Astronomía

Las Elipses y la 1ª Ley de Kepler

Como se ha dicho anteriormente, existen otros caminos para fijar los puntos en un plano. Por ejemplo, un punto P puede ser fijado mediante su distancia r al punto central O ("origen") y el ángulo φ (ó f griega), donde la línea OP produce una dirección determinada. Tales "coordenadas polares" (figura de la izquierda, abajo) son las mejores para describir el movimiento planetario.  La Elipse en Coordenadas Polares  De nuevo, si todos los valores de (r,φ) en la curva están relacionados mediante alguna ecuación, se puede escribir de forma simbólica  r = r(φ) donde la función r(φ) se dice que es la ecuación de la línea en coordenadas polares. La función más simple es un número constante aobteniéndose la línea r = a El valor de r es igual a a para cualquier valor de φ. Se obtiene el círculo alrededor del origen, con el radio igual a a, mostrado en el dibujo de la derecha.    La Elipse Considérese seguidamente la curva cuya ecuación es  r = a(1- e2)/(1+ e cos φ) donde la excentricidad e es un número entre 0 y 1. Si e = 0 será, claramente, el círculo hallado anteriormente. ¿Y los otros valores? La función cos φ representa un comportamiento como onda (dibujo inferior) y como φcos φ = -1 . Aquí se muestra la tabla de los valores principales (360 está entre paréntesis, porque representa la misma dirección que los 0 grados):

φen grados	0	90	180	270	(360)
cos φ	1	0	-1	0	1
1 + cos φ	1 + e	1	1 - e	1	1 + e

Mientras e sea menor que1, el denominador será siempre positivo. Nunca es cero, así que para cualquier φ que se designe, se puede siempre encontrar una  r adecuada. En otras palabras, la curva va por completo alrededor del origen, es cerrada. La expresión (1 - e2) se puede separar en factores, o sea, se puede escribir como dos expresiones multiplicadas entre si ("el producto de dos expresiones"). Como se plantea en la sección sobre identidades algebraicas  1 - e2= (1 - e)(1 + e) En alguno de los puntos de la tabla inferior, una de las expresiones anula el denominador, dando:

φen grados	0	90	180	270	(360)
r	a(1 - e)	a(1 - e2)	a(1 + e)	a(1 - e2)	a(1 - e)

La distancia de la línea desde el origen, de ese modo, fluctúa entre a(1-e) y    a(1+e) y el resultado es un círculo achatado ó elipse; el punto O (el origen) es su foco. Todas las órbitas planetarias se asemejan a elipses, cada una con su propio valor de e ó excentricidad: la e menor corresponde a la forma más cercana al círculo. La órbita de la Tierra es muy cercana a la forma circular, con una e =0.0168 y los otros planetas mayores (excepto Plutón) tienen excentricidades parecidas; si ve un dibujo a escala de esas órbitas en una hoja de papel, su vista no es capaz de distinguir que no es un círculo. La órbita del cometa Halley, por otro lado, tiene una e cercana a 1.

La serie de todos los puntos para  los cuales R1 + R2 tienen el mismo valor es una elipse

Como se mencionó en la sección precedente un segundo foco O' puede ser dibujado simétrico a O, y la elipse puede definirse (su definición original, de hecho)como la serie de puntos para los cuales la suma de R1+R2 de sus distancias a O y O' es siempre la misma.La mayor dimensión de la elipse, su anchura AB a lo largo de la línea que conecta los dos focos, es su "eje mayor". Suponga que (R1,R2) son las distancias de A desde los focos O y O'. Entonces R1 = OA = a(1 - e) es la menor distancia de la elipse desde O, R2 = O'A = OB (por simetría) es la más larga y por lo tanto igual a (1 + e). Pero OA + OB = AB, así pues

