domingo, 2 de agosto de 2015

Geometría diferencial

Espinores

Un campo espinorial es un tipo de campo físico que generaliza los conceptos de campos vectoriales y tensoriales. Si un campo tensorial es un tipo de representación lineal del grupo de Lorentz \mathcal{L}, un campo espinorial es una representación de su recubridor universal, el grupo lineal especial SL(2,\mathbb{C}).- .......................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=49c3a9eb9e02c5d6caa81b5021373d0a3a352e5c&writer=rdf2latex&return_to=Campo+espinorial

La teoría cuántica de campos es una disciplina de la física que aplica los principios de la mecánica cuántica a los sistemas clásicos de campos continuos, por ejemplo, el campo electromagnético. Una consecuencia inmediata de esta teoría es que el comportamiento cuántico de un campo continuo es equivalente al de un sistema de partículas cuyo número no es constante, es decir, que pueden crearse o destruirse. También se la denomina teoría de campos cuánticos, TCC o QFT, sigla en inglés de quantum field theory.
Su principal aplicación es la física de altas energías, donde se combina con los postulados de la relatividad especial. En este régimen se usa para estudiar las partículas subatómicas y sus interacciones, y permite explicar fenómenos como la relación entre espín y estadística, lasimetría CPT, la existencia de antimateria, etc.
También es una herramienta habitual en el campo de la física de la materia condensada, donde se utiliza para describir las excitaciones colectivas de sistemas de muchas partículas y entender efectos físicos tales como la superconductividad, la superfluidez o el efecto Hall cuántico.
En particular, la teoría cuántica del campo electromagnético, conocida como electrodinámica cuántica, fue el primer ejemplo de teoría cuántica de campos que se estudió y es la teoría física probada experimentalmente con mayor precisión. Los fundamentos de la teoría de campos cuántica fueron desarrollados entre las décadas de 1920 y 1950 por Dirac, Fock,Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman y Dyson, entre otros.

