Geometría

CENTROS DE UN TRIÁNGULO

Baricentro (o centroide) de un triángulo

El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianasdel triángulo.

Las medianas (m_a, m_b y m_c) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del costado opuesto.

Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro (centroide) y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia delcentroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.

En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.

El centroide está siempre en el interior del triángulo.

Ortocentro de un triángulo

El ortocentro H es el punto intersección de las tres alturas de un triángulo.

Las alturas (h_a, h_b y h_c) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

El ortocentro podría estar en el exteriordel triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectánguloscoincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.

Circuncentro de un triángulo

El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices deltriángulo.

Las mediatrices de un triángulo (M_a, M_b y M_c) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en eltriángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperímetro del triángulo:

El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º). En los acutángulos, será un punto interior.

Incentro de un triángulo

El incentro (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.

Las bisectrices de un triángulo (B_a, B_b y B_c) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

El incentro (I) es el centro de lacircunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

El incentro se encuentra siempre en el interior del triángulo.

Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en unmismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

El área de cualquier triángulo puede calcularse conociendo un lado y la altura asociada a dicho lado. Éste lado ejerce como base.

Su área será un medio del producto de la base (b) por la altura (h).

Ejemplo

Sea un triángulo de base (b) y altura (h) conocidas, siendo b=4 cm y h=2 cm.

¿Cuál es su área?

Multiplicando b por h y dividiendo por dos:

Y se obtiene como resultado que su área es de 4 cm².

¿Cómo se obtiene?

El triángulo puede inscribirse en un rectángulo de base b y altura h.

El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo cuyos costados sean b y h.

En efecto, el área del triángulo ABC es la suma del área del triángulo rectángulo T₁y de la del T₂. Estos dos triángulos rectángulos están en el interior del rectángulo, que se completa con los triángulos T₁ y T₂, iguales a los anteriores.

Por lo tanto, el área del triángulo ABC es la mitad de la del área del rectángulo de lados b y h:

La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir delsemiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).

Ejemplo

Sea un triángulo de lados conocidos, siendo estos a=4 cm, b=5 cm y c=3 cm. Calcularemos su área por la fórmula de Herón.

Primero calcularemos el semiperímetro (s).

Ahora aplicamos la fórmula de Herón:

Y se obtiene que el área del triángulo es de 6 cm².

Triángulo inscrito en una circunferencia

A partir de la fórmula de Herón tenemos otro procedimiento para hallar el área de un triángulo cualquiera. Sea untriángulo inscrito en una circunferencia de radio R. Entonces:

Triángulo circunscrito en una circunferencia

Igualmente, a partir de la fórmula de Herón disponemos de un procedimiento más para calcular el área de un triángulo, pero ahora a partir de la circunferencia de radio r inscrita en el triángulo.