Astronomía

Gráficas y Elipses

Las leyes del movimiento orbital son matemáticas y no podemos explorarlas sin  algún conocimiento de las mismas. Lasque utilizamos aquí son bastante elementales. Si necesita repasarlas pulse aquí. También puede saltarse las ecuaciones y seguir la narración.  Descripción Matemática de una Curva  Como ya se ha dicho, el sistema cartesiano designa a cualquier punto en el plano (p. ej. sobre una hoja de papel) con un par de números (x,y) que son las distancias a dos ejes perpendiculares. Esos números se conocen como "coordenadas" del punto.

Una línea en el plano, recta o curva, contiene muchos puntos, cada uno con sus propias coordenadas (x,y). Con frecuencia existe unafórmula ("ecuación") que relaciona x e y: por ejemplo, la línea recta tiene la relación y = ax + b  donde con cualquier par de números (a,b), positivos, negativos o cero, se obtiene como resultado una línea recta. Otras relaciones más complicadas dan lugar a curvas. El trazado de una línea dado por tales relaciones (ó por cualquier relación, hasta una simple observación, p.e. la temperatura en el tiempo--se conoce como una gráfica. Relaciones más complicadas dan gráficas que son curvas:  por ejemplo y = ax2

es una parábola, siendo a cualquier número. Normalmente y está aislada (aunque no siempre), entonces la fórmula tiene la forma y = f(x) donde  f (x) simboliza "cualquier expresión que implique a x" o, en términos matemáticos, una "función de x". Las curvas dibujadas aquí son la línea recta y= -(2/3)x + 2 y la parábola y = x2. A continuación va una lista de algunos de sus puntos. Línea recta:

x	-1	0	1	2	3	4
y	8/3	2	4/3	2/3	0	-2/3

Parábola:

x	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
y	4	2.25	1	0.25	0	0.25	1	2.25	4

La ecuación del Círculo En la mayoría de las gráficas generadas por fórmulas, la formula está dado en la forma y = f(x) Tal forma hace muy facil encontrar los puntos en la gráfica. Todo lo que hay que hacer es elegir x, calcular f(x) (= alguna expresión dada que implique a x) y tendremos el valor correspondiente de y. Sin embargo, cualquier ecuación concerniente a x e y puede ser usada como la propiedad compartida por todos los puntos de la gráfica. La diferencia principal es que en ecuaciones más complicadas, después de elegir la x, encontrar la y correspondiente requiere trabajo extra, ( y algunas veces es más fácil elegir la y y encontrar la x).  Quizá la gráfica más conocida de este tipo es el círculo de radio R, cuya ecuación es

x2  +  y2  =   R2 Dibujar un círculo de radio R centrado en el origen O de un sistema de ejes (x,y). Determinado algún punto P en el círculo con los valores especificados de (x,y), dibujar una línea perpendicular desde P hasta el punto A en el eje de las x. Luego

x = OA        y = AP       R = OP

Aquí x y/o y pueden ser negativas, si están hacia la izquierda del eje de las y o por debajo del eje de las x, pero a pesar del signo, x2 ey2 son ambas siempre positivas. Puesto que el triángulo OAP tiene un ángulo de 90°, por el  teorema de Pitágoras, para cualquier elección de P, la relación de abajo siempre contiene: OA2  +  AP2  =   OP2 También se puede escribir x2  +  y2  =   R2 La ecuación del círculo es cumplida por cualquier punto localizado en el. Por ejemplo, si la gráfica está definida por la ecuación:     x2  +  y2  =   25 esta ecuación se cumple por todos los puntos listados abajo:

x	5	4	3	0	-3	-4	-5	-4	-3	0	3	4	( 5 )
y	0	3	4	5	4	3	0	-3	-4	-5	-4	-3	( 0 )

  
 

