Astronomía

Mecánica neutoniana.

El Movimiento Circular

En ausencia de fuerzas, el movimiento en línea recta y a velocidad constante continúa indefinidamente. El movimiento circular, sin embargo, necesita fuerzas para existir. Imagine que tiene una piedra amarrada a una cuerda y está moviéndola en círculos de radio R (metros). Cada rotación la piedra cubre una distancia de 2pR metros donde p = 3.14159265359. . . es la razón entre el diámetro del círculo y su circunferencia. Figúrese además que la piedra efectúa N círculos ("revoluciones") por segundo. Como su velocidad  v es igual a la distancia que se mueve en un segundo, vemos que v = 2pNR m/s Si tomamos el movimiento desarrollado en un momento muy breve, el trayecto AB cubierto es tan pequeño que su curvatura se puede desechar, permitiendo ver el movimiento como si fuese en línea recta, con una velocidadv. Después de un rato, no obstante, la diferencia entre este movimiento y una línea recta se hace evidente: el movimiento recto con velocidad v llevará a la partícula al punto C, a la distancia de AC = vt mientras que el movimiento real la lleva al punto D en un círculo, cuyo centro se indica por O. Es útil estimar este movimiento como la suma de dos movimientos separados: un movimiento en línea recta deA a C, y un movimiento adicional de C a D que devuelve a la partícula al círculo. Como se indicó anteriormente (en la sección sobre vectores ), cuando un movimiento es una combinación de dos movimientos simples, el desplazamiento resultante se puede obtener deduciendo de forma separada los desplazamientos producidos por cada movimiento aislado, y luego sumándolos conjuntamente. Es movimiento resultante de la suma desde C a D es el que interesa aquí. Su dirección es siempre hacia el centro, y la distancia CD cubierta por el, indicada aquí por x, puede obtenerse del teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo OAC (el cálculo se asemeja al que obtenía la distancia al horizonte en la sección (8a)). En ese triángulo, OA = R, AC = vt, OC = R + x. Por lo tanto R2 + v2t2 = (R + x)2 = R2+ 2Rx + x2 Restar R2 de ambos lados v2t2 = 2Rx + x2 = x(2R + x) Si el intervalo de tiempo t es muy pequeño, x es mucho más pequeño que 2R y puede desecharse por equiparación. Luego v2t2 = 2xR ó x = 1/2 (v2/R) t2 Pero debido a una fórmula anterior, en la sección sobre la aceleración, esta es exactamente la distancia cubierta en el tiempo t por un movimiento con aceleración a = v2/R El resultado anterior nos sugiere que el movimiento constante alrededor de un círculo, al menos durante un pequeño intervalo, se puede ver como la suma de un movimiento en línea recta con una velocidad fija v, más un movimiento acelerado hacia el centro de atracción, con la antedicha aceleración a. La conclusión es correcta, aún cuando la deducción es algo irregular. La deducción convencional (como la mayoría de la teoría de los movimientos) requiere el uso del cálculo diferencial, el estudio de cantidades cambiantes y de la forma como cambian, así como también estar familiarizado con los vectores. Aceleración centrípeta y fuerza centrípeta La aceleración a = v2/R hacia el centro, que se necesita para mantener un objeto moviéndose en un círculo, se llama su aceleracióncentrípeta, del  Latín petere, moverse hacia. Por las leyes de Newton, cualquier aceleración requiere una fuerza. Si una piedra (o cualquier otro objeto) de masa m gira con velocidad v alrededor de un eje central O, a la distancia R desde él, una fuerza F debe tirar constantemente de él hacia el centro y F = ma = mv2/R Este es conocida como la fuerza centrípeta que, tirando continuamente de la piedra, mantiene la cuerda estirada. Si la cuerda se rompiera, por ejemplo, por el punto A del dibujo, la piedra continuará con velocidad v en línea recta a lo largo de AC. Y no volará hacia fuera a lo largo de OA, como algunos creen, ¡aún cuando esa sea la dirección en la que está estirada la cuerda! Teoría de la "Gravitación Universal" de Newton La Luna gira alrededor de la Tierra. Como su tamaño no parece que cambie, su distancia será aproximadamente la misma y por lo tanto su órbita deberá parecer un círculo. Para mantener a la Luna moviéndose en ese círculo antes que deambular por ahí, la Tierra deberá ejercer una atracción sobre la Luna. Newton llamó a esa fuerza de atracción la gravedad. ¿Es la misma que atrae todos los objetos hacia abajo? Supuestamente la anterior pregunta se le ocurrió a