domingo, 16 de agosto de 2015

Ejercicios Resueltos de Cinemática


Composición de lanzamiento hacia abajo y MRU 

En el pozo de los deseos una pareja lanza hacia abajo una moneda con una velocidad de 1,5 m/s y 2 segundos después escucha el impacto de la moneda en el
agua. La rapidez de la propagación del sonido es de 340 m/s.
a) ¿Qué tiempo emplea la moneda en llegar a la superficie del agua?
b) ¿Qué profundidad tiene el pozo hasta la superficie del agua?


SOLUCIÓN

La profundidad del pozo puede venir dada de dos maneras; en función del tiempo que tarda en caer la moneda o en función de lo que tarda en subir el sonido. Ambas ecuaciones serán:
\left {{h=1,5t + 4,9t^2} \atop {h = 340t'}} \right

Además sabemos que el tiempo que tarda en caer la moneda (t) más el tiempo que tarda en subir el sonido (t') es igual a 2 segundos: t + t' = 2. Igualando las ecuaciones:
340t' = 1,5t + 4,9t^2\ \to\ 340(2 - t) = 1,5t + 4,9t^2\ \to\ 4,9t^2 + 341,5t - 680 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen dos valores de "t". Uno de ellos es negativo y lo desechamos por no tener significado físico. El valor que nos queda es t = 1,94 s.
a) La piedra tarda 1,94 s en llegar a la superficie del agua.
b) La profundidad del pozo la podemos calcular teniendo en cuenta que el sonido tarda (2 - 1,94) s = 0,06 s en subir:
h = 340\frac{m}{s}\cdot 0,06\ s = \bf 20,4\ m






Aplicación de caída libre 

Un objeto en caída libre requiere de 1,5 s para recorrer los últimos 30 m antes de golpear el suelo. ¿Desde qué altura sobre el suelo cayó?

SOLUCIÓN

Podemos calcular la velocidad con la que llega a ese último tramo el objeto. Debemos tener en cuenta que la velocidad inicial al dejar caer el objeto es cero:
d = v_1t + \frac{1}{2}gt^2\ \to\ v_1 = \frac{d - \frac{g}{2}t^2}{t} = \frac{30 - 4,9\cdot 1,5^2}{1,5} = 12,65\frac{m}{s}

Tras haber recorrido la distancia desde el punto de lanzamiento hasta el punto en el que le quedan los últimos 30 m por recorrer, su velocidad es la que acabamos de calcular.
Ahora calculamos qué distancia ha recorrido el objeto hasta llegar a esa velocidad:
v_1^2 = v_0^2 + 2gd_1\ \to\ d_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{12,65^2\frac{m^2}{s^2}}{2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}} = 8,16\ m

El objeto recorre 8,16 m hasta llegar al punto en el que aún le quedan por recorrer los últimos 30 m. La altura desde la que se lanzó será 38,16 m.





Composición de movimientos: caída libre + MRU 

Un turista arroja una moneda al pozo de los deseos. El sonido de la moneda, al chocar contra el agua, tarda 0,5 segundos en ser percibido por sus oídos. Calcula:
a) La profundidad del pozo.
b) El tiempo total que transcurre desde que el turista suelta la moneda hasta que se escucha el choque.
Velocidad del sonido: 340 m/s.



SOLUCIÓN

a) La velocidad del sonido es de 340 m/s. Si pasan 0,5 s desde que la moneda choca contra el agua hasta que es escuchado por el turista, la profundidad del pozo será:
d = v\cdot t\ \to\ d = 340\frac{m}{s}\cdot 0,5\ s = \bf 170\ m

b) La moneda cae en caída libre, por lo que el tiempo que tarda en caer será:
d = \frac{1}{2}gt^2\ \to\ t = \sqrt{\frac{2d}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 170\ m}{9,8\frac{m}{s^2}}} = \bf 5,9\ s

El tiempo total será el que tarda la moneda en caer más el que tarda el sonido en llegar: (5,9 + 0,5) = 6,4 s.





Tiro parabólico

Un jugador batea una pelota con una velocidad inicial cuya magnitud es de 22 m/s y con un un angulo de 40° respecto al eje horizontal. Calcula:
a) La altura máxima alcanzada por la pelota.
b) El alcance horizontal de la pelota.


SOLUCIÓN

Se trata de un movimiento parabólico y para poder determinar lo que nos piden vamos a usar las ecuaciones de la altura máxima y el alcance máximo del móvil:
a) h_{m\'ax} = \frac{v_0^2sen^2\alpha}{2g} = \frac{22^2\frac{m^2}{s^2}\cdot sen^2 40}{2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}} = \bf 10,2\ m
b) x_{m\'ax} = \frac{v_0^2sen(2\alpha)}{g} = \frac{22^2\frac{m^2}{s^2}\cdot sen\ 80}{9,8\frac{m}{s^2}} = \bf 48,64\ m




Lanzamiento vertical + caída libre 

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12 m/s desde el extremo de un risco de 70 m de altura. Determina:
a) ¿Cuánto tiempo después alcanza el fondo del risco?
b) ¿Cuál es su velocidad justo antes de golpear?
c) ¿Qué distancia total recorrió?