La Ecuación de una Elipse La ecuación del círculo aún expresa la misma relación si ambos lados se dividen por R2: (x2/R2)  +  (y2/R2) =   1 La ecuación de una elipse es esa misma con una pequeña modificación:     (x2/a2)  +  (y2/b2) =   1 donde (a,b) son dos números dados, por ejemplo (8,4). ¿Cual será la gráfica de esa ecuación? Cerca del eje x y es muy pequeña y la ecuación se acerca casi a (x2/a2)  =   1 De donde

x2 = a2 y por lo tanto x = a ó x = -a   (a veces combinado con x = ±a)

La gráfica en esas cercanías se asemeja a la sección de un círculo de radio a, cuya ecuación (x2/a2)  +  (y2/a2)  =   1 en esta región también está cercana a x2 = a2. De la misma forma  puede observar que cerca del eje de las y, donde x es pequeña, la gráfica corta el eje en y=±b y su figura aparenta la de un círculo de radio b.   Un ejemplo Déjenme dibujar la elipse (x2/64)  +  (y2/16)  =   1 Ya sabemos que corta los ejes en  x=±8 y en y=±4. Déjenme ahora añadir algunos pocos puntos:

(1)   Escoger y = 2 . Luego de la ecuación

(x2/64)  +  (4/16)  =   1 Restar 1/4 en ambos lados (x2/64)  =3/4 Extraigan la raíz cuadrada (indicada aquí por las letras √) y obtenga solo 3-4 decimales: x/8 = √(3)/√(4) = 1.732/2 = 0.866  de la cual x = 6.93 con una exactitud razonable.

(2)   Escoger y = 3 . Luego de la ecuación

(x2/64)  +  (9/16)  =   1 Restar 9/16 en ambos lados (x2/64)  =7/16 Extraigan la raíz cuadrada (hasta una precisión de 3-4 decimales): x/8 = √(7)/√(16) = 2.6457/4 = 0.6674  de la cual, aproximadamente, x = 5.29  De nuevo, x e y pueden ser de cualquier signo. Obtenemos 12 puntos, suficientes para una gráfica tosca:

 

x	8	6.93	5.29	0	-5.29	-6.93	&nbbsp; -8	--6.93	-5.29	0	5.29	6.93	( 8 )
y	0	2	3	4	3	3	0	-2	-3	-4	-3	-2	( 0 )

  
 

Visión Diferente de la Elipse

La serie de todos los puntos para los  que R1 + R2 tienen el mismo valor  es una elipse

La elipse era ya muy familiar para los antiguos científicos griegos (que se denominaban "filósofos", amantes de la sabiduría), pero ellos la definían de otra manera. Para ellos la elipse era la serie de todos los puntos (en el plano) para los que la suma de las distancias R1 + R2 desde dos puntos dados era la misma (vea el dibujo). Era una extensión natural de la definición de un círculo, que es la serie de todos los puntos a la misma distancia (el radio R) de un punto dado (el centro). Un punto define el círculo, dos la elipse.