El desarrollo de la teoría cuántica de campos ocurrió simultáneamente con el de la mecánica cuántica «ordinaria», en un intento de explicar los fenómenos atómicos tomando también en cuenta las leyes de la teoría de la relatividad. Entre 1926 y 1928 se desarrollaron los primeros intentos de encontrar una ecuación de onda relativista que describiera el movimiento de una partícula cuántica, debidos a Erwin Schrödinger y a Paul Dirac. Sin embargo, dichas ecuaciones mostraban ciertas inconsistencias.
Por otro lado, en 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan y Max Born profundizaron en el estudio del problema del cuerpo negro: el comportamiento de la radiación electromagnética dentro de una cavidad, en ausencia de partículas cargadas. Esto constituyó el primer ejemplo de una teoría cuántica de campos, en este caso aplicando las reglas de cuantización al campo electromagnético. En sus resultados, la radiación se comportaba como un conjunto de partículas —los fotones—, en consonancia con la hipótesis de los cuantos de luz, formulada porEinstein en 1905. Tras este ejemplo, las mencionadas ecuaciones de onda relativistas se estudiaron de nuevo desde otro punto de vista. En lugar de interpretarlas como funciones de onda, se usaron las reglas de cuantización de un campo clásico para manipularlas. De este modo se obtuvieron ecuaciones para partículas cuánticas respetando las leyes de la relatividad que sí eran consistentes. Esta reinterpretación, conocida como segunda cuantización, fue llevada a cabo por Heisenberg, Wolfgang Pauli, Vladimir Fock, Wendell Furry, Robert Oppenheimer y Victor Weisskopf.
A pesar de sus éxitos iniciales, la teoría cuántica de campos tenía problemas teóricos muy serios. El cálculo de muchas cantidades físicas en apariencia ordinarias resultaba en un valor infinito, un resultado sin sentido. Un ejemplo de esto eran las pequeñas diferencias entre algunosniveles de energía en el átomo de hidrógeno, la llamada estructura fina. Este «problema de las divergencias» fue resuelto durante las décadas de 1930 y 1940 por Julian Schwinger, Freeman Dyson, Richard Feynman y Shin'ichiro Tomonaga entre otros, mediante una técnica conocida como renormalización. Esta etapa culminó con el desarrollo de la moderna electrodinámica cuántica —QED, por Quantum Electrodynamics—. La técnica de los diagramas de Feynman, un procedimiento gráfico de cálculo desarrollado por Richard Feynman, se convirtió en una de las herramientas básicas de la teoría cuántica de campos.
En la década de 1950 QED fue generalizada a una clase más general de teorías conocidas como teorías gauge, comenzando con el trabajo de Chen Ning Yang y Robert Mills. A finales de la década de 1960, Sheldon Glashow, Abdus Salam y Steven Weinberg unificaron las interacciones electromagnética y débil en la teoría electrodébil —una teoría gauge— mediante el concepto de ruptura espontánea de simetría, introducido originariamente para explicar la superconductividad.
Sin embargo, no fue hasta la década de 1970 que quedó establecido el modelo estándar de la física de partículas. El modelo de unificación electrodébil no recibió especial atención hasta que, en 1971, Gerardus 't Hooft y Martinus Veltman demostraron que las teorías con simetrías rotas espontáneamente podían ser renormalizadas. Por otro lado, la intensidad de las interacciones fuertes entre hadrones fue un desafío para los teóricos de campos hasta el desarrollo del concepto de la libertad asintótica por Frank Wilczek, David Gross y Hugh David Politzer en 1973.
También durante la década de 1970, la teoría cuántica de campos «rompió los grilletes de los diagramas de Feynman», al descubrirse que las soluciones no perturbativas de las ecuaciones de los campos clásicos juegan un papel crucial a nivel cuántico. Además, la actitud hacia la técnica de la renormalización y hacia la teoría cuántica de campos en general fue cambiando progresivamente, gracias a los avances de —entre otros— Kenneth Wilson en física de la materia condensada. La aparición de los infinitos pasó de ser considerada una «patología» a «simplemente un recordatorio de una limitación práctica: no conocemos qué ocurre a distancias mucho más pequeñas que aquellas que podemos observar directamente».

Principios básicos

Motivaciones y definición

Limitaciones en la mecánica cuántica

En mecánica cuántica «ordinaria», un conjunto de partículas se describe mediante una función de onda Ψ(r1, ..., rn), que recoge la probabilidad de encontrar a cada una de estas en un punto dado. Además, la evolución en el tiempo de esta función de onda está dictada por la ecuación de Schrödinger:
(1) i\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \left[\frac{\mathbf{P}^2}{2m} + \mathbf{V}\right]\Psi
Sin embargo, este esquema no describe correctamente algunos aspectos presentes en ciertos sistemas físicos:
Creación y destrucción
Durante la evolución de este sistema, el número de partículas se mantiene finito e invariable —a saber, n—. Sin embargo, en experimentos de altas energías es corriente que el número de partículas varíe —por ejemplo en la desintegración de un neutrón, o la aniquilación de un electrón y un positrón en fotones—, como consecuencia de la famosa relación masa-energía de la relatividad. Además, en el contexto defísica del estado sólido, las excitaciones de un colectivo de átomos se reinterpretan como cuasipartículas, como el fonón, cuyo número es también variable.
Invariancia relativista
Esta ecuación no refleja las propiedades de la cinemática relativista. Su límite clásico describe el movimiento de una partícula bajo las leyes de la mecánica galileana, en lugar de la mecánica relativista: el primer término de la izquierda en (1) se corresponde con la energía cinética no relativista p2/2m, en lugar de la expresión relativista (p2 + m2)1/2, donde p es el momento de la partícula.
Campo clásico
Las interacciones entre las n partículas del sistema tienen lugar mediante fuerzas a distancia, dadas por el potencial V. Sin embargo, en lafísica clásica existen sistemas más generales, que no pueden entenderse mediante este esquema. Es por ejemplo el caso de un conjunto de cargas eléctricas en movimiento: para describir su evolución es necesario tener en cuenta de forma independiente tanto las partículas cargadas como el campo electromagnético que generan.
Es posible modificar la ecuación de Schrödinger para obtener una versión consistente con los principios de la relatividad especial, como laecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac. Sin embargo, estas tienen muchas propiedades insatisfactorias: por ejemplo, predicen la existencia de partículas con energía negativa, de modo que el sistema resulta ser inestable. Estos defectos son debidos a que dichas ecuaciones tampoco contemplan la posibilidad de que las partículas puedan crearse o destruirse y, como se menciona en el primer epígrafe, es inconsistente suponer una teoría relativista con un número constante de partículas en interacción.