AB = a(1 - e) + a(1 + e) = 2a

Por ello la cifra a en la ecuación de la elipse se conoce como eje semi-mayor. Ahora podemos establecer la ley de Kepler de forma más precisa diciendo que "el cuadrado del periodo orbital T es proporcional al cubo del eje semi-mayor de su órbita alrededor del Sol." Las dos cantidades (a,e) definen completamente la elipse. Cuando esa elipse es la órbita de un planeta o satélite, forman dos de los seis elementos orbitales  que definen  la condición de cuerpo orbitante. Un tercer elemento, la anomalía media, especifica la posición del planeta o satélite a lo largo de la órbita y las tres restantes definen la orientación de la órbita en el espacio tridimensional. Se puede encontrar más sobre los elementos orbitales en la sección (12a) Refinando la Primera Ley La primera ley de Kepler es: "La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en un foco" Normalmente, esto no es exacto al 100%. Imagine el planeta haciéndose más y más pesado de forma mágica, mientras que el Sol se hace más y más ligero. En algún punto ambos serán igual de pesados: ¿podemos decir cual orbita alrededor de cual? Para ser completamente exacta, la primera ley debería colocar el foco de la elipse orbital en el centro de gravedad del sistema Sol-planeta. (El centro de gravedad se definirá más tarde, pero por intuición, si las masas son muy desiguales, como entre un planeta y el Sol, se sitúa cerca del centro del objeto más pesado). Como el Sol es mucho más pesado que Marte, el efecto en la órbita de Marte (que estudió Kepler) es muy pequeña para que él lo notase. No obstante, el Sol también se mueve en respuesta a los movimientos de sus planetas y los movimientos de este tipo se han convertido en una herramienta importante en la búsqueda de planetas en el exterior del sistema solar. Un planeta del tamaño de la Tierra orbitando a una estrella distante estará lejos y oscuro par ser visto con cualquier telescopio terrestre, especialmente contra el resplandor de su sol, la misma estrella. Sin embargo, cuando el planeta va alrededor de su órbita, su estrella también se mueve en una órbita refleja exacta alrededor del centro de gravedad común. Es una órbita mucho menor y con un movimiento mucho más lento, porque el centro de gravedad está muy cercano al centro de dicha estrella (en el sistema Tierra-Sol, está dentro del Sol), pero puede ser detectado mediante las sutiles variaciones de la luz de la estrella. Recientemente se han encontrado algunos de dichos planetas, pero la mayoría son del tamaño de Jupiter y no parecen adecuados para la vida. La búsqueda, sin embargo, continúa y el descubrimiento más reciente (15 de Abril de 1999) ha sido el sistema de epsilon Andrómeda que aparenta contener como mínimo 3 planetas. Los cuerpos del sistema solar se pueden mover también en otras secciones cónicas, en parábolas ó hipérbolas, cuyas ecuaciones se asemejan a las de la elipse, pero tienen una e igual ó mayor que 1 . Estos cuerpos no están ligados al Sol y son libres de escapar de él. El denominador en la ecuación de la trayectoria r = a(1 - e2)/(1 + e cos φ) se hace cero para algunos valores de φ, haciendo r  infinito y cuando el objeto móvil se acerca a esos valores se mueve más y más lejos, sin límite. Los cometas tienen, en general, una excentricidad e  cercana a 1, sugiriendo que vienen de confines muy distantes del sistema solar. La sonda espacial Voyager 2 tiene una  e > 1, está en camino fuera del sistema solar y nunca regresará. Primera Ley de Kepler: Todos los planetas describen órbitas Elípticas alrededor del Sol, de modo que el astro se ubica en uno de los focos. Diagrama que muestra las órbitas elípticas de algunos objectos del sistema solar. Haz "click" en la imagen para una vista completa Related links: Tabla de datos orbitales de los planetas 1ra. ley: Las órbitas son elípticas Con las observaciones de Tycho Brahe, Kepler se decidió en determinar si las trayectorias de los planetas se podrían describir con una curva. Por ensayo y error, descubrió que una elipse con