Astronomía

 2ª Ley de Kepler

La Ley La elipse trazada por un planeta alrededor del Sol tiene una forma simétrica, pero el movimiento no es simétrico. Piense en una piedra lanzada hacia arriba: cuando sube pierde velocidad, durante un instante, en la cima de su trayectoria, se mueve muy despacio y finalmente cae, aumentando su velocidad de nuevo. El movimiento de un planeta alrededor del Sol o el de un satélite científico alrededor de la Tierra, siguen ecuaciones diferentes (aunque existe alguna unión), pero en muchos aspectos se parecen al de la piedra. Esto es mucho más evidente si su órbita es alargada, o sea, si su excentricidad es casi 1. Cuando el planeta o el satélite se eleva en su órbita, su velocidad disminuye y cuando retorna, se acelera de nuevo, moviéndose a su mayor velocidad cuando está más cercano. Este punto de la órbita se llamaperihelio para un planeta ("helios" es el Sol) y perigeo para un satélite terrestre ( "geo", es relacionado con la Tierra). Después de estudiar observaciones reales, principalmente de Marte, Kepler propuso la siguiente regla para predecir la aceleración y la deceleración. Dibuje una línea ("radio vector") desde el centro del Sol hasta el planeta (o desde el centro de la Tierra hasta el satélite). La ley de Kepler afirma que: "El radio vector barre iguales áreas en iguales tiempos""   Ilustrando la 2da. ley de Kepler:   a los segmentos AB y CD les toma   el mismo tiempo para recorrer . Como ejemplo considere que el dibujo de la derecha representa la órbita de un satélite de la Tierra y haga que AB y CD sean porciones de la órbita cubiertas en 3 horas cerca del apogeo y del perigeo, respectivamente. Si O es el centro de la Tierra, las áreas sombreadas OAB y OCD son iguales. Lo que significa, obviamente, es que CD es más larga que AB, debido a que cerca del perigeo el satélite se mueve mucho más rápido y cubre en las 3 horas una distancia mayor.             Energía    La energía se puede definir libremente como algo que puede hacer mover a una máquina. Las formas de energía que mueven nuestras máquinas son, normalmente, la electricidad o el calor; la luz es otra forma de energía, convertida en electricidad mediante células solares, que generan la potencia de la mayoría de los satélites. La gravedad también puede proveer energía. Las ruedas de los relojes de nuestros abuelos giraban por medio de pesos que descendían gradualmente hacia el fondo del reloj, en cuyo punto tenían que ser subidos de nuevo o el reloj se paraba. Thomas Jefferson, tenía en su casa cerca de Charlottesville, Virginia, un reloj cuyos pesos (colgados a un lado de la habitación) eran balas de cañón amarradas a una cuerda y para que el reloj tuviera cuerda para 7 días, había hecho un agujero en el suelo que permitía a las balas descender hasta el sótano. Cuando una bala o un peso se elevan contra la fuerza de la gravedad, adquieren energía potencial,energía en virtud de su posición, proporcional a la altura a que han sido elevados. Si se suelta el peso, pierde altura y energía potencial, pero gana velocidad y energía cinética, la energía debida a la velocidad del movimiento. La energía cinética se puede volver a convertir en potencial, como ocurre en la montaña rusa cuando pasa por el fondo de una depresión y sube de nuevo. Un cambio similar ocurre cuando se tira una piedra hacia arriba con una velocidad v. Si su masa esm (el concepto de masa se definirá más adelante, de momento véalo como algo relacionado con el peso), su energía cinética será: 1/2 mv2 Cuando sube, v y la energía cinética disminuyen, pero eso se compensa con el aumento de la energía potencial: h m g donde h es la altura en metros y g es una constante que mide la intensidad de la fuerza de la gravedad: si m está en kilogramos, h en metros y v en metros por segundo (escrito m/s ; la velocidad de una persona caminando es de 1-2 m/s), g es aproximadamente 9.81. La suma de las dos es la energía total E y permanece constante: E  =   1/2 mv2 +  h m g = constante  Cuando la piedra sube, la parte cinética de su energía se hace cada vez menor, siendo cero cuando alcanza el punto más alto, donde, durante un breve instante v = 