Definición

Una teoría cuántica de campos es el resultado de aplicar las reglas de cuantización al sistema de una teoría clásica de campos. Esto permite estudiar los aspectos cuánticos de los campos continuos, como el campo electromagnético. Además, la cuantización de un campo presenta aspectos singulares: las reglas de cuantización aplicadas a un campo continuo revelan que sus posibles estados se corresponden con los de un colectivo de partículas idénticas que pueden crearse y destruirse. Por último, en el caso particular de que la ecuación del campo clásico respete la teoría de la relatividad, el sistema cuántico obtenido hereda esta propiedad. De este modo, la cuantización de un campo clásico sirve para cubrir los diversos aspectos que una teoría cuántica «ordinaria» no describe correctamete.

Segunda cuantización

Artículo principal: Segunda cuantización
Límite continuo. En la aproximación de límite continuo, una cadena de átomos en vibración se modeliza mediante un campo continuo φ(x). - Teoría cuántica de campos
El proceso de aplicar las reglas de cuantización a un campo e identificar sus posibles estados cuánticos con los de un colectivo de partículas se denomina segunda cuantización.

Límite continuo

Véase también: Mecánica de medios continuos
En mecánica clásica, un campo continuo es equivalente a un conjunto de múltiplesosciladores acoplados entre si. El ejemplo habitual para entender esta equivalencia es unsólido elástico. Este sistema puede describirse macroscópicamente mediante, por ejemplo, ladensidad o la tensión en cada punto del mismo; cantidades que se representan mediante campos continuos. Por otro lado, también es posible describir el sólido como una red de partículas que ejercen fuerzas elásticas entre sí —como si estuvieran unidas por muellesimaginarios—, lo que conforma un sistema de osciladores acoplados. La primera descripción —el campo y sus ecuaciones— es una aproximación de la segunda —los osciladores— cuando se considera la separación media entre partículas muy pequeña, o dicho de otro modo, en el límite continuo.
Esta equivalencia también se refleja en la evolución en el tiempo de estos sistemas. Visto como un conjunto de osciladores acoplados, las vibraciones (clásicas) de los átomos en el sólido son una superposición de sus modos normales: sus vibraciones colectivas elementales, o armónicos. Visto como un continuo de materia, las ondas de —por ejemplo— la densidad del sólido son una superposición de ondas planas, las ondas más simples. Cada modo normal o armónico del conjunto de osciladores se corresponde con una cierta onda plana del campo en el límite continuo.
Osciladores acoplados\xrightarrow{\quad\qquad\qquad}
Límite continuo		Campo continuo
Dinámica en 
 términos de:		Dinámica en 
 términos de:
Modos normales\xrightarrow{\quad\qquad\qquad}
Límite continuo		Ondas planas
Existen campos clásicos que no se corresponden con el límite clásico de ningún sistema mecánico, como por ejemplo el campo electromagnético. Sin embargo, la analogía matemática de sus ecuaciones con las de un sistema de osciladores abstractos sigue siendo válida.