Los dos puntos son denominados los focos de la elipse, y son importantes aquí porque Kepler descubrió que el Sol siempre ocupa un foco de la elipse orbital, no el centro, como se podría pensar, p.e. el origen, donde la elipse está determinada por su ecuación en un sistema de ejes perpendiculares (x,y). (x2/a2)  +  (y2/b2)  =   1 Los focos están siempre localizados a lo largo de uno de los dos ejes simétricos de la elipse, los ejes (x,y) cuando se usa la ecuación superior, el eje mayor de la elipse. Si a es mayor que b, el eje mayor se sitúa al lo largo del eje de las x, y  lo decimos para mostrar que en este caso R1 + R2 = 2a [Pista: Haga un croquis de la elipse y los ejes que la definen, marque uno de los puntos donde cruza el eje de las x y analice R1 y R2de este punto]. El valor de a en una órbita elíptica se conoce en astronomía como el eje semi-mayor y está considerado como uno de los seis elementos orbitales  que definen el movimiento de acuerdo a las leyes de Kepler.   Murmullos en el Capitolio de los EE.UU. Los focos de una elipse tienen una propiedad interesante. Un elipsoide de revolución es una figura tridimensional obtenida rotando una elipse alrededor de uno de sus ejes. Si se hace una elipsoide hueca de esta figura y se platea su interior como si fuera un espejo, y si una fuente luminosa se coloca en uno de sus focos, todos sus rayos convergirán en el otro foco. Aunque solo se platee una parte del elipsoide, toda la luz que llega a esa parte se concentrará en el otro foco. Las ondas sonoras también pueden comportarse como la luz. La cámara del Capitolio de Washington en la que la Cámara de Representantes acostumbran a reunirse tiene un techo de la forma de un cuadrante (mitad de la mitad) de un elipsoide, con sus focos cerca del suelo. Se hizo por razones arquitectónicas, hace unos 200 años, pero permite a una persona en un foco lograr oir a cualquiera hablando en el otro foco, hasta murmullos. Supuestamente, Daniel Webster se sentaba en uno de estos lugares y hacía buen uso de su carácter especial.  Hoy en día la Cámara de Representantes tiene muchos más miembros, usan cámaras mayores y su antigua sala de reuniones es un museo que exhibe estatuas de americanos distinguidos. Cada año varios miles de visitantes son guiados s través de la cámara. En algún momento durante su visita, se reúnen en ó cerca de un foco, identificado por una marca de bronce en el suelo, para escuchar los murmullos de su guía que está en el otro foco. Por cierto, un cuadro muy conocido de esta cámara, con las caras de sus ocupantes claramente identificables, fue hecha por Samuel Morse, el artista que también inventó el telégrafo eléctrico. Una copia de este cuadro y su historia se muestran en la sala. Conceptos relacionados a la elipse Vértices: Los vértices son los puntos de la elipse más alejados del centro Eje mayor: Es la recta que se traza entre los vértices con la caracteristica que contiene ambos focos.  Eje menor: Es la recta que pasa por el centro de la elipse y corta el eje mayor de forma perpendicular. Punto Centro Es el punto donde se cortan el eje mayor y el eje menor  Foco Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante.  La elipse es una curva simétrica con respecto al origen, es decir posee simetría con respectos al eje X y al eje Y a la vez. Por esta razón la medida del eje mayor es $2a$. Observa que se puede concluir que la distancia del centro a cualquier vértices es $a$. Si $c$ representa la distancia que hay de un foco al centro, tenemos que la distancia entre los focos es igual a $2c$. Asi mismo, sí denotamos $b$ como la medida del semieje menor, se obtiene que la distancia del eje menor es $2b$.  