Astronomía

Mecánica neutoniana

Como Caen Las Cosas

La torre inclinada de Pisa Galileo fue probablemente el primero en mirar con atención la forma en que los objetos caen hacia la Tierra. La leyenda dice que subió a la parte superior de la torre inclinada de Pisa y tiró desde allí, simultánemente, bolas pesadas y ligeras, observando que llegaban al suelo al mismo tiempo. Así demostró que, al contrario de las antiguas afirmaciones, los objetos ligeros y pesados ("cuerpos") caen a la misma velocidad. Los estudios de Galileo crearon un gran interés, porque se aplicaban, no solo a caídas simples, como la caída de una manzana de un árbol, como la que, según se dice, inspiró a Newton, sino que también eran aplicables al asunto más práctico de la trayectoria de las balas de cañón.

Aceleración Un objeto dejado caer comienza su caída muy lentamente, pero aumenta su velocidad constantemente, acelera, con el tiempo. Galileo demostró que (ignorando la resistencia del aire) los objetos ligeros y pesados aceleran a la misma razón constante cuando caen, o sea, su velocidad aumenta a una razón constante. La velocidad de una bola que cae desde un lugar elevado aumenta cada segundo una cantidad constante, designada normalmente por la letra g (de  gravedad). En unidades modernas  (usando la convención del álgebra, en la que los símbolos o los números que están al lado de otros se entiende que se multiplican) su velocidad es al comienzo  --  0 (cero) después de 1 segundo   --  g metros/segundo (m/s) después de 2 segundos -- 2g m/s después de 3 segundos -- 3g m/s y etc... Esto se modifica con la resistencia del aire, que se hace importante a velocidades elevadas y, normalmente, fija una velocidad límite a la velocidad de caída ("velocidad terminal"); mucho menor, por ejemplo, para quien use un paracaídas que para quien no lo haga. El número g está cercano a 10, con más precisión: 9.79 en el ecuador, 9.83 en el polo y valores intermedios entre ambos lugares, y se conoce como "la aceleración debida a la gravedad". Si la velocidad aumenta 9.81 m/s cada segundo (un valor medio bueno), g se dice que es igual a "9.81 metros por segundo por segundo" ó, lo que es lo mismo, 9.81 m/s2. Añadiendo una Velocidad Inicial Considere que la bola tiene una velocidad inicial u hacia arriba ó hacia abajo. Si las distancias hacia abajo se eligen como positivas, la velocidad debida a la gravedad será siempre positiva, mientras que u será positiva si se dirige hacia abajo y negativa si lo hace hacia arriba.Con esta cláusula, las observaciones indican que u debe ser sumada en todas partes a la velocidad debida a la gravedad, hallando la velocidad en segundos sucesivos (como en la lista superior) u, u+g, u+2g, u+3g . . . y, en general, después de t segundos  u + gt (gt significa: "g veces t") La Distancia Cubierta La distancia cubierta por la bola puede parecer ser la misma que la cubierta si la bola tiene una velocidad constante "media" v(media), igual a la semi-suma de las velocidades de comienzo y final. Para la bola descendente del ejemplo anterior, después de t segundos será v(media) = (1/2)[u + (u+gt)] haciendo a la distancia cubierta distancia = t v(media) = ut + (1/2) gt2 El Experimento de Galileo El libro "The God Particle" de Leon Lederman, ganador del Premio Nobel, y de Dick Teresi (un buen libro, si acepta su actitud irreverente y humor hortera) nos dice como Galileo mostró que el movimiento descendente de una esfera debido a la gravedad tiene una aceleración constante, y que a partir del reposo (u = 0) cubre una distancia que aumenta en proporción al cuadrado del tiempo transcurrido, tal y como se muestra en la fórmula superior.  