El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres costados.
Ejemplo
Sea un triángulo rectángulo con los tres lados conocidos, siendo éstos a=3 cm,b=4 cm y c=5 cm.
¿Cuál es su perímetro?
Éste se calculará como la suma de sus tres lados:
Y como resultado se obtiene que el perímetro es de 12 cm.
Perímetro de un triángulo rectángulo a partir del teorema de Pitágoras
El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) y el perímetro se pueden expresar a partir de los catetos (a y b).
Perímetro de un triángulo rectángulo a partir del teorema del cateto
El perímetro de un triángulo rectángulo se puede obtener a partir de lahipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre esta mediante el teorema del cateto.
Sean n y m las proyecciones de los catetos (b y a). Entonces el perímetro de un triángulo rectángulo viene definido por la siguiente fórmula:
Este método es útil si no se conocen los catetos (a y b).
En un triángulo rectángulo se pueden diferenciar diferentes elementos, referentes a sus lados y ángulos.
- Catetos: lados del triángulo que forman el ángulo recto.
- Hipotenusa: lado mayor del triángulo opuesto al ángulo recto.
- Ángulo recto: ángulo de 90º que forman los dos catetos.
- Ángulos agudos: los otros dos ángulos del triángulo (α y β) menores de 90º. La suma de ambos es de 90º.
Relación entre catetos e hipotenusa
Teorema de Pitágoras
Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:
Teorema de la altura
El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principalABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:
En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).
Teorema del cateto
El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de loscatetos.
En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos menores (<90 p="">
Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.
El Teorema de Pitágoras enuncia que:
Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:
Se pueden construir los dos cuadrados sobre sus catetos (a y b) y el cuadrado sobre la hipotenusa (c).
Geométricamente se puede comprobar que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre suhipotenusa, es decir:
Cálculo de los catetos
Gracias al teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo se puede hallar el valor de un cateto sabiendo el otro cateto y la hipotenusa.
Es decir, el valor de un cateto se calcula a partir del otro y la hipotenusa mediante la siguiente fórmula:
Reconocimiento de triángulos rectángulos
Evaluando la fórmula del teorema de Pitágoras se puede saber si el triángulo es rectángulo. Es más, se puede afirmar de que tipo de triángulo según sus ángulos se trata.
- c2 = a2+b2: es un triángulo rectángulo porque se verifica el teorema de Pitágoras.
- c2 < a2+b2: es un triángulo acutángulo. Esta desigualdad se cumple para todos los lados: b2 < a2+c2 y a2 < b2+c2.
- c2 > a2+b2: es un triángulo obtusángulo. El cuadrado del lado opuesto al ángulo mayor de 90º es más grande que la suma del cuadrado de los otros lados.
Teorema de Pitágoras generalizado
El teorema de Pitágoras se puede extender a toda clase de triángulos. El teorema de Pitágoras generalizado relaciona la longitud de los tres lados de un triángulocualquiera.
Sea p el segmento de la proyección del lado b sobre el lado c. La fórmula delteorema de Pitágoras generalizado es:
El segmento p puede cambiar de signo según el tipo de triángulo:
- α=90º: la proyección sobre c p=0. Se aplica el teorema de Pitágoras al anularse el término. Triángulo rectángulo.
- α<90 span="">: la proyección sobre c p>0. Triángulo acutángulo.
- α>90º: la proyección sobre c p<0 span="">. Triángulo obtusángulo.
Ejemplo
En este caso se cumple que la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. Veámoslo:
Si se despliegan los cuadrados se observa gráficamente como la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa.
Relación entre catetos e hipotenusa
Teorema de la altura
El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principalABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:
En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).
Teorema del cateto
El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de loscatetos.
En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométricaentre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).
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