Existe una relación entre las tres constantes $a$, $b$ y $c$, que a partir del teorema de Pitágoras está dada por la fórmula: $a^2$ = b2 + c2 De donde, despejando cada valor, se obtiene: $a=\sqrt{}$ b2 + c2  $b=\sqrt{}$ a2 - c2  $c=\sqrt{}$ a2 - b2  Elipse Horizontal: Si el eje mayor coincide con el eje X o es paralelo a este, la elipse es horizontal. Elipse Vértical: Si el eje mayor coincide con el eje Y o es paralelo a este, la elipse es vértical. Algunas propiedades importantes Si la elipse es horizontal centrada en el origen: Vértices $V=(-a,0)$ y $V\text{'}=(a,0)$ Focos $F=(-c,0)$ y $F\text{'}=(c,0)$ Corte con el eje Y $(0,-b)$ y $(0,b)$ Si la elipse es Vértical centrada en el origen: Vértices $V=(0,-a)$ y $V\text{'}=(0,a)$ Focos $F=(0,-c)$ y $F\text{'}=(0,c)$ Corte con el eje X $(-b,0)$ y $(b,0)$ Excentricidad Excentricidad Excéntrico en este caso significa fuera del centro. Se refiere a qué tan lejos del centro de la elipse se encuentran los focos en proporción al tamaño de dicha elipse. Para comprender mejor este concepto basta darse cuenta que en una elipse, mientras más se alejen los focos del centro, la forma de dicha elipse es más alargada. En el caso contrario cuando los focos se acercan al centro, es decir, si el valor de $c$ se hace más pequeño, la elipse se aproxima a una circunferencia, y finalmente, cuando los focos coinciden con el centro, o sea que $c=0$ , la elipse se convierte en una circunferencia. La excentricidad se denota con la letra $e$ y su valor se mide a través de la razón: $e=$ c a Donde $0\le e<1$ Por ejemplo: Nota curiosa: Sabias que!!! la excentricidad de la órbita de la Tierra es muy pequeña, de manera que la órbita es casi circular.  La excentricidad orbital de la Tierra es menor a $0.2$. Mientras que la órbita de Plutón es cercana a $0.25$. Muchos cometas tienen órbitas extremadamente excéntricas.  Por ejemplo, el cometa Halley tiene una excentricidad orbital de casi $0.97$. Ecuación de una elipse Veamos como surge la ecuación de una elipse Consideremos la elipse cuyo centro es el origen (0 , 0). Por lo tanto: $F=(-c,0)$ y $F\text{'}=(c,0)$. Si $P=(x,y)$ es un punto que pertenece a la elipse se cumple que: $PF$ $+$ $\mathrm{PF}\text{'}$ $=$ $2a$ $\sqrt{(x+c}$ )2 +(y-0 )2 $+$ $\sqrt{(x-c}$ )2 +(y-0 )2 $=$ $2a$    (1) Partiendo de (1) tenemos que: $\sqrt{(x+c}$ )2 + y2 $=$ $2a-\sqrt{(x-c}$ )2 + y2 $(\sqrt{(x+c}$ )2 + y2 )2 $=$ $(2a-\sqrt{(x-c}$ )2 + y2 )2 $(x+c$ )2 + y2 $=$ $4$ a2 -4a(x-c )2 + y2 +(x-c )2 + y2 $x^2$ +2cx+ c2 + y2 $=$ $4$ a2 -4a(x-c )2 + y2 + x2 -2cx+ c2 + y2 $4a\sqrt{(x-c}$ )2 + y2 $=$ $4$ a2 + x2 -2cx+ c2 + y2 - x2 -2cx- c2 - y2 $4a\sqrt{(x-c}$ )2 + y2 $=$ $4$ a2 -4cx $(4a\sqrt{(x-c}$ )2 + y2 )2 $=$ $(4$ a2 -4cx )2 $16$ a2 ((x-c )2 + y2 )2 $=$ $16$ a4 -32 a2 cx+16 c2 x2 $16$ a2 ((x-c )2 + y2 ) $=$ $16($ a4 -2 a2 cx+ c2 x2 ) $16$ a2 ( x2 -2cx+ c2 + y2 ) $=$ $16($ a4 -2 a2 cx+ c2 x2 ) $a^2$ x2 -2 a2 cx+ a2 c2 + a2 y2 $=$ $a^4$ -2 a2 cx+ c2 x2 $a^2$ x2 -2 a2 cx+ a2 y2 +2 a2 cx- c2 x2 $=$ $a^4$ - a2 c2 $a^2$ x2 + a2 y2 - c2 x2 $=$ $a^4$ - a2 c2 $x^2$ ( a2 - c2 )+ a2 y2 $=$ $a^2$ ( a2 - c2 ) $x^2$ b2 + a2 y2 $=$ $a^2$ b2 $\frac{x^2}{}$ b2 a2 b2 + a2 y2 a2 b2 $=$ $\frac{a^2}{}$ b2 a2 b2 $\frac{x^2}{}$ a2 + y2 b2 $=$ $1$ Por lo tanto $\frac{x^2}{}$ a2 + y2 b2 =1, corresponde a la ecuación canónica de la elipse, donde $a>0$ y $b>0$  Elipse:Lugar geométrico de los puntos del plano o conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante igual a 2A, siendo A la semilongitud del eje mayor.