Dado que una caída vertical era muy rápida para que Galileo la midiera con precisión, la ralentizó haciendo que la esfera rodase por un tablero inclinado. A través del tablero, a lo largo de su superficie, engarzó una serie de alambres horizontales tirantes, haciendo que sonara un clic siempre la bola saltaba sobre unos de ellos. Galileo movió luego los alambres hacia arriba y abajo del tablero hasta que los clics sonaron espaciados uniformemente. Si ahora la aceleración es a (mucho menor que g) y el tiempo t se mide en clics, mediante la fórmula superior, comenzando con la bola en reposo (u= 0) se obtiene la distancia cubierta S Después de un clic   S = (a/2) 12 = a/ 2 Después de dos       S = (a/2) 22 = 2a Después de tres       S = (a/2) 32 = 4.5 a y así sucesivamente. La proporción entre las distancias deberá ser la de los cuadrados 1, 4, 9, 16, 25. . . y eso fue lo que Galileo confirmó. Si convertimos los clics en segundos, tenemos en cuenta el ángulo del tablero y también el hecho de que la bola rodaba(una teoría que no estaba disponible en los días de Galileo), podremos calcular, en principio, g a partir de a.  Cataratas y Pelotas de Béisbol Además, si al comienzo la bola se mueve con una velocidad horizontal w, su movimiento horizontal continúa sin ningún impedimento, avanzando una distancia w cada segundo, aunque la bola esté cayendo (ignorando la resistencia del aire). Los dos movimientos tienen lugar simultáneamente, haciendo que la bola siga una curva, que gradualmente se hace más pronunciada debido a que la velocidad de caída se va incrementando, mientras que la horizontal no. Es así como se mueven las gotas en una catarata, lo que proporciona a la sección transversal su forma característica (izquierda).  La escena que se ve continuamente en las películas de dibujos animados de "El Correcaminos", en la que Wily Coyote corre más allá del borde del acantilado, suspendiéndose en el espacio (hasta que se da cuenta) y luego cae a plomo es una ficción de la imaginación, totalmente contraria a las leyes de la física. En la realidad tienen lugar los dos movimientos simultáneamente. De igual modo, una bala disparada por un rifle sobre una diana comienza a caer desde el mismo momento en que abandona la boca del rifle. Es necesario ajustar el visor del rifle para la distancia apuntando hacia un punto por encima del blanco, calculado a fin de que, a la distancia apropiada, con la caída, la bala la dirija hacia abajo, hacia la diana. Para una piedra arrojada hacia arriba, u es negativa y estará a una distancia vertical indeterminada sobre el punto de lanzamiento. En este caso, haga U = -u  un número positivo. Luego después de t segundos velocidad = (-U + gt) m/s Al principio t es pequeño y la velocidad es negativa, mostrando a la piedra moverse hacia arriba. En el momento que gt = U la suma es cero y durante un breve instante la piedra está en descanso, en la cúspide de su trayectoria. En ese momento t = U/g y si el valor se usa en la fórmula para la distancia, se obtiene la altura a la cual ocurre. Y, en conclusión, si se añade a este movimiento una velocidad constante horizontal w, se deducirá el movimiento de una pelota de béisbol o el de una bala de cañón. Respecto a la resistencia del aire Las fórmulas de arriba solo se cumplen para balas de cañón ideales que no experimentan resistencia del aire. En la práctica, esta resistencia modifica el movimiento y debe de tenerse en cuenta, especialmente en la caída de objetos ligeros, como puede ser una pluma. Una demostración científica popular durante siglos ha sido la de una moneda y una pluma cayendo simultáneamente en el interior de un tubo de cristal, al cual se le ha hecho el vacío: siempre se les ve a las dos caer con la misma velocidad. Una demostración similar fue hecha también en la superficie de la Luna por uno de los astronautas del Apolo. No solo la Luna no tiene atmósfera, sino que su gravedad es varias veces más débil, haciendo que la caída sea más lenta y más fácil de observar. El astronauta dejó caer la moneda y la pluma delante de una cámara de TV y su audiencia en la Tierra que estaban viendo la TV, observó a las dos cayendo juntas. Aunque, como anécdota, el astronauta probó primero su experimento fuera de la visión de la cámara, para estar seguro de que funcionaba.