Newton cuando vio a una manzana caer del árbol. John Conduitt, asistente de Newton en la real moneda y marido de su sobrina, dijo esto sobre el asunto cuando escribió sobre la vida de Newton: En el año 1666 se retiró de nuevo de Cambridge ... con su madre en Lincolnshire y mientras estaba meditando en un huerto cayó en la cuenta de que el poder de la gravedad (que hizo caer a una manzana desde el árbol al suelo) no estaba limitada a una cierta distancia de la Tierra, sino que su poder debía extenderse mucho más de lo que habitualmente se pensaba. ¿Por qué no tan arriba como a la Luna?, reflexionaba, y si así fuese, que influenciara su movimiento y quizá la retuviera en su órbita, con lo cual él caía en calcular cual sería el efecto de esa suposición ...  ( Keesing, R.G., La historia del manzano de Newton, Contemporary Physics, 39, 377-91, 1998) Tercera Ley de Kepler Además de la Luna, la Tierra tiene ahora muchos satélites artificiales, usados por nosotros, los terrícolas, con propósitos diversos. Los cálculos aplicados por Newton a la Luna pueden usarse para los satélites.  Velocidad Orbital Suponga que la Tierra fuese una esfera perfecta de radio1 RE = 6 317 000 metros y  no tuviera atmósfera. En principio, un satélite podría orbitar justo sobre su superficie. La Tierra lo atraerá con una fuerza F = mg y debido a la dirección de esa fuerza, cualquier aceleración será también en la dirección arriba-abajo. Si el satélite está en una órbita circular estable y su velocidad es V, luego F proporciona la cantidad justa de atracción para mantener el movimiento. Lo que significa mg = F = mV2/RE Dividiendo ambos lados por m se ve que la masa del satélite no importa, y queda V2/RE = g Multiplicando ambos lados por RE: da V2 = (g) (RE) = (9.81) (6 371 000) = 62 499 510 (m/s2) V = 7905. 66 m/s = 7.90566 km/s = Vo Esta es la velocidad requerida por el satélite para permanecer en su órbita ("1" en el dibujo). Cualquier disminució, pierde altitud y choca contra la Tierra ("2"); cualquier incremento, sube a gran distancia ("3"). Para comparación, un avión comercial vuela a unos 250 m/s, una bala de rifle a unos 600 m/s. Necesitamos de nuevo una notación para la raíz cuadrada. Como el lenguaje HTML no dispone de una, usamos la notación SQRT que encontramos en algunos lenguajes de computación. La raíz cuadrada de 2, por ejemplo, puede escribirse SQRT(2) = 1. 41412. . .  Si la velocidad V de nuestro satélite es solo un poco mayor que Vo, curva "3", será parte de una elipse kepleriana y  retornará de nuevo a la Tierra. Si, no obstante, V es mayor que 1. 4142. . .veces Vo el satélite adquiere velocidad de escape y nunca volverá: esto ocurre a unos 11.2 km/s. 3ª Ley de Kepler para Satélites Terrestres La velocidad de una órbita circular de la Tierra a cualquier otra distancia r se calcula de forma similar, pero se debe tener en cuenta que la fuerza de gravedad es más débil a mayores distancias, por un factor (RE/r)2. Entonces obtenemos V2/r = g (RE r)2 = g RE2/r2 hagamos a T ser el período orbital en segundos. Luego (como se dijo antes), la distancia  2 πr cubre una órbita igual a VT  VT  = 2 π r V  = 2 π r/T V2 = 4 π2r2/T2 V2/r  = 4 π2r/T2 y por una igualdad anterior 4 π2r/T2 = g RE2/r2 Líbrese de fracciones multiplicando ambos lados por r2T2 4 π2r3 = g RE2 T2 Para ver mejor lo que tenemos, divida ambos lados por g RE2, despejando T2: T2 = (4π2/g RE2) r3 Lo que está dentro de los paréntesis es un número. El resto nos da un mensaje simple, T2 es proporcional a r3, el periodo orbital al cuadrado es proporcional al cubo de la distancia. Esta es la 3ª Ley de Kepler, para los casos especiales de órbitas circulares alrededor de la Tierra. Si no está cansado del cálculo, puede pulsar aquí para convertir la fórmula superior en una más práctica.  