el Sun en un foco podría describir acertadamente la órbita de un planeta sobre el Sol. Fundamentalmente, las elipses son descritas por la longitud de sus dos ejes. Un círculo tiene el mismo diámetro si se le mide a lo ancho, hacia arriba y hacia abajo. Pero una elipse tiene diámetros de diversas longitudes. El más largo se llama el eje mayor, y el más corto es el eje menor. El radio de estas dos longitudes determina la excentricidad (e) de la elipse; mide cuán elíptica es. Los círculos tienen e=0, y las elipses muy estiradas hacia fuera tienen una excentricidad casi igual a 1. Los planetas se mueven en elipses, pero son casi circulares. Los cometas son un buen ejemplo de objetos en nuestro Sistema Solar que pueden tener órbitas muy elípticas. Compare las excentricidades y las órbitas de los objetos que aparecen en en el diagrama. Una vez que Kepler determinó que los planetas se mueven alrededor del Sol en elipses, entonces descubrió otro hecho interesante sobre las velocidades de planetas a medida que circundan al Sol.  PRIMERA LEY DE KEPLER Los planetas describen órbitas elípticas con el sol situado en uno de sus focos. Al enunciar esta Ley, Kepler describió la forma exacta del camino recorrido por los planetas. Años más tarde, Newton demostró que esa trayectoria es la que describen los cuerpos cuando están sometidos a una fuerza central gravitatoria.  Con estos conocimientos se puede predecir el futuro: si conoces donde está un planeta y por donde va a moverse, podrás saber con seguridad donde estará en el futuro. Existen otro tipo de órbitas para los cuerpos celestes, como las órbitas parábolicas e hiperbólicas que describen algunos asteriodes cuando se aproximan con demasiada velocidad a la tierra y no son atrapados por ella. Los planetas que giran alrededor del Sol tienen órbitas que se apartan de la elipse perfecta porque están influídos por la atracción de unos sobre otros y no sólo por la atracción del Sol. Asociar la trayectoria de un planeta a una forma geométrica, observándolo desde la Tierra, no es una tarea fácil. Al observarlo también nos movemos nosotros y no estamos en el centro de su trayectoria ni en el mismo plano. Si la trayectoria no se describe desde un sistema de referencia apropiado (foco, centro de giro) las trayectorias son figuras complicadas: piensa en la forma de la trayectoria de la Luna vista desde el Sol e intenta dibujarla.LA ELIPSE: UNA CURVA MUY ESPECIAL El griego Menecmo ha sido el primer matemático que estudió las cónicas. Cortando con un plano el cono podemos obtener las cónicas: elipse, circunferencia, hipérbola y parábola. El Cono La línea OX es el eje. El vértice es el punto X. La generatriz es la línea que va del vértice a la circunferencia de la base. Si cortamos el cono con un plano paralelo a la base obtenemos una circunferencia (C). Si el plano es paralelo a la generatriz, se obtiene una parábola (P). Con un corte menos oblicuo obtenemos una elipse (E), y si es más oblicuo una hipérbola (H). CARACTERÍSTICAS DE LAS ELIPSES La elIpse no es una curva cualquiera, tiene unas características muy específicas: 1.- La suma de las distancias de cualquier punto (X) de la curva a los focos es constante: XF + XF´=2·a 2.- El semieje mayor (a) es igual a la distancia media (media aritmética) de un planeta al foco (la media de la distancia máxima y la mínima). La distancia media se da exactamente cuando el planeta está en P, a medio camino entre el Afelio y el Perihelio. R1+ R2=2·a; por tanto : a=(R1+ R2)/2 3.- El semieje menor (b) es la media geométrica de la distancia máxima y mínima: b=raiz cuadr.de (R1·R2) 4.- La excentricidad (e) indica la proporción en que se aparta de una circunferencia. Si el foco está en el cruce de los ejes e=0. En general e=c/ a. ("c" es la distancia de los focos al centro de la elipse). ¿Cuánto vale la excentricidad de la circunferencia? 5.- Otras relaciones que conducen al cálculo de la ecuación de la elipse son: a2=b2+c2 R1- R2=2 c R1=a + c Ecuación cartesiana: Ecuación en c. polares: d es función de ( m, M, L,..)