0. Durante el viaje de descenso, tiene lugar lo contrario. En una sección posterior volveremos a ver esta fórmula y el concepto de energía. Para un satélite de masa m que órbita la Tierra (o para un planeta alrededor del Sol) existe una fórmula similar: E = 1/2 mv2 – k m/r = constante  Aquí k es otra constante, de hecho relacionada con g, porque ambas constantes reflejan la intensidad de la gravedad de la Tierra (el valor exacto es: k = gR2, donde R es el radio de la Tierra, en metros). (Si r es medida en radios de la Tierra, la distancia en metros es de rR y eso es lo que deberá ir en el denominador. Sin embargo, la fórmula de arriba sigue siendo verdadera si cancelamos un factor, R y de esa manera redefinimos k como gR.) No deje que le confunda el signo menos: cuando el satélite se eleva, r aumenta, k m/r se hacemenor, pero -k m/r se hace grande, es menos negativo que cerca de la Tierra. Esta ecuación indica porqué la velocidad del satélite disminuye cuando se aleja y aumenta cuando regresa. Suponga que el satélite tiene la velocidad suficiente para escapar completamente de la gravedad de la Tierra (la "velocidad de escape" V). Cuando esté lejos de la Tierra, donde k m/r es cercano a cero, su energía cinética tambien estará agotada, o sea, v = 0. Como la suma E es la misma en todas partes, esto da a entender que par una sonda espacial que justo por poco escapó de la gravedad de la Tierra,E = 0. Por esto V2 = 2k/R = 2 g R Con g = 9.81 y R =6 371 000 metros V será unos 11200 m/s.  La Anomalía Media Anteriormente se ha dicho que se necesitaba un tercer elemento orbital  para especificar donde se localiza el satélite en su órbita. Puesto que la ecuación de la elipse orbital es r = a(1 – e2)/(1 + e cos f) cada valor del ángulo  f  llamado "anomalía verdadera", especifica una posición  a lo largo de la órbita. Por consiguiente se puede usar la anomalía verdadera como tercer elemento orbital. La anomalía verdadera  f  varía periódicamente alrededor de la órbita, rápidamente cerca del  perigeo y lentamente cerca del apogeo. La 2ª Ley de Kepler nos lo dice todo sobre esta variación y deberá permitirnos obtener una fórmula que dé la forma en que varía fconel tiempo t. Desgraciadamente, no existe una forma clara para expresar esa fórmula. La forma más fácil de expresar  f es usando dos ángulos auxiliares, los cuales, al igual que f, aumentan 360º cada órbita, la "anomalía excéntrica " E (aquí la letra no tiene nada que ver con la energía) y la  "anomalía media " M; existe una ecuación que relaciona  f yE, y otra que relaciona E y M. La gran virtud de M es que crece en proporción al tiempo t: M = M(0) + nt donde M(0) es el valor de M cuando t = 0 y n es una constante (asociada con la constante que aparece en la 3ª Ley de Kepler). La anomalía media es la que se tiene en cuenta como tercer elemento orbital.  Si se desea predecir la posición de un satélite en su órbita en un momento t, asumiendo que el movimiento elíptico dado por las  leyes de Kepler es lo suficientemente bueno para esa predicción (despreciando la atracción de la Luna, la fricción de la atmósfera superior, etc.) el primer paso es deducir M de la fórmula anterior. Luego se deduce E desde M, y finalmente f desde E, estas labores las computadoras las hacen muy fácil (aunque en otra época, esos cálculos se hacían sobre el papel y ni, con mucho, tan rápida o tan fácilmente). La fórmula para r nos da la posición del satélite en su órbita; todo lo que se requiere son los elementos a, e y M(0), la anomalía media para t=0.  Debajo va un dibujo de la órbita de Marte, tomado de los escritos de Kepler.  Más Respecto a la Segunda Ley de Kepler La Relación de Velocidades en Perigeo y Apogeo (Nota: Este cálculo también se encuentra en la sección #21c)    La segunda ley de Kepler describe la manera en que la velocidad v de un objeto orbitando un solo centro varía alrededor de su órbita:     "La proporción en la cual la línea al centro ("radio vector") cubre un área no cambia alrededor de la órbita." Como se aprecia en la sección #12, esto significa que la velocidad del objeto V se incrementa cuando su distancia r se reduce, y viceversa.     