Aplicando la 3ª Ley de Kepler Para órbitas circulares alrededor de la Tierra, encontramos T2 = (4π2/g RE2) r3 con T en segundos y r en metros. La distancia de un satélite al centro de la Tierra en metros es un número muy grande, aún antes lo elevamos a la 3ª potencia. Podemos, sin embargo, multiplicar la expresión de la derecha por (RE3/RE3) = 1 y luego reordenar los términos: T2 = (4π2/g RE2) (RE3/RE3) r3 = (4π2RE/g) (r/RE)3 La proporción r' = (r/RE) es la distancia orbital medida en unidades del radio de la Tierra. Ese número es normalmente entre 1 (en la superficie de la Tierra, r = RE) y 60 (en la órbita de la Luna, r ~ 60 RE). También, esa relación es siempre la misma, si tanto r y RE están en metros, yardas ó millas náuticas, siempre y cuando r y RE estén medidas en las mismas unidades. El otro término se calcula debajo, con la multiplicación indicada por espacios en blanco entre paréntesis; puede comprobarlo con su calculadora. (4π2RE/g) = (4) (9.87) (6 371 000)/9.81 = 25 638 838 SQRT (25 638 838) = 5063.5 A partir de aquí:                       T2= (5063.5)2 (r')3 T= 5063.5 segundos  SQRT(r')3 = 5063 s  r' SQRT=(r') Esta es la forma práctica de la 3ª ley de Kepler para los satélites terrestres. Nuestro satélite imaginario pasa rozando la superficie de la Tierra (r' = 1) tiene un periodo de T = 5063.5 s = (5063.5/60) minutos = 84.4 minutos La lanzadera espacial debe librar la atmósfera e ir un poco más arriba. Digamos que su órbita ar' = 1. 05, con SQRT(r') = 1. 0247. Luego T = (5063.5) (1.05) (1.0247) = 5448 segundos = 90.8 minutos Los satélites de comunicación internacionales están en el plano ecuatorial de la Tierra y tienen órbitas con periodos de 24 horas. Cuando la Tierra gira, andan al mismo paso que esta y siempre están sobre el mismo lugar. ¿A que distancia? Aquí T es conocida y necesitamos encontrar r': T = 24 horas = 86 400 s = 5063.5 SQRT(r')3 SQRT(r')3 = 86 400/5063.5 = 17.0632 Si todos los números de la última línea son iguales, sus cuadrados son también iguales (r')3 = (17.0632)2 = 291.156 Ahora necesita una calculadora apta para calcular raíces cúbicas (o bien, la 1/3 = 0.333. . . potencia). Esto da r' = 6.628 del radio de la Tierra como la distancia de los satélites "sincronizados". Los satélites del sistema de posicionamiento global (GPS), mediante los cuales, con instrumentos de mano podemos saber la posición sobre el globo con una asombrosa precisión, están en órbitas de 12 horas. ¿Puede calcular su distancia?   Vuelo a Marte: ¿Cuánto durará? ¿Por dónde ir?     Usando la mecánica orbital desarrollada anteriormente, podemos ahora planear (con aproximaciones) una misión espacial a Marte. Asumiendo que tenemos el propulsor y la nave, ¿como deberían ser dirigidos, y cuánto tiempo llevaría el vuelo?.     Como aproximación, supongamos que la órbita de la Tierra y de Marte son ambas círculos en el mismo plano, centradas en el Sol. El radio de la órbita terrestre, indicado por r1, es de alrededor de 150.000.000 kilómetros, una distancia conocida comounidad astronómica (UA). Es una unidad conveniente para medir distancias en el sistema solar y fue usada en la sección #10 sobre las leyes de Kepler. Como en esa sección, aquí tambien todas las distancias serán medidas en UA y los tiempos en años. Con tales unidades, para r1 de la Tierra = 1 UA y el período orbital es T1 = 1 año. Para Marte (subíndice 2), r2 = 1,523691, T2 = 1,8822.     Nota: Todas las cantidades en esta sección y en la siguiente son, o bien no-vectores, o magnitudes de vectores. Cuando una cantidad está en negrita, es solamente por claridad y no lleva ninguna connotación de que sea un vector. Cómo no ir La Tierra y Marte en su situación más próxima.     Aquellos que no están familiarizados con órbitas podrían pensar que la mejor manera de llegar a Marte desde la Tierra es esperar a que los dos planetas estén cerca uno del otro (como muestra la figura), luego dirigir el cohete hacia Marte y lanzarlo. Así es como supuestamente se hace en "La Guerra de los Mundos" por H.G. Wells, aunque en esa historia se usa un cañón gigante, no un cohete, y el disparo va en la dirección opuesta, es decir, de Marte a la Tierra. Eso no funcionaría (en ninguna dirección) por varias razones.     Primero, la gravedad de la Tierra doblaría la trayectoria de cualquier nave espacial lanzada desde aquí. Para quitar ese factor, asumamos que el cohete ha sido ya ubicado en una órbita distante alrededor de la tierra, donde la gravedad de la Tierra es débil y el movimiento orbital lento, permitiendo que sean despreciables. En la planificación real de la órbita deberían tomarse en cuenta como una corrección.     Aún así, ese cohete está orbitando el Sol junto con la Tierra, a la cual sigue ligeramente unido, moviéndose a aproximadamente 30 km/seg, una velocidad que escribiremos como V0. Esta es mucho más rápida que la que necesitamos para alcanzar la órbita de Marte (¡o que la que se puede alcanzar fácilmente con los cohetes!). Si arrancamos los motores cuando Marte está más cerca (figura), V0 es transversal a la dirección del objetivo, de modo que la nave espacial arrancará en una dirección bastante diferente a la que apunta a Marte (suma de vectores) y es seguro que Marte se habrá movido mucho, antes de que ésta (la nave) haya cubierto la distancia intermedia.Esta es la segunda razón.     