SOLUCIÓN

Hacemos el problema en dos partes. La primera parte será un lanzamiento vertical hacia arriba y la segunda será una caída libre.
Parte 1.
Cuando la piedra alcanza la altura máxima su velocidad es nula.
v = v_0 - gt\ \to\ t_{sub} = \frac{v_0}{g} = \frac{12\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}} = 1,22\ s

Tarda 1,22 s en llegar a lo más alto. Habrá recorrido para ello:
d = v_0\cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2\ \to\ d = 12\frac{m}{s}\cdot 1,22\ s - 4,9\frac{m}{s^2}\cdot 1,22^2 s^2 = 7,35\ m

Ha subido 7,35 m por encima de los 70 m de partida.
Parte 2.
Ahora la velocidad inicial de la piedra será cero, puesto que ya está en la parte más alta del recorrido. La distancia hasta el suelo son 77,35 m, que es la altura máxima.
d = \frac{1}{2}gt^2\ \to\ t_{baj} = \sqrt{\frac{2d}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 77,35\ m}{9,8\frac{m}{s^2}} = 3,97\ s

a) El tiempo que ha tardado en llegar al suelo será 1,22 s (para subir) + 3,97 m para bajar =5,19 s.
b) v = gt = 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 3,97\ s = \bf 38,91\frac{m}{s}
c) El recorrido total será 7,35 m (que subió) + 77,35 m (hasta llegar al suelo) = 84,70 m.



Velocidad media 

Un automóvil recorre la mitad de un camino a 20 km/h y la otra mitad la recorre a 40 km/h. ¿Cuál es su velocidad media?


SOLUCIÓN

La velocidad media se define como v_m = \frac{d_T}{t_T}
v_m = \frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2}

La distancia que recorre en ambos casos es la misma y sería el producto de la velocidad en cada tramo por el tiempo que tarda en cada tramo:
20t_1 = 40t_2\ \to\ t_1 = 2t_2 (Es decir tardará el doble de tiempo en recorrer el primer tramo porque su velocidad es la mitad). Sustituimos en la ecuación anterior:
v_m = \frac{20t_1 + 40t_2}{2t_2+t_2} = \frac{80t_2}{3t_2} = 26,67\frac{km}{h}



MCU: relación entre magnitudes lineales y angulares 

Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de radio con una velocidad constante de 20 km/h. Calcula:
a) La distancia que recorre sobre la circunferencia en 3 segundos.
b) El ángulo que ha descrito en ese tiempo.
c) La velocidad angular que lleva.



SOLUCIÓN

En primer lugar vamos a expresar la velocidad en unidades SI:
20\frac{km}{h}\cdot \frac{1\ 000\ m}{1\ km}\cdot \frac{1\ h}{3\ 600\ s} = 5,56\frac{m}{s}

a) A los 3 s, la distancia que ha cubierto será:
v = \frac{d}{t}\ \to\ d = v\cdot t = 5,56\frac{m}{s}\cdot 3\ s = \bf 16,68\ m

b) El ángulo que ha descrito lo podemos averiguar teniendo en cuenta que la distancia recorrida está relacionada con ese ángulo por medio del radio:
d = \alpha\cdot R\ \to\ \alpha = \frac{d}{R} = \frac{16,68\ m}{20\ m} = \bf 0,834\ rad\ \equiv 150,12^\circ

c) Su velocidad angular también está relacionada con la lineal por medio del radio:
v = \omega\cdot R\ \to\ \omega = \frac{v}{R} = \frac{5,56\frac{m}{s}}{20\ m} = \bf 0,28\frac{rad}{s}




Movimiento circular uniformemente variado 

Un volante de 0,2 m de radio se pone en movimiento con una aceleración de 0,3\ \frac{rad}{s^2}. Calcula: a) Velocidad angular cuando han transcurrido siete segundos. b) Aceleración total siete segundos después de iniciado el movimiento.


SOLUCIÓN

Se trata de un movimiento circular uniformemente variado. La velocidad angular inicial es cero, por lo tanto \omega_0 = 0:
\omega = \alpha\ \cdot t\ \to\ \omega = 0,3\frac{rad}{s^2}\cdot 7\ s = \bf 2,1\frac{rad}{s}

La aceleración total tendrá dos componentes; la normal y la tangencial. La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular por el radio de giro:
a_t = \alpha\ \cdot R = 0,3\frac{rad}{s^2}\cdot 0,2\ m = 0,06\frac{m}{s^2}

La aceleración normal está relacionada con la velocidad en un momento dado:
a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{\omega^2\cdot R^2}{R} = 2,1^2\frac{1}{s^2}\cdot 0,2\ m = \bf 0,88\frac{m}{s^2}

La aceleración total será:
a_T = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \bf 0,88\frac{m}{s^2}
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