Astronomía

Mecánica neutoniana. 

Marcos de Referencia Acelerados: Fuerzas de Inercia

            Otro caso de un marco de referencia en movimiento estudiado aquí es: un marco de referencia acelerado.
 

Una sección anterior describió el movimiento en un círculo e introdujo la fuerza centrípeta que hace posible ese movimiento. Es una fuerza hacia el centro de rotación, de magnitud  Fcentripeta = mV 2/R donde R es el radio del círculo de rotación y V es la velocidad del movimiento alrededor de él. Para quien no haya estudiado los movimientos y aceleraciones, "centrípeta" es, probablemente, una palabra nueva. Sin embargo, la mayoría de la gente es consciente del empuje hacia afuera de la fuerza centrífuga, la fuerza que lanza fuera del centro de rotación cuando se va en un auto velozmente alrededor de una esquina. En una atracción de feria popular, es la fuerza que empuja contra un tambor giratorio, manteniendo a la gente en el sitio aun que esté cabeza abajo. ¿Cual es la relación?   Fuerzas de Inercia Como veremos, la fuerza centrífuga no es una fuerza "real" , en el sentido que cualquier movimiento calculado en "el marco del universo" (o en uno que se mueva uniformemente con respecto al universo) no aparece para nada. En ese marco, si un objeto se mueve alrededor de un círculo, se necesita una fuerza centrípeta para mantener ese movimiento, de otro modo vuela fuera en una tangente, con velocidad constante a lo largo de una línea recta. Desagraciadamente, si se sienta (por ejemplo) en el coche de una montaña rusa que va alrededor de un lazo vertical, como en la figura de arriba, de un parque de atracciones japonés, es un poco difícil visualizar su movimiento con respecto a la Tierra fija. Esmucho más simple orientarse con respecto al coche en el que se sienta.  El coche de la montaña rusa, sin embargo, experimenta varias aceleraciones, y por regla general, cuando tratamos de aplicar las leyes del movimiento dentro de un marco de referencia acelerado, entran en juego fuerzas extra, conocidas como fuerzas de inercia.Podría llamarlas fuerzas "ficticias", si lo desea, porque cuando se calcula el mismo movimiento en el marco del mundo exterior, no aparecen para nada. Dentro del marco de referencia acelerado, no obstante, no pueden diferenciarse de las fuerzas reales, y necesitan fuerzas reales para equilibrarlas.  La fuerza centrífuga es una de esas fuerzas, pero antes de estudiarlas, consideramos un caso más simple. Está usted sentado en un autobús, moviéndose en línea recta. De repente el conductor frena y todos los pasajeros se sienten empujados hacia adelante. ¿Por qué? Vectores de unidad  Las fuerzas son vectores, y F = ma es un vector ecuación. Antes de separarlo en sus componentes, introducimos aquí una notación simple que permite manipular los vectores como entidades únicas.  Suponga que trabajamos en un sistema de coordenadas (x,y), con x dirigida hacia abajo e y dirigida en la dirección del movimiento del autobús (si está usando un sistema (x,y) con el eje de las y apuntando hacia arriba, girelo en dextrogiro 90º). Los vectores de unidad  xu e yu serán vectores de unidad de longitud, en las direcciones x e y.

[Nota: debo indicar que los vectores de unidad con el subíndice "u" no son una notación estándar, sino forzada por la limitación del código HTML usado en la world-wide web. La notación estándar es un circunflejo en la parte superior, como â, ê ó û, pero, desgraciadamente, HTML no permite usar circunflejos en la mayoría de las letras. Si presenta este material en un aula, es mejor que use circunflejos.]