La tercera razón es que el sistema entero está dominado por la gravedad del Sol. Todos los objetos viajan en órbitas o trayectorias, las cuales, por las leyes de Kepler, son parte de secciones cónicas, elipses en este caso. En general, éstas trayectorias están curvadas. Órbita de transferencia     Por lo tanto, en lugar de "apuntar y disparar", es mejor buscar una órbita que lleve la nave espacial de la Tierra a Marte, y decidir el lanzamiento cuando la llegada a la órbita de Marte coincida con el arribo de Marte a la misma ubicación. La órbita de transferencia de Hohmann     Además, la dirección en la cual la nave espacial se mueva cuando llegue a Marte, debería facilitar la igualación de su velocidad con la de Marte. Esto nos lleva a la llamada Elipse de Transferencia de Hohmann (u órbita de transferencia), presentada por primera vez en 1925 por el Ingeniero alemán Wolfgang Hohmann. Esto es, una elipse con perihelio P (el punto más cercano al sol) en la órbita de la Tierra, y un afelio A (punto más distante del Sol) en la órbita de Marte (figura). Una elipse de transferencia similar, entre la órbita baja de la Tierra (digamos, r = 1,1 RE = 1,1 veces el radio de la Tierra) y la órbita sincrónica a 6,6 RE (ver sección #21a) es usada frecuentemente para inyectarsatélites de comunicación en sus órbitas finales. Nosotros lanzamos desde P, dándole al cohete una velocidad adicional además de V0, inyectándolo así en la elipse más grande.     Marte debería estar en una posición tal, relativa a la Tierra en el momento del lanzamiento, que alcanzase el punto A al mismo tiempo que la nave espacial. Para determinar esa posición necesitamos saber la duración del vuelo desde P hasta A, y ésta se deduce más abajo, usando la 3ª ley de Kepler. 3ª Ley de Kepler     La 3ª ley de Kepler usada aquí tiene la misma forma que en la Sección #10. Para mantener la unidad, esa forma la deducimos nuevamente más abajo. La ley afirma que, para todos los objetos que orbitan el Sol, se cumple que: T2 / a3 = constante     donde T es el período orbital y a es el semieje mayor, la mitad del diámetro mayor de la elipse orbital (a=r en órbitas circulares). La constante es la misma para todos los objetos orbitando el Sol, incluyendo por supuesto la Tierra. Su valor exacto depende de la unidad en la cual midamos T y a. Ese valor resulta ser muy simple si T se mide en años, y a en UA (como hemos hecho aquí). Insertando la ecuación de la 3er ley el valor para la Tierra da T = 1 (año)                     a = 1 (AU)     en nuestras unidades, entonces T2 / a3 = 1     Consecuentemente, en estas unidades la constante también iguala a 1, y el valor puede ser usado para cualquier planeta. Multiplicando ambos lados de la ecuación por a3 (segunda ley del álgebra) T2 = a3     Esto también se mantiene para cualquier órbita alrededor del Sol, incluyendo la de una nave espacial en una elipse de transferencia. La longitud de esa elipse es, en UA, r1 + r2   =   1 + 1,523691   =   2,523691 UA     Ese es el eje mayor de la elipse orbital, y la mitad de su longitud iguala al semieje mayor a . Por lo tanto a = 1,261845                         a3   =   2,00918   =   T2     Tomando la raíz cuadrada T   =   1,417454 años La Tierra y Marte en el     momento del lanzamiento     Ese es el tiempo para ir desde P hasta A y volver a P. El tiempo de viaje hasta Marte es la mitad de eso, es decir 0,70873 años o aproximadamente 8,5 meses. Ubicación de Marte     ¿Dónde debería estar Marte en el momento del lanzamiento? De acuerdo a las cifras mencionadas al comienzo de esta sección, Marte tarda 1,8822 años para completar una órbita de 360° Por lo tanto, suponiendo una órbita circular y movimiento uniforme (una aproximación que es menos exacta para Marte que para la Tierra), en 0,70873 años debería cubrir 360° * (0,70886 / 1,88) = 135,555°     Por lo tanto, lanzaríamos cuando Marte en su órbita estuviera a 135,555° de distancia del punto A (dibujo).     En la próxima sección se calcula la velocidad que debe impartirse al cohete en el punto P para producir la órbita de transferencia, y el cambio de velocidad requerido en el punto A para igualar la velocidad de Marte. Este cálculo es más largo y requiere algo de álgebra.