Osciladores cuánticos

Véase también: Oscilador armónico cuántico
La energía de un oscilador armónico cuántico está cuantizada, de modo que sólo puede ser un múltiplo de su frecuencia ω:
E({\scriptstyle \text{oscilador}})=\hbar\omega\, N\,,
donde ℏ es la constante reducida de Planck y N = 0, 1, 2, ... es un número entero no negativo. En un sistema de osciladores cuánticos acoplados la energía también es discreta, y es la suma de la energía de cada modo normal, visto como un oscilador independiente:
(2)E({\scriptstyle \text{osciladores}})=\hbar\omega_\text{modo 1}N_\text{modo 1}+\hbar\omega_\text{modo 2}N_\text{modo 2}+\hbar\omega_\text{modo 3}N_\text{modo 3}+ \dots,
donde cada ωmodo i es la frecuencia de un modo normal y cada Nmodo i = 0, 1, 2, ... el nivel de excitación de dicho modo.
Sin embargo, estos valores son muy parecidos a los de un sistema de múltiples partículas repartidas por diversos niveles de energía E1, E2, etc. En este caso:
{E({\scriptstyle \text{partículas}}) = E_\text{nivel 1} N_{\text{partículas en 1}} + E_\text{nivel 2} N_{\text{partículas en 2}} + E_\text{nivel 3} N_{\text{partículas en 3}} + \dots}
Estas dos expresiones para la energía son equivalentes, cuando se identifica cada nivel de energía con un modo normal y su frecuencia,ℏωmodo i = Enivel i; y la cantidad de partículas en un cierto nivel con el nivel de excitación del correspondiente modo normal, Nnivel i = Nmodo i. Por ejemplo, si Nmodo 5 = 2, el oscilador correspondiente al modo 5 está en su 2º nivel de excitación, y tiene la misma energía que un sistema de dos partículas, cada una de ellas con energía Enivel 5 = ℏωmodo 5. Esta igualdad no se limita a una coincidencia en el valor de la energía: el comportamiento de ambos sistemas es muy parecido. Por lo tanto las propiedades físicas de un conjunto de osciladores cuánticos acoplados son iguales a las de un sistema de partículas cuánticas de número variable.

Campo cuántico

Un campo cuántico puede entenderse como el límite continuo de un conjunto de osciladores cuánticos acoplados. La energía de estos está dada por la ecuación (2), por lo que la energía del campo tiene una forma análoga, haciendo referencia a las ondas planas del campo en lugar de a los modos normales. Por lo tanto, un campo cuántico constituye un sistema equivalente al de un conjunto de partículas de número variable.
Osciladores acoplados\xrightarrow{\quad\qquad\qquad}
Límite continuo		Campo continuo
se cuantiza en
\downarrow		se cuantiza en
\downarrow
Osc. cuánticos acoplados\xrightarrow{\quad\qquad\qquad}
Límite continuo		Campo cuántico

Dinámica del campo cuántico

Campo cuántico libre

Véase también: Espacio de Fock
La analogía entre osciladores y campo de la segunda cuantización se aplica directamente en el proceso de cuantización de un campo libre, aquel cuyas ecuaciones de campo son lineales. La equivalencia con un sistema de osciladores armónicos acoplados es exacta, y la energía del campo viene dada por la ecuación (2): es la suma de la energía de cada partícula individual. Puesto que no hay contribuciones adicionales, las partículas son libres y no interaccionan entre sí, de ahí el nombre de campo libre. Como consecuencia de la ausencia de interacción, el número de dichas partículas permanece constante.
El estado de un campo cuántico se describe de manera habitual utilizando números de ocupación: el número de partículas en cada nivel de energía posible. Por ejemplo: una partícula en el 1.er nivel, cero en el 2.º, dos en el 3.º, etc. Al estado sin ninguna partícula, en el que todos los niveles de energía están desocupados, se le denomina el vacío.
Un aspecto importante de estas partículas es que son indistinguibles. Por ejemplo, si el estado del sistema consiste en una partícula en el 1.ernivel de energía y otra en el 2.º, intercambiarlas entre sí no da lugar a un estado distinto: se sigue teniendo una partícula en el nivel 1 y otra en el 2. Además, la analogía entre osciladores y campo conlleva que el número de ocupación de un cierto nivel de energía puede ser arbitrariamente alto, en particular mayor que 1. Esto significa que las partículas que surgen de la cuantización del campo son bosones. La cuantización de un campo libre para obtener fermiones (u otros tipos de campos más complicados) requiere ciertas modificaciones en el método de segunda cuantización, pero el proceso y los resultados básicos son los mismos.

