza en un momento diferente. Un año puede comenzar el 21 de Marzo a las 5:32 A.M., mientras que al siguiente año puede ocurrir el 20 de Marzo a las 11:54 P.M. Cada Iraní sabe el momento exacto en que el jubileo comienza.
Las festividades son antecedidas por semanas de preparación. Cada quien limpia su casa a conciencia, compra o hace ropa nueva, y cocina repostería tradicional. Un preparativo ceremonial, llamado haftseen (siete S), el cual consiste de siete símbolos comenzando con el sonido "s", que son exhibidos con otros objetos simbólicos como espejo, huevos coloreados, y un pez dorado en su pescera. Los objetos representan la salud, renovación, prosperidad, fertilidad y los usuales deseos universales compartidos por la gente al inicio de la celebración de cualquier Año Nuevo...
Durante el Nowruz, la mayoría de los negocios cierran y las calles están vacías. Durante 12 días después del equinoccio, la gente visita a los parientes y amigos, siempre comenzando con los de mayor edad. Una vez que se han visitado a todos los ancianos, entonces se visita a los miembros jóvenes de la familia. En cada casa, una charola con dulces caseros se ofrece junto con deseos de año nuevo. Los niños reciben dinero, siendo siempre billetes nuevos. Asumo que desde la ola de inmigración después de [la revolución en Irán] en 1980, los bancos en Estados Unidos han notado un repentino incremento de la demanda de billetes nuevos en el mes de marzo.
[De "Funny in Farsi -- A Memoir of Growing Up Iranian in America (Una Remembranza de crecer Iraní en Estados Unidos de América)" por Firoozeh Dumas, 187 pp., $21.95, Villard Books 2003. Un encantador e ilustrosos libro respecto a crecer en dos culturas.]
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Alguna gente clama que la costumbre Judía del plato del Pésaj está relacionada con el"haftseen" Persa (Siete S). Ese es un plato ceremonial con siete (o seis) objetos simbólicos, la pieza central de la mesa en la cena de Pésaj (Pascua Judía), tal vez la celebración más importante del año Judío, conmemorando un antiguo evento que coincide con el equinoccio de primavera. El año Persa en sí tiene 12 meses, los primeros 6 meses tienen 31 días, los siguientes 5 tienen 30, y el último tiene 28 ó 29, dependiendo si el año es bisiesto o no. Cada mes corresponde a un signo del zodíaco. El número de días en cada mes (aunque no sea en el orden de los meses) es por lo tanto igual que en el calendario civil occidental. La diferencia está en la regla para determinar el año bisiesto, la cual es más compleja. Aún el calendario original Jalali era más exacto que el Gregoriano; la versión actual asigna 683 años bisiestos en un ciclo de 2820 años: ¡Le tomaría dos millones de años para que que este calendario mostrara un día de imprecisión!
Un calendario interesante es utilizado por la iglesia Cristiana Cóptica en Etiopía, con 12 meses de 30 días, con un 13avo mes adicional más corto de 5 días. Un folleto turístico alguna vez atrajo visitantes con la promesa de "Venga a Etiopía y disfrute de 13 meses de sol al año".
El Calendario Maya
Los indios maya de América Central, vivieron en la península de Yucatán en México, Belice y Guatemala (donde aún se hablan las lenguas mayas), crearon una vasta civilización que alcanzó su máximo esplendor en torno a los años 1200-1450. Desarrollaron un sistema antiguo de escritura simbólica ("glifos") y matemáticas sencillas, usando un sistema parecido al nuestro (¡incluyendo el cero!) basado, no en el número10, sino en el 20. Sin embargo no hicieron uso de las fracciones.Su astronomía estaba bien desarrollada y observaron los "días zenial" cuando el Sol está directamente sobre la cabeza ("en el cenit") y un palo vertical no proyecta sombra. Su año tenía 365 días, pero en la ausencia de años bisiestos cambiaba lentamente con respecto a los solsticios. Ese año estaba dividido en 18 "meses" de 20 días cada uno (numerados de 0 a 19), más el "mes corto" de Wayeb, cuyos días estaban considerados desgraciados.
Yucatán no experimenta verano e invierno en la misma forma que las latitudes medias (ej.: Europa o la mayoría de los EE.UU.) y por lo tanto el calendario maya no estaba ligado fuertemente a las estaciones como está el nuestro. El planeta Venus recibía la principal atención y sus ciclos estaban medidos con precisión por los astrónomos mayas. Además los mayas también observaban un "año ritual " de 260 días, consistiendo en 20 "semanas largas" de 13 días cada una. |
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