domingo, 16 de agosto de 2015

Ejerccios Resueltos de Cinemática


Lanzamiento oblicuo y alcance máximo 

¿Que inclinación debe tener a un cañón que dispara un proyectil a la velocidad de 600 m/s para que caiga en un punto situado a 30 km del cañón?


SOLUCIÓN

El alcance máximo en un lanzamiento oblicuo (o tiro parabólico) viene dado por la expresión:
x_{max} = \frac{v_0^2sen\ 2\alpha}{g}

Basta con despejar:
sen\ 2\alpha = \frac{x_{max}\cdot g}{v_0^2}\ \to\ sen\ 2\alpha = \frac{3\cdot 10^4\ m\cdot 9,8\frac{m}{s^2}}{600^2\frac{m^2}{s^2}} = 0,82

El seno del ángulo doble es igual a 0,82. Haciendo la inversa tendremos que:
2\alpha = 55^\circ\ \to\ \bf \alpha = 27,5^\circ






Movimiento circular uniforme 

Si un motor tiene una frecuencia de giro de 8000 rpm determina:
a) ¿Cuál es la velocidad angular?
b) ¿Cuál es el periodo?



SOLUCIÓN

a) El dato que nos dan es la frecuencia del movimiento, es decir, el número de vueltas que da el motor por unidad de tiempo. Para expresarlo en unidades del Sistema Internacional debemos usar el segundo como unidad de tiempo. La velocidad angular es: \omega = 2\pi f
Vamos a hacer un cambio de unidades y luego calculamos la velocidad angular:
8000\frac{rev}{min}\cdot \frac{1\ min}{60\ s} = 133,33\frac{1}{s}
Ahora calculamos la velocidad angular:
\omega = 2\pi\cdot 133,33\ s^{-1} = \bf 837,76\ s^{-1}

b) El periodo se define como T = \frac{2\pi}{\omega}:
T = \frac{2\pi}{837,76\ s^{-1}} = \bf 1,25\cdot 10^{-4}\ s






Problema cinemática 

El vector de posición de una partícula es \vec r = 3(t^2+1)\ \vec i\ -\ 2t\vec j. Calcula: a) Los vectores de posición para los instantes 1 y 2 s. b) El vector desplazamiento y la distancia entre ambas posiciones. c) La velocidad de la partícula. d) ¿Qué tipo de movimiento es?


SOLUCIÓN

a) \bf \vec r_1 = 6\ \vec i\ -\ 2\vec j ; \bf \vec r_2 = 15\ \vec i\ -\ 4\vec j b) \bf \Delta \vec r = 9\vec i\ -\ 2\vec j ; d = 9,82 m c) \bf \vec v = 6t\vec i\ -\ 2\vec j d) Es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado


Problema cinemática 

Un niño lanza hacia arriba una pelota desde el balcón de su casa que está a una altura de 7 m. Sabiendo que la pelota sube durante 0,3 s, determina:
a) La velocidad con la que el niño lanza la pelota hacia arriba.
b) La altura máxima que alcanza la pelota.
c) El tiempo transcurrido hasta que la pelota toca el suelo.
d) La velocidad con la que la pelota llega al suelo.



SOLUCIÓN

a) \bf v_0 = 3\ m/s ; b) \bf h_{m\acute{a}x} = 7,46\ m ; c) \bf t = 1,54\ s ; d) \bf v = -12,10\ m/s




Problema cinemática 

El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones x = 4t, y = 2t - 2, en donde x e y se miden en metros y t, en segundos. Calcula:
a) La posición de la partícula en cualquier instante.
b) La posición en los instantes t = 0 y t = 2.
c) ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 segundos?
d) ¿A qué distancia del origen del sistema de referencia se encuentra la partícula en ese instante?



SOLUCIÓN

a) \bf \vec r = 4t\ \vec i + (2t-2)\ \vec j b) \bf \vec r_0 = -2\ \vec j ; \bf \vec r_2 = 8\ \vec i + 2\ \vec j c) \bf \vec r_5 = 20\ \vec i + 8\ \vec j d) \bf r_5 = 21,5\ m






Lanzamiento horizontal y alcance máximo 

Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad de 10 m/s desde la azotea de un edificio de 10 m de alto. ¿En qué punto cae el objeto?


SOLUCIÓN

En un lanzamiento horizontal, la velocidad en el eje X es constante y en el eje Y aumenta por acción de la gravedad.
El punto de impacto en la horizontal se calculará, por lo tanto, a partir de la ecuación de la velocidad para un movimiento rectilíneo uniforme:
x_{max} = v_x\cdot t_v, donde el tiempo que aparece es el tiempo de vuelo.
Para calcular el tiempo de vuelo debemos tomar en cuenta la altura desde la que se lanza el objeto. Éste estará "volando" hasta que llegue al suelo, es decir, cuando y = 0.
y = y_0 + v_{0y}\cdot t + \frac{1}{2}g\cdot t_v^2

En esta ecuación "y" será cero cuando el objeto deje de volar, la velocidad inicial en Y es cero porque el lanzamiento es horizontal y la altura inicial es 10 m (que los tomo negativos porque la gravedad, que va para abajo, la tomo positiva y entonces la altura debe ser negativa). Despejamos el tiempo:
t_v = \sqrt{\frac{2y_0}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10\ m}{9,8\frac{m}{s^2}} = 1,43\ s

Y ahora sólo tenemos que calcular el valor del alcance:
x_{max} = 10\frac{m}{s}\cdot 1,43\ s = \bf 14,3\ m




Periodo de giro del una hélice

La hélice de un ventilador gira con movimiento de rotación uniforme tal que un punto de los extremos tiene una rapidez tangencial de 31,4 cm/s. Si el radio de giro de estos puntos es de 20 cm, ¿cuál es el periodo de rotación de la hélice?


SOLUCIÓN

La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular según la ecuación v = \omega\cdot R. Despejando y sustituyendo:
\omega = \frac{v}{R} = \frac{31,4\ cm/s}{20\ cm} = 1,57\frac{rad}{s}

La frecuencia es:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1,57\ rad/s}{2\pi} = 0,25\ s^{-1}

El periodo es la inversa de la frecuencia:
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,25\ s^{-1}} = \bf 4\ s
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