Fermiones

Existen multitud de partículas llamadas fermiones —como el electrón y el protón— que respetan el principio de exclusión de Pauli, de modo que sus números de ocupación solo pueden valer 0 o 1. El formalismo de segunda cuantización basado en la analogía básica entre osciladores y campo no impone este límite y no es capaz de describir un conjunto de fermiones.
El origen de la estadística bosónica de las excitaciones del campo puede rastrearse hasta las reglas de cuantización utilizadas para este. Existen unas leyes de conmutación canónicas propias de todo sistema cuántico, que especifican el comportamiento del operador campo y sumomento conjugado π(r). Estas implican que sus estados cuánticos son simétricos y corresponden a bosones. Puesto que los estados de múltiples fermiones deberían ser antisimétricos, para obtener un sistema de fermiones cuantizando un campo ψ, se imponen reglas con el signo incorrecto, es decir, de anti-conmutación. La elección de este signo —y con él, la estadística de las partículas resultantes— no es arbitraria, sino que existe una relación entre el espín y la estadística.

Espín y estadística

Véase también: Teorema espín-estadística
La teoría de campos concreta que es cuantizada determina las propiedades de las partículas que aparecen como sus modos normales. En particular, el tipo de campo determina el espín de las mismas. Algunos ejemplos son:
Estas teorías de campos son relativistas: sus ecuaciones correspondientes respetan la simetría Lorentz. Las partículas que aparecen en la versión cuántica de dichas teorías también lo son: se rigen por la cinemática relativista. De este modo, una teoría cuántica de campos es capaz de describir la dinámica de partículas cuánticas de acuerdo con la relatividad especial. Una teoría cuántica de campos también puede ser no relativista: es el caso por ejemplo de la ecuación del campo sonoro, que resulta en la teoría de los fonones.
Estos ejemplos respetan la relación empírica que existe entre el espín y la estadística de las partículas: el espín de un bosón —fermión— toma siempre valores enteros —semienteros—. Si se intenta la cuantización de un campo escogiendo la estadística contraria —por ejemplo cuantizando el campo escalar con reglas de anticonmutación, intentando obtener fermiones; o viceversa para el campo espinorial— se obtienen resultados físicamente inconsistentes. Puede probarse que esto es general: en teoría cuántica de campos esta relación entre espín y estadística se demuestra como consecuencia directa de la unión entre mecánica cuántica y relatividad especial, el llamado teorema espín-estadística.
Algunas de estas teorías de campos fueron investigadas inicialmente como ecuaciones de Schrödinger relativistas para un cuerpo, sin éxito. Esto motivó el nombre de segunda cuantización: los campos a los que se aplicaban las reglas de cuantización eran funciones de onda, obtenidas a su vez de aplicar esas reglas a una partícula puntual.

