domingo, 16 de agosto de 2015

Ejercicios Resueltos de Cinemática


Movimiento rectilíneo uniformemente retardado 

Un coche se mueve con una velocidad de 108 km/h. Después de haber presionado el freno, se mueve 30 metros más y finalmente se para. ¿Cuántos segundos ha tardado la frenada?


SOLUCIÓN

En primer lugar vamos a calcular la aceleración con la que frena el vehículo:
v^2 = v_0^2 + 2as\ \to\ a = - \frac{V_0^2}{2s} = \frac{900\ m^2/s^2}{60\ m} = - 15\ m/s^2

Ahora podemos determinar el tiempo que tarda en detenerse:
v = v_0 + at\ \to\ t = - \frac{v_0}{a} = - \frac{30\ m/s}{- 15\ m/s^2} = \bf 2\ s





Deducción de velocidad y posición a partir de aceleración 

La aceleración en un movimiento es igual a 3\ m/s^2, con 0 < t < 6. ¿Cuál es la expresión para la velocidad (v) y para el desplazamiento (x) en ese mismo intervalo de tiempo?



SOLUCIÓN

La aceleración es: a = \frac{v - v_0}{t}
Podemos despejar y tendremos:
v = v_0 + at\ \to\ \bf v = v_0 + 3t

Como la velocidad es: v = \frac{x - x_0}{t}
Volviendo a despejar: x = x_0 + vt
Pero "v" depende del tiempo, porque en la ecuación anterior así lo vimos. El objeto habrá ido variando su velocidad paulatinamente con el tiempo, así que vamos a tener que considerar su velocidad media: v_m = \frac{v + v_0}{2}
Hay que sustituir "v" por su valor medio:
x = x_0 + \frac{v + v_0}{2}\cdot t

Y ahora sustituimos "v" por su valor dependiente del tiempo:
x = x_0 + \frac{v_0 + 3t + v_0}{2}\cdot t = x_0 + \frac{2v_0 + 3t}{2}\cdot t

El resultado que obtenemos es:
\bf x = x_0 + v_0t + \frac{3}{2}\cdot t^2




Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 

Cuando el conductor acciona los frenos de una camioneta ligera que viaja a 40 km/h, ésta patina 3 m antes de detenerse. ¿Qué distancia patinará la camioneta si esta viajando a 80 km/h cuando se accionan los frenos?


SOLUCIÓN

Vamos a hacer el problema comparando expresiones. La ecuación que usaremos es la que relaciona la velocidad inicial y final con la aceleración y la distancia:
v^2 = v_0^2 + 2\cdot a\cdot d

En ambos casos la velocidad final es cero porque la camioneta se detiene (v = 0). Además la aceleración de los frenos será la misma. La aceleración será:
a = - \frac{v_0^2}{2s}\ \to\ a = - \frac{11,11^2\ m^2/s^2}{2\cdot 3\ m} = - 20,57\frac{m}{s^2}

Ahora podemos calcular la distancia en el caso de que la velocidad inicial sea el doble:
s = \frac{v_0^2}{2\cdot a} = - \frac{22,22^2\ m^2/s^2}{2\cdot 20,57\ m/s^2} = \bf 12\ m





Movimiento circular uniformemente variado 

Una rueda gira a 3000 rpm cuando se le aplican los frenos y se para en 30 s. Halla el número de vueltas que da hasta que se detiene. Si tiene un diámetro de 2 dm; calcula la aceleración lineal y el espacio lineal.



SOLUCIÓN

Vamos a usar las ecuaciones del movimiento circular uniformemente variado. Sabemos que la velocidad angular final es cero y el tiempo empleado para detenerse es 30 s:
\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t\ \to\ \alpha = - \frac{\omega_0}{t}

Expresamos la velocidad angular inicial en vueltas/s:
3000\frac{vueltas}{min}\cdot \frac{1\ min}{60\ s} = 50\frac{vueltas}{s}

Sustituimos en la ecuación para calcular la aceleración angular:
\alpha = - \frac{50\frqac{vuel}{s}}{30\ s} = - 1,67\frac{vuel}{s^2}

Ahora podemos calcular el número de vueltas:
\phi = \omega_0\cdot t + \frac{1}{2}\cdot \alpha\cdot t^2\ \to\ \phi = 50\frac{vuel}{s}\cdot 30\ s - \frac{1,67}{2}\frac{vuel}{s^2}\cdot 30^2\ s^2 = \bf 748,5\ vueltas

Si el diámetro es 2 dm quiere decir que el radio es la mitad, es decir, 1 dm = 0,1 m. Para calcular las magnitudes lineales basta con tener en cuenta el valor del radio:
a = \alpha\cdot R = - 1,67\frac{vuel}{s^2}\cdot \frac{2\pi}{1\ vuel}\cdot 0,1\ m = \bf - 1,05\frac{m}{s^2}

L = \phi\cdot R = 748,5\ vueltas\cdot \frac{2\pi}{1\ vuelta}\cdot 0,1\ m = \bf 470,3\ m









Lanzamiento horizontal y alcance máximo 

Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad de 10 m/s desde la azotea de un edificio de 10 m de alto. ¿En qué punto cae el objeto?



SOLUCIÓN

En un lanzamiento horizontal, la velocidad en el eje X es constante y en el eje Y aumenta por acción de la gravedad.
El punto de impacto en la horizontal se calculará, por lo tanto, a partir de la ecuación de la velocidad para un movimiento rectilíneo uniforme:
x_{max} = v_x\cdot t_v, donde el tiempo que aparece es el tiempo de vuelo.
Para calcular el tiempo de vuelo debemos tomar en cuenta la altura desde la que se lanza el objeto. Éste estará "volando" hasta que llegue al suelo, es decir, cuando y = 0.
y = y_0 + v_{0y}\cdot t + \frac{1}{2}g\cdot t_v^2

En esta ecuación "y" será cero cuando el objeto deje de volar, la velocidad inicial en Y es cero porque el lanzamiento es horizontal y la altura inicial es 10 m (que los tomo negativos porque la gravedad, que va para abajo, la tomo positiva y entonces la altura debe ser negativa). Despejamos el tiempo:
t_v = \sqrt{\frac{2y_0}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10\ m}{9,8\frac{m}{s^2}} = 1,43\ s

Y ahora sólo tenemos que calcular el valor del alcance:
x_{max} = 10\frac{m}{s}\cdot 1,43\ s = \bf 14,3\ m
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