Así, en coordenadas (x,y), un vector V con componentes(Vx,Vy) puede escribirse V = Vx xu + Vy yu La desaceleración del autobús  Déjenme analizar las fuerzas sobre algunos pasajeros dentro del autobús. Están involucradas dos fuerzas: el peso F1= mg xu, tirando de los pasajeros hacia abajo, y la reacción del asiento F2 , que no permite ningún movimiento en esa dirección. Siempre y cuando el autobús se mueva en línea recta y con velocidad constante, esos dos son los únicos que cuentan y conseguimos la condición de equilibrio F1+ F2 = 0 ¿Qué ocurre cuando se aplican los frenos? Déjenme mirar primero desde el marco de referencia del mundo exterior. Si el autobús acelera hacia adelante, la aceleración es a = a yu Cuando se aplica el freno, por consiguiente a = - a yu y las fuerzas y masas dentro obedecen la ley de Newton F1+ F2 = - ma yu Obsérvese que ahora, si se quiere mantener el equilibrio, las fuerzas deben cambiar. El peso  F1 es fijo, y para mantener el equilibrio de la ecuación  (lo mismo que el de los pasajeros), F2 debe cambiar. Por ejemplo, el pasajero debe asir el asiento del frente, empujándolo ó a su cuerpo hacia atrás, con una fuerza igual a la de aceleración añadida en el otro lado de la ecuación.  Para ver como aparece la situación en el marco del autobús, sumamos +ma yu a ambos lados. Realmente ahora, lo que se suma es igual a los que se resta, dando cero, luego la ecuación se convierte en F1+ F2 + ma yu = 0 Esto se interpretará, en el marco del autobús desacelerando, como sigue. Para que las fuerzas estén en equilibrio, todas las fuerzas (como antes) deberán sumar cero, pero ahora deberán incluir una fuerza de inercia mayu empujando hacia adelante, en la dirección de yu. Esta fuerza de inercia es la única considerada en el marco en movimiento. Puede llamarla fuerza "ficticia" si quiere. pero cuando necesite un cinturón de seguridad ó un airbag para evitar ser lanzado a través del parabrisas, ¡parece bastante real!  Despegue  Si alguna vez ha hecho un viaje en avión, If you ever take a trip on a jetliner, advertiría como durante el despegue era empujado contra el asiento. Esta es la fuerza de inercia que actúa en el marco del avión acelerando. En un autobús que esté disminuyendo la velocidad, Ud. es empujado hacia adelante, pero en el en el avión acelerado es empujado hacia atrás. Un experimento simple, tome un peso atado a una cuerda (un plomo de pescar o un puñado de tuercas es suficiente) y dejelo colgar antes del despegue, definiendo la dirección "abajo". Durante el despegue, la cuerda se inclinará hacia atrás unos 5-10 grados. Todo esto es poco comparado con las fuerzas de inercia que sienten los astronautas en el espacio, en su marco de referencia, que es unas 2 ó 3 veces su peso. Marcos de Referencia: La Fuerza Centrífuga El alumno, madrugando para su examen, estaba confundido..."Centrífuga, centrípeta", decía, con su barbilla apoyada en su puño. "Parar un planeta en su vuelo, privarlo de su fuerza centrífuga, ¿y luego que ocurre? ¡Le queda su fuerza centrípeta y cae hacia el Sol! Y esto---!"              H.G.Wells, La Estrella Ahora regresemos al movimiento circular. La Fuerza Centrífuga    El movimiento circular es un movimiento acelerado. Por consiguiente, si lo estudiamos en el marco de referencia giratorio, podemos prever que aparecerán fuerzas de inercia, como las abordadas en la sección anterior.   Suponga a una persona sentada en un autobús, moviéndose en línea recta con velocidad constante v. Como antes, las fuerzas involucradas son el peso del pasajero F1 y la fuerza de reacción del asiento F2 y en ausencia de aceleración, las dos se cancelan: F1+ F2 = 0     De repente el autobús hace un giro brusco, siguiendo parte del círculo de radio r. Si el cuerpo del pasajero sigue en el asiento como antes, se añadirá una fuerza extra, para evitar que continúe en línea recta (su tendencia natural). Si ru en un vector unidad (los vectores unidad se explicaron en la sección anterior ) dirigido hacia fuera del centro de rotación, a lo largo del radio r, la fuerza F2 ejercida por el asiento debe incrementarse para proporcionar la fuerza centrípeta -(mv2/r)ru que hace que el pasajero siga el movimiento del autobús: F1+ F2 = - (mv2/r) ru   El autobús y el asiento obligan al cuerpo del pasajero a seguir parte del círculo y para conseguir esto deberá de tirar de él hacia el centro. Para permanecer en el sitio (o sea, equilibrar la ecuación anterior), F2 debe de incrementarse con una fuerza adicional en la dirección de -ru, hacia el centro de la curva. ¿Cómo se ve el mismo caso desde el marco del autobús? Sumando (mv2/r)ru a ambos lados de la ecuación da, de forma similar a como lo hizo anteriormente F1+ F2 + (mv2/r) ru = 0 Se consigue el equilibrio y el pasajero continúa en su sitio, si se cumple la ecuación anterior. Esto se puede ver como el equilibrio entre tres fuerzas-- F1,F2 y la fuerza centrífuga (mv2/r)ru dirigida a lo largo de ru, radialmente hacia fuera.  Se puede fácilmente generalizar a cualquier marco de referencia moviéndose circularmente:   Existe el equilibrio en el marco giratorio si todas las fuerzas se equilibran, incluida la fuerza "centrífuga" de inercia (mv2/r)ru.  