Exploración Adicional: Una unidad de estudio universitario en  el movimiento de caída en un plano inclinado, muestra que la gravedad se "amortigua" por el factor sen q, donde q es el ángulo de la inclinación.Un artículo sobre la torre inclinada de Pisa: de Scientific American. . . Se puede también visitar la torre inclinada de Pisa   y sus alrededores y el cursor permite ver una imagen panorámica de 360º. Vectores Los Vectores como Extensión de los Números El concepto de los números se desarrolló gradualmente. Primero fueron los enteros positivos, 1,2,3... (no el cero, que se incorporó más recientemente) los usados para reseñar los objetos contables, tales como ovejas, días, miembros de la tribu, etc. El concepto de números negativos pudo surgir como una extensión de la resta, ó, quizás del dinero, lo que se debe es riqueza negativa, números rojos en la contabilidad. Los objetos que pueden dividirse, por ejemplo el suelo, trajeron las fracciones. Luego, alrededor del año 500 a.C., un estudiante de Pitágoras probó que el número dado por la raíz cuadrada de 2 no se podía expresar como fracción; no lo encontró lógico y, por lo tanto, podemos decir que esos son números "irracionales". Por medio de ellos, enteros, fracciones e irracionales podemos describir cualquier cosa que tenga una dimensión, una magnitud. Pero,¿ como podemos describir la velocidad, que tiene una magnitud y una dirección? Para eso está el vector. Suma de Vectores Las velocidades se pueden sumar. Imagine a un aeroplano que vuela a 200 mph (o, si quiere, km/h) con un viento de cola de 100 mph. ¿Con que rapidez cubre la distancia en relación al suelo? Fácil: por cada 200 millas que avanza, el viento lo lleva 100 millas más allá, luego la respuesta es 200 + 100 = 300 millas Gráficamente, cada tramo en el suelo ó velocidad puede representarse por una flecha con su dirección, y su longitud nos indica la magnitud; por ejemplo, una flecha AB de 200 mm (milímetros) de longitud para representar el movimiento del aeroplano y otra BC de 100 mm de longitud, en la misma dirección, para el viento. Para sumar las velocidades, se coloca una flecha a continuación de la otra, como se ve en la parte superior de la figura. Por el momento, es una vía complicada para hacer algo obvio. Lo que hace a la "suma de flechas" útil es que sirve también cuando las direcciones son distintas. Imagine que el aeroplano vuela con un viento contrario de 100 mph: prevemos que la velocidad relativa al suelo será de 200 – 100 = 100 mph y la "suma de flechas" (en la mitad de la figura) lo confirma. Ahora imagine que la ruta del piloto es hacia el este, pero un viento lateral sopla hacia el nordeste: ¿en que dirección se moverá el aeroplano y con que rapidez? La intuición no ayuda, pero la suma de flechas si lo hace (el pié de la figura, que no está a escala) .  La regla general es que las velocidades combinadas hacen que el aeroplano se desplace en una hora al mismo punto que alcanzaría si se moviera primero con un movimiento y luego con el otro, actuando solos durante una hora. Como se espera, la dirección es alguna entre la dirección este y la norte. Todos los vectores se pueden sumar entre ellos de esta manera, como flechas, uniendo la cabeza de uno a la cola del otro. Existe un método alternativo, con frecuencia más fácil de usar y que se describe a continuación.   Descomposición de vectores en sus componentes Al igual que se pueden combinar dos vectores en uno, o sea su suma, también es posible hacer lo contrario; dado un vector, encontrar los dos vectores cuya suma es el vector primitivo..Imagine que el vector dado está representado por la fecha AB del dibujo y queremos descomponerlo en las partes de la suma de dos vectores dirigidos a lo largo de AA' y AA". Dibujamos líneas a lo largo de AA' y AA" y también líneas paralelas a ellas desde B, el otro final del vector. Si AA' y AA" son perpendiculares entre si (lo usual), entonces estas líneas encierran un rectángulo ACBD, donde AB es su diagonal. Es evidente que AC y CB son la solución a nuestro problema y en la suma de vectores AC + CB = AB AC y CB se llaman los componentes de AB (ó vectores componentes de AB) a lo largo de las dos direcciones dadas. AD y DB, que tienen la misma longitud y dirección, son también una solución y representan los mismos componentes, la diferencia es que su suma se efectúa en orden inverso. Si AA' y AA" no son perpendiculares entonces ACBD es un paralelogramo. Los usos de los vectores componentes Descomponer los vectores en sus componentes puede