Campo cuántico en interacción

Si la teoría de campos que se cuantiza es no lineal, las partículas que se obtienen interaccionan entre sí. En estas teorías las ecuaciones del campo son no lineales, involucrando productos de campos. De otro modo, la energía del sistema, representada por el operador hamiltoniano,presenta un término de interacción —similar a un potencial V— no cuadrático: involucra productos de tres o más campos. La gran mayoría de las teorías con interés para la física incluyen términos de interacción. La expresión siguiente para Hint (el potencial o hamiltoniano de interacción) proporciona diversos ejemplos:
\mathcal H_\textrm{int}(\mathbf r)=g\underbrace{\varphi(\mathbf r)\bar\Psi(\mathbf r)\Psi(\mathbf r)}_\textrm{3\ campos (Yukawa)}+\overbrace{\lambda\Phi(\mathbf r)^4}^\textrm{4\ campos(Higgs)}+e\underbrace{A_\mu(\mathbf r)\bar\psi(\mathbf r)\gamma^\mu\psi(\mathbf r)}_\textrm{3\ campos (QED)}+\ldots
  • La interacción de Yukawa describe las fuerzas entre nucleones —neutrones y protones, campo Ψ— mediadas por mesones (piones de hecho, campo φ). El término de interacción es proporcional a φΨΨ.
  • El campo de Higgs media entre todas las partículas elementales masivas del modelo estándar. Viene representado por Φ y un bosón de espín 0 asociado. Los propios bosones de Higgs interaccionan entre sí, con un término dado por Φ4.
  • La electrodinámica cuántica es la teoría cuántica que describe la interacción entre radiación —fotones, campo Aμ— y fermiones cargados —como electrones o quarks, descritos por un campo espinorial ψ—. El término de interacción es de la forma Aψψ.
Acompañando a cada producto de campos, hay una constante numérica, llamada constante de acoplo, que calibra lo intensa que es la interacción. Por ejemplo, en el tercer término, e es la carga eléctrica del electrón. En general no se conoce como calcular cantidades físicas—como probabilidades de colisión en un experimento de altas energías— de manera exacta en presencia de estos términos de interacción, lo que requiere aproximar el resultado de manera perturbativa.
En una teoría de campos en interacción el número de partículas puede variar, lo que permite describir sistemas en los que el número de partículas presentes no es constante. Esto es debido a la presencia de los términos no cuadráticos: necesariamente contienen productos de operadores destrucción y creación en un número descompensado. Otra consecuencia de la interacción entre campos cuánticos es la existencia de las antipartículas: si las partículas de un cierto sistema interaccionan entre sí y poseen alguna carga cuyo valor se conserva —como la carga eléctrica o la carga de color—, para poder describirlo mediante una teoría cuántica de campos relativista es necesario asumir la presencia de una «copia» para cada partícula, con idéntica masa pero carga opuesta.

Enfoques alternativos

Véanse también: Teoría cuántica de campos axiomática y Teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo.
La descripción de la teoría cuántica de campos como la cuantización canónica de un campo y la subsecuente asociación a un sistema de partículas de número indeterminado es uno de los enfoques mayoritarios para definirla. Sin embargo existen otras maneras de presentar y estudiar la teoría. El formalismo de la integral de caminos es equivalente a la cuantización canónica, y puede tomarse como postulado inicial.Otra posibilidad, en el contexto de la física de altas energías, es derivar las leyes más generales posibles que aúnen mecánica cuántica y relatividad especial, para describir el comportamiento de las partículas subatómicas. Estas leyes necesariamente toman la forma de una teoría cuántica de campos. Ambas posibilidades son complementarias en cuanto a lo que consideran inicialmente más fundamental: el campo o las partículas.
Desde un punto de vista matemático, la teoría cuántica de campos no posee el mismo nivel de rigor que la mecánica cuántica más elemental. Esto ha motivado el interés de estudiarla con un enfoque formal o axiomático, intentando encontrar estructuras matemáticas completamente rigurosas que capturen sus características principales. El caso particular del campo de Yang-Mills constituye el enunciado de uno de losproblemas del milenio.
Existen también generalizaciones de la teoría cuántica de campos en distintos contextos. La teoría de campos a temperatura finita describe procesos termodinámicos con creación y destrucción de partículas, e incorpora modificaciones similares a las de la física estadística cuántica. La teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo es el formalismo necesario para describir el campo cuántico en presencia de gravedad.
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