Geometría

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos recto (α=90º).

Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90º.

Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos costados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa.

Tipos de triángulo rectángulo

Hay dos tipos de triángulo rectángulo, según los dos ángulos águdos:

• Triángulo rectángulo isósceles: tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos de 45º. Los dos catetos son iguales.



• Triángulo rectángulo escaleno: tiene todos los ángulos diferentes (siendo uno de ellos de 90º). Los lados también son diferentes.

Altura del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el catetoopuesto. Por lo tanto, h_a=b y h_b=a.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.

La altura h (o h_c) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.

Área de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Su área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).

Perímetro de un triángulo rectángulo

El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres costados.

El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) se puede expresar a partir de los catetos (a y b).

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principalABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de loscatetos.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). El área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).

Ejemplo

Sea un triángulo rectángulo con los lados que forman el ángulo recto (a y b) conocidos, siendo a=3 cm y b=4 cm.

¿Cuál es su área?

Aplicamos la fórmula anterior:

Y se obtiene que su área es de 6 cm².

Área de un triángulo rectángulo a partir del teorema de la altura

El área de un triángulo rectángulo se puede obtener a partir de lahipotenusa y la altura del triángulo asociada a esta mediante el teorema de la altura.

Sean n y m las proyecciones de los catetos (b y a). Entonces el área de un triángulo rectángulo viene definido por la siguiente fórmula:

Este método es útil si no se conocen los catetos (a y b).