Ejemplos Cuando se calculan los movimientos de los océanos y la atmósfera, es más fácil usar puntos de referencia sobre la Tierra giratoria y añadir una fuerza centrífuga a todas las ecuaciones. Esta es una razón del porqué la aceleración observada g debida a la gravedad tiene un valor medio de 9.81: en el ecuador, la fuerza centrífuga debe restarse de la fuerza de la gravedad, mientras que en el polo no existe fuerza centrífuga. Las observaciones de g dan valores desde 9.78 en el ecuador hasta  9.83 en los polos, pero la fuerza centrifuga es la responsable solo de parte de esa diferencia. El resto se origina porque la Tierra no es una esfera perfecta: la fuerza centrífuga de su rotación causa que en el ecuador se abulte, haciendo que la superficie allí esté más distante del centro de la Tierra y esto debilita la atracción gravitacional.  (También puede notar que la dirección de la fuerza centrífuga está fuera del eje de rotación, y por consiguiente apunta directa hacia fuera del centro de la Tierra solo en el ecuador. Por lo tanto, se prevé en todos los demás puntos (excepto en los polos) una ligera diferencia entre la vertical definida por la plomada y la dirección del centro de la Tierra.) Otro ejemplo es el "looping" de algunas montañas rusas en los parques de atracciones. Allí la pista desciende en una larga rampa y luego, en el fondo, gira en un círculo completo (dibujo) antes de nivelarse de nuevo. En el punto señalado como "A" los pasajeros están cabeza abajo un breve momento, pero ninguno cae. ¿Como es posible? Y (en ausencia de fricción), ¿cual es la altura mínima h, del punto de arranque S encima de A necesario para asegurar que el coche pasa con seguridad por A ? Esto se resuelve fácilmente en el marco del coche de la montaña rusa en movimiento. En ese marco, las fuerzas sobre el coche en la parte superior del lazo son El peso -mg ru (hacia abajo, a lo largo de -ru en ese punto.) La fuerza centrífuga (mv2/r) ru, y La fuerza F2 ejercida por los raíles.  El coche apenas logrará pasar el punto A si la gravedad y la fuerza centrífuga son exactamente iguales, así los raíles no necesitan ejercer un fuerza extra:  -mg ru + (mv2/r) ru = 0 Los dos vectores están a lo largo de ru (con signos dando su dirección), así todo se reduce a una ecuación entre números ordinarios: -mg + mv2/r = 0 Suponga ahora que el coche bajó desde una altura  h sobre el punto más alto del lazo. Ha  perdido energía potencial mgh, y   ganado energía cinética mv2/2 así, de la conservación de energía mgh + mv2/2      ó      2mgh = mv2 Substituyendo -mg + 2mgh/r = 0 Dividido por mg, sumando +1 a ambos lados: 2h/r = 1      luego multiplique por r/2 para obtener h:       h = r/2 El coche deberá comenzar la bajada como mínimo a medio radio del lazo sobre A. Pulse aquí para ver una sección opcional  tratando el mismo problema usando la fuerza centrípeta. Exploración Adicional:  Para una demostración del  "looping" con un auto de juguete "hot wheels" pulse aquí. Un lugar sobre montañas rusas, el más grande, más alto, el que tiene más loops (8) y el de mayor loop ("Moonsault Scramble" en Japón, su foto al comienzo de esta página ) pulse aquí. El Bucle (Extensión Opcional)  En la sección precedente  el movimiento de la montaña rusa "looping" se trató usando la fuerza centrífuga. También puede verse este problema desde el punto de vista del mundo exterior, usando la fuerza centrípeta, pero no es fácil. En el punto A, en lo alto del bucle,ambas fuerzas, la de gravedad y la centrípeta, apuntan hacia abajo. Luego, ¿qué es lo que mantiene a los pasajeros en sus asientos? Déjenme resolver ese movimiento usando el concepto de fuerza centrípeta. Un vagón que va alrededor de un bucle, de radio R y velocidad V, se acelera a razón de V2/R hacia el centro (con tal de que se mantenga sobre los railes) y por consiguiente está sujeto a la fuerza centrípeta V2/R, también dirigida hacia el centro. Cuando el vagón está en el punto A, esta fuerza apunta hacia abajo. Tomando "abajo" como la dirección positiva a lo largo del eje vertical. La fuerza centrípeta es proporcionada por dos fuentes: el peso del vagón mg, dirigido hacia abajo y la reacción de los railes FR . Tenemos en el punto A  mg + FR = + mV2/R  Por lo tanto FR = + mV2/R - mg  donde una positiva FR empuja el vagón hacia abajo, una negativa tira de el hacia arriba Ahora el vagón rueda sobre los railes. En el punto A los railes están encima del vagón y por consiguiente solo puede empujar hacia arriba contra ellos. Los railes entonces, reaccionando a la fuerza, deben empujar hacia abajo, de forma similar a la situación en "Los objetos en Descanso", de la sección nº 18 sobre la 2ª Ley de Newton. Así que FR debe ser positiva: sí fuera negativa significaría que los railes estarían tirando del vagón hacia arriba, lo que no pueden hacer.  Así que necesitamos que FR > 0, o sea mV 2/R - mg > 0  o, después de añadir mg a ambos lados  mV 2/R > mg Es el mismo resultado que el obtenido usando la fuerza centrífuga: el problema puede resolverse en el marco de referencia externo, pero el proceso es un poco más complicado. El significado intuitivo se muestra en el dibujo. Si cesasen todas las fuerzas sobre el vagón en el punto A,  continuaría a lo largo de la línea recta hacia el punto B,  de acuerdo con la 1ª ley de Newton. Si solo actuase la gravedad, seguiría una parábola hasta el punto C. Para que los railes ejerzan una presión positiva, deberán forzar al vagón a una curvatura más ceñida que solo la gravedad, forzándolo a moverse al punto D.