domingo, 2 de agosto de 2015

Geometría diferencial

 curvatura se refiere a cualquiera de una serie de conceptos vagamente relacionados en las diferentes áreas de lageometría. Normalmente se refiere a un concepto métrico de objetos matemáticos o geométricos. Por extensión también se usa el término para referirse a un número u objeto matemático que caracteriza la forma y magnitud de la curvatura. Más específicamente el término curvatura puede referirse a alguno de estos conceptos:












Curvatura de Gauss

Tres superficies con curvatura gaussiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).
La curvatura gaussiana de una superficie es un número real K(P0) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P0 de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie:
K(P_0)= \frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{b_{11}b_{22}-{b_{12}}^2}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^2}
Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k1 y k2), mediante la relación K = k1k2.
Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a K(S^2) = 1/r^2>0\;.
Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación K:S\to K(S) donde K(S)\in C^1(S,\mathbb{R}) (una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.
La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:
N\colon S\to S^2 \qquad, definido mediante N(p)=\frac{\partial_u\times\partial_v}{\|\partial_u\times\partial_v\|}|_p

Donde \partial_u,\partial_v son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p.
Con la derivada (jacobiano) del operador de forma
L(p)=N'(p):T_pS\to T_{N(p)}S^2
uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.
K(p)=\det[L(p)]\,
Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.
En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación
K=\frac{R_{1212}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^2} = \frac{h_{11}h_{22}-{h_{12}}^2}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^2}
Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es \frac{\cos v}{2+\cos v} donde se ha usado la parametrización:
(v,w)\stackrel{\phi}\to ((2+\cos v)\cos w,(2+\cos v)\sin w,\sin v)
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