ser muy útil. Se dan tres ejemplos abajo y hay más en la sección (22a). (a) Suma de varios vectores Considere que se necesita sumar 10 vectores (si, existe esa circunstancia..). Para conseguirlo de la forma descrita anteriormente, sumamos los dos primeros vectores cabeza con cola, luego sumamos el tercero a la suma, luego el cuarto,... ¡tediosa labor!Una forma más rápida es escoger dos direcciones perpendiculares, y al igual que se indicaba en las coordenadas cartesianas, podemos denominarlas "la dirección x" y "la dirección y". Descomponemos cada vector V en sus componentes: "Vx" en la dirección x y "Vy" en la dirección y. Ahora no tenemos 10, sino 20 vectores que necesitamos sumar, pero el trabajo es mucho más sencillo. De estos vectores, 10 están alineados con la dirección x y los vectores en la misma dirección (como el viento de cola del ejemplo anterior del aeroplano) se suman igual que números ordinarios. Lo mismo se hace con los 10 vectores alineados en la dirección y. El problema ahora es reducir las dos series de sumas  y restas ordinarias (los vectores opuestos tienen el signo menos), y solo se necesita la suma de tipo vectorial en la suma de los totales de las direcciones x e y. Nota: El mundo real es tridimensional y así son sus vectores. Pero los vectores en 3-D  también se pueden resolver, cada uno de ellos es igual a la suma de los tres vectores en las direcciones (x, y, z); ahora el rectángulo es una caja rectangular. Los componentes del mismo tipo se suman como en el ejemplo bidimensional anterior y la suma final implica una suma vectorial en cada dimensión. Ahora el vector suma es la diagonal de la caja rectangular, en la cual las tres sumas son los lados de dicha caja. (b) Cálculo del vector suma La suma cabeza a cola de vectores nos permite construir su suma gráficamente. Los componentes permiten ser calculados.Tome el primer ejemplo de suma de vectores, un aeroplano volando hacia el este a 200 mph (su velocidad de vuelo, su velocidad relativa al aire), mientras a 100 mph sopla el viento hacia el nordeste. El triángulo de la suma de los vectores de este ejemplo está en la parte inferior del dibujo de esta sección. Haga que la dirección x sea hacia el este y la y hacia el norte. Luego los componentes de la velocidad (x,y) son, en mph, --de la velocidad de vuelo, (200,0) --de la velocidad del viento (100 cos 45o,100 sen 45o) = (70.7, 70.7) dado que el cos 45o = sen 45o = 0.707 (para deducir aquí). Así los componentes de la velocidad total son (Vx,Vy) = (200+70.7,0+70.7) = (270.7,70.7) esto nos da la velocidad total V. Por el teorema de Pitágoras, V2  = (Vx)2 + (Vy)2 dando la magnitud de V aproximadamente 280 mph, mientras que el ángulo agudo en el punto A del dibujo (lo llamaremos A, también) satisface que senA = 70.7/280 = 0.2527 De donde A es aproximadamente 16.º.  (c) El plano inclinado Regresemos al  experimento de Galileo . Suponga que tenemos un plano inclinado con una inclinación suave a un ángulo s (dibujo inferior) y sobre el un bloque bien engrasado, listo para deslizarse hacia abajo (Galileo usaba una bola  rodante, con la que el experimento es más fácil de ejecutar pero más  difícil de calcular, dado que la energía cinética está ahora dividida entre el movimiento de deslizamiento y el de rotación). Si despreciamos la fricción, ¿con que rapidez se desliza el bloque? la fuerza de la gravedad sobre el bloque, tiene un nombre: peso del bloque W, puede representarse por una fecha vertical AB de longitud W, dirigida hacia abajo. Esta no es la dirección en la que puede acelerar el bloque. Sin embargo, el vector AB puede descomponerse en sus fuerzas perpendiculares: Una es perpendicular a la superficie y está representada por la línea AC y su magnitud es W cos s. Esta fuerza está completamente contrarrestada por la resistencia de la superficie, que no permite el movimiento en esa dirección, un asunto que se tratará de nuevo al final de la sección 18. Si el movimiento incluye la fricción, sin embargo, la fuerza de fricción es proporcional a este componente.   La otra fuerza es paralela a la superficie, está representada por la línea AD, tiene una magnitud W sen s y, si la fricción no impide el movimiento, es libre para acelerar el bloque en esa dirección. La fuerza es menor que el peso W por un factor (multiplicador) sen s, un número siempre menor que 1, mientras que la masa del bloque no ha cambiado. Su aceleración es, por consiguiente, reducida por un factor similar y no igualará a g como si fuera en  libre, pero será solo g sen s.