En dos puntos de la órbita las direcciones de r y v están perpendiculares una de la otra: en el punto P de máxima aproximación ("perihelio" para un planeta, "perigeo" para una satélite de la Tierra), y en punto A de máxima distancia ("afelio" o "apogeo"). Sean sus valores r1y V1 en P, y r2 y V2 en A.     Imagine un satélite terrestre, localizado en el perigeo P (vea dibujo). En un segundo, este habrá avanzado una distancia de V1 metros (o cualquier unidad que se haya utilizado). Dado que esto es tan solo una pequeña parte de la órbita, no ocurre un gran error si, al calcular el área barrida por el radio r1, lo reemplazamos con una línea recta. El área barrida es por tanto, un triángulo rectángulo largo y angosto con una altura r1 y de base V1 (más angosto de lo que podríamos dibujar aquí, de manera que el dibujo es para dar la idea).     El área A1 de tal triángulo, de acuerdo a la fórmula del área de los triángulos rectángulos, es la mitad de la base multiplicada por la altura, o         A1 = (1/2) V1r1     De manera similar, el área A2 cubierta en un segundo después de pasar por el apogeo A es igual a:         A2 = (1/2) V2r2 Sin embargo, de acuerdo a la segunda ley de Kepler A1 = A2 de manera que                 (1/2) V1r1 = (1/2) V2r2 o, multiplicando todo por 2                 V1r1 = V2r2 Una manera más útil de esa relación ocurre si ambos lados se dividen entre V2r1 : V1 / V2 = r2 / r1     La proporción de velocidades es igual a la inversa de la relación de las distancias.Entre más pequeña sea la distancia, más rápido será el movimiento. Si la distancia del perigeo es la mitad de la distancia del apogeo, la velocidad en ese lugar es el doble. (Pero por favor recuerde, esta proporcionalidad tan solo es válida con P y A, pero no lo es con ningún otro punto a lo largo de la órbita.) ¿Porqué son las Estaciones del Año Distribuídas Desigualmente? Los principales puntos de referencia del año son los dos solsticios, el día más largo en el verano, la noche más larga en el invierno, y los dos equinoccios, cuando el día y la nopche son iguales. Estos son los puntos de inicio del verano, invierno, primavera y otoño, y se asume que en general estos están distibuídos de manera igual.    ¿Pero lo están?     El equinoccio de primavera en el 2003 fue el 21 de Marzo, mientras que el equinoccio de otoño cayó el 22 de Septiembre, 184 días después. En el 2004, un año bisiesto, el equinoccio de primavera ocurrirá el 20 de Marzo, y si contamos los días, verá que para llegar allí se requieren tan solo 181 días. Los dos intervalos no son iguales.     ¿Cómo puede ocurrir esto? Las posiciones del equinoccio están en lados opuestos de la órbita de la Tierra, a 180° de distancia., Aún así, para llegar al invierno (boreal) le toma 3 días más que para llegar al verano.     De acuerdo a la segunda ley de Kepler, la tierra se mueve en su órbita un poco más rápido en el invierno. Como se vió al final de "Estaciones del Año" y también en conexión con la Teoría Milankovich de la edad de hielo, la Tierra está en su punto más cercano al sol, en el perihelio, alrededor del 4 de Enero. De acuerdo a la ecuación derivada aquí, es en ese momento cuando se mueve lo más rápido. Aún más, (vea el dibujo), la mitad de la elipse más cercana al Sol también es más pequeña. Con la Tierra la diferencia es pequeña, dado que la órbita es muy cercana a un círculo, pero existe de cualquier manera, y es la razón de la diferencia de los 3 días. Nota: De acuerdo a un artículo relativo a Hiparco en "Wikipedia" (sección #4.4) la asimetría referida arriba era ya conocida por los antiguos Babilonios (Caldeos), y fue medida por Hiparco alrededor del año 140-130 A.C., y fue citada por Tolomeo. Como Se Calcula El Movimiento Orbital (Sección Optativa)     Esta sección está a un nivel superior que el resto, y se explica principalmente para usuarios avanzados, que pueden preguntarse como se deduce realmente el movimiento orbital. Para los demás proporciona un atisbo de la complejidad de los cálculos orbitales, ó, también,  puede saltarse.  Como se dijo anteriormente, el movimiento de un satélite (o de un planeta) en su órbita elíptica está determinado por 3 "elementos orbitales": (1) El  semi-eje mayor a, la mitad de extenso que la elipse, que nos indica eltamaño de la órbita. (2) La excentricidad e, un número de 0 a 1, proporciona la forma de la órbita. Para un círculo: e = 0, valores mayores proporcionan progresivamente anillos más achatados, hasta  e = 1 donde la elipse se alarga hasta el infinito y se convierte en una parábola. Las órbitas de los grandes planetas son casi círculos: la de la Tierra, por ejemplo, tiene una  e = 0.0068 (3) La anomalía media M, un ángulo que crece a una razón constante, incrementándose en 360º cada órbita M = M(0) + 360°(t/T) donde M(0) es el valor de M en el momento t = 0 y T es el período orbital. Determinados esos números, M se calcula fácilmente para cualquier momento t. No obstante, la posición real de un satélite está dada por la anomalía verdadera  f. En las coordenadas polares (r, f) que describen el movimiento del satélite en su plano orbital,  f es el ángulo polar. La ecuación de la órbita es:  r = a(1 – e2)/(1 + e cos f) El ángulo  f  también se incrementa 360o cada órbita completa, pero no de forma uniforme. Por la ley de áreas de Kepler, crece más rápidamente cerca del perigeo (el punto más cercano a la Tierra)  y más lentamente cerca del apogeo (el punto más distante). La información necesaria para deducir  f para cualquier t está dentro de la ley de áreas, pero el cálculo real no es fácil. El proceso implica a un ángulo auxiliar, la  anomalía excéntricaE , la cual, al igual que  f y M se incrementa 360o cada órbita. En el perigeo, las tres anomalías son iguales a cero.    El dibujo de la derecha proporciona una construcción geométrica de esos ángulos (no intente despiezarlo). La elipse orbital está encerrada en un círculo de radio a, y da la posiciónP del satélite, se puede dibujar un punto correspondiente Q en el círculo, compartiendo la misma línea  perpendicular al eje de la elipse. Luego E es el ángulo entre el eje mayor de la elipse y la línea dibujada desde el centro del círculo hasta Q ("excéntrico" puede significar aquí  "desde el centro"). Ecuación de Kepler Suponga dados los elementos a, e y M(0) en el momento t = 0  y necesitamos encontrar el valor de  f en un momento diferente t. Conociendo f, la ecuación citada anteriormente nos da  r,  y (r, f) juntos señalan la posición del satélite en su plano orbital. El primer paso es deducir  M = M(0) + 360°(t/T) Asumimos que es conocido el período T (esto requiere la 3ª ley que, para órbitas circulares, es abordada en las secciones 20 y 20a). Se puede evidenciar que el ángulo Esatisface "la ecuación de Kepler" M = E – (180°/ π)e sen E donde π = 3.14159256...es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Se puede preguntar ¿como aparece de repente ese número?. El hecho es que la división del círculo en 360º puede ser apropiada para su uso (lo heredamos de los antiguos babilonios) pero el número 360 no tiene un sitio específico en las matemáticas. Probablemente esté relacionado con el número de días del año. La división "natural" de los ángulos que se usa en cálculo y en otras ramas de las matemáticas es en radianes, donde 360º es igual a 2π = 6.2831... radianes (haciendo a cada radian igual a unos 57.3º). Con los ángulos medidos en radianes, la ecuación de Kepler se simplifica en M = E – e sen E No importa que formato se use, las matemáticas no tienen ninguna fórmula que nos de Een términos de M. Sin embargo, a menudo las soluciones se pueden aproximar a algún grado de precisión por iteración, comenzando con una solución aproximada, luego mejorándola una y otra vez mediante un proceso de aproximación (un "algoritmo", veaaquí más información sobre esta palabra). Si la excentricidad e no es muy grande, la elipse no es muy diferente a un círculo y entonces M y E no son muy diferentes. Así, una conjetura inicial E' = M no estará muy apartada. Poniendo esta conjetura dentro del término sen E da una suposición E" E" = M + (180°/π)e sen E' Se puede ahora introducir E" en el término sen E, obteniendo una mayor aproximación, y así en adelante... hasta que los primeros, digamos, diez decimales del valor de E no continúan cambiando. en este punto podemos decidir que ya tenemos una E  con suficiente precisión y para el proceso. Una computadora maneja este proceso de mejora continua ("iteración de la solución", una forma de algoritmo) muy rápidamente, también existen otros métodos, con la suficiente velocidad, aun cuando e no sea muy pequeña. Determinado E, un cierto número de fórmulas nos darán la anomalía verdadera f. Por ejemplo, se puede deducir primero r = a(1 – e cos E) Y luego cos f se puede obtener de r = a(1 – e2)/(1 + e cos f) y, a continuación, el sen f se puede obtener del cos f. Todo esto, hoy en día, se computa de forma fácil y automática, pero teníamos un gran lío en las épocas anteriores a la aparición de las computadoras. La Órbita en el Espacio Los 3 restantes elementos orbitales son ángulos que nos dan la posición de la órbita en 3 dimensiones. Están descritos abajo, pero su uso real pertenece a un curso universitario en mecánica orbital y se omitirá. Los ángulos:   Inclinación i.  El argumento del perigeo ω(minúscula omega griega).  La longitud del nodo ascendente Ω (omega mayúscula). Orientar la órbita en 3 dimensiones requiere un plano de referencia y una dirección de referencia. Para las órbitas de satélites, el plano de referencia, el plano horizontal en el dibujo, es, a menudo, el plano ecuatorial de la Tierra (a veces es el plano de la eclíptica). La dirección de referencia, en ambos casos  es la dirección desde el centro de la Tierra hacia el equinoccio de primavera (la cual pertenece a ambos planos superiores). Podremos llamarla la dirección x, ya que es su papel en las coordenadas (x,y,z) usadas en los cálculos orbitales. Dos planos no paralelos interseccionan siempre a lo largo de la línea, de la misma forma que el plano de una puerta intersecciona con el plano de la pared a lo largo del quicio de la puerta. El plano orbital y el ecuatorial (usados para referencia) hacen lo mismo, y su intersección se denomina la línea de nodos N. Haga que el origen O de nuestras coordenadas sea el centro de la Tierra, el cual es, también, el foco de la elipse; este punto pertenece a ambos planos, ecuatorial y orbital y está, por consiguiente también, en su línea de intersección N (dibujo). Luego... La inclinación i es el ángulo de apertura de la "bisagra" a lo largo de N. Se define mejor erigiendo en O líneas perpendiculares a cada plano y midiendo el ángulo entre ellas (dibujo).   El ángulo Ω se mide en el plano ecuatorial entre N y la dirección de referencia x. Podemos imaginar girando la "bisagra" N alrededor del punto O, sin cambio en la inclinación: el plano orbital  cubre todos los valores posibles de  Ω. Pero, ¿cual es el pequeño "nodo ascendente"?. La definición anterior contiene alguna ambigüedad: N define dos líneas saliendo de O en sentidos opuestos. ¿Desde cual de ellos se deberá medir Ω? Para resolver esto se debe observar que el plano del ecuador divide el espacio en dos partes, una al norte de él y otra al sur. Especificando "el nodo ascendente" se selecciona la rama que cruza el satélite cuando entra en la mitad norte del espacio, mejor que cuando la cruza al salir.    Finalmente, ω es el ángulo medido en el plano orbital entre N y la  dirección desde O hacia el punto de perigeo P. Si el perigeo coincide en la "bisagra", en la parte positiva de x, luego ω= 0; girando la órbita 90o hasta que la línea OPseaperpendicular a N hace ω = 90o, girándola más, hasta que alcance la parte negativa de x,  hace ω = 180o.  Suponga que tiene los elementos orbitales de una satélite, por ejemplo la lanzadera espacial (puede obtenerla de la world-wide web). Los primeros tres (a, e, M), con Mdado en un momento determinado, la permite calcular donde estará el satélite en cualquier momento en su órbita. Con (i, ω, Ω) puede, entonces, encontrar donde estaráen el cielo.     [Para quienes les gustaría conocer más acerca de la forma en que son calculadas dichas rotaciones en el espacio, vea problema 8 en el artículo "Ejercicios de Trigonometría." Ese problema tan solo trata con las rotaciones en dos dimensiones (e.g. sobre una hoja de papel), pero una peque–a sección adicional ligada al final de ese artículo explica como esto